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1、一比较法1.作差比较法(1)原理:a-b0ab;a-b=0a=b;a-b0ab.(2)步骤:作差变形确定符号下结论.名师点拨作差比较时,为了判断差的符号,需要先对差式进行变形,这是证明的关键步骤,变形的常用方法有:因式分解、配方、分子(或分母)有理化等.2.作商比较法(2)步骤:作商变形确定商与1的大小关系下结论.特别提醒作商比较时,需要注意a,b的符号,当a,b0时, 思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.探究一探究二思维辨析用作差比较法证明不等式用作差比较法证明不等式【例1】已知正数a,b,c成等比数列,求证a2-b2+c2(a-b+c)2.分析：先由a,
2、b,c成等比数列得出a,b,c满足的关系式,再利用作差法进行证明.证明：因为正数a,b,c成等比数列,所以b2=ac,b=所以(a2-b2+c2)-(a-b+c)2=(a2-b2+c2)-(a2+b2+c2-2ab+2ac-2bc)=-2b2+2ab-2ac+2bc=-4b2+2ab+2bc探究一探究二思维辨析反思感悟作差比较法证明不等式的技巧1.在作差比较法中,变形具有承上启下的作用,变形的目的在于判断差的符号,而不用考虑差能否化简或值是多少.2.变形所用的方法有配方、因式分解等,要具体情况具体分析.3.因式分解是常用的变形手段,为了便于判断差式的符号,常将差式变形为一个常数,或几个因式积的
3、形式,当所得的差式是某字母的二次三项式时,常用判别式法判断符号.探究一探究二思维辨析变式训练1若a,b均为负数,求证a3+b3a2b+ab2.证明：a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2)=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)2(a+b).因为a,b均为负数,所以a+bcos -sin .分析：当作差比较法不易证明时,可采用作商比较法证明.探究一探究二思维辨析反思感悟作商比较法证明不等式的一般步骤1.作商,将不等式左右两边的式子进行作商.2.变形,化简商式到最简形式.3.判断,判断商与1的大小关系.4.得出结论.注意:不能忽视判断左右两边的式子的符号.探究一探究
4、二思维辨析探究一探究二思维辨析误用作商比较法致错典例已知a0,求证log(a+1)a0,所以log(a+1)alog(a+2)(a+1);当0a1时,因为log(a+1)a0,所以log(a+1)a1时,因为log(a+1)a0,log(a+2)(a+1)0,所以log(a+1)alog(a+2)(a+1).综上,不等式log(a+1)alog(a+2)(a+1)成立.探究一探究二思维辨析纠错心得用作商比较法证明不等式,要注意前提条件,即由 1推得b0,否则可能会得出相反的结论.本题中没有论证log(a+1)a0,log(a+2)(a+1)0,所以证明是不严密的.探究一探究二思维辨析变式训练已
5、知a,b(0,+),nN+,求证(a+b)(an+bn)2(an+1+bn+1).证明：(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1)=an+1+abn+anb+bn+1-2an+1-2bn+1=an(b-a)+bn(a-b)=(a-b)(bn-an).当ab0时,a-b0,bn-an0,则(a-b)(bn-an)a0时,a-b0,则(a-b)(bn-an)0时,a-b=0,则(a-b)(bn-an)=0,即(a-b)(bn-an)0,故(a+b)(an+bn)2(an+1+bn+1).1 2 3 41.若P=x2+y2+1,Q=xy-x-y,则()A.PQ B.PQC.Pb0,则abba与aabb的大小关系是()A.abbaaabbD.abbaaabb答案：A 1 2 3 43.已知a1,a2(0,1),M=a1a2,N=a1+a2+1,则M,N的大小关系是.解析：M-N=a1a2-a1-a2-1=(a1-1)(a2-1)-2,因为a1,a2(0,1),所以a1-1,a2-1(-1,0).所以(a1-1)(a2-1)(0,1).则(a1-1)(a2-1)-20,故MN.答案：MN1 2 3 4
