《分离变量法第一节：预备知识.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《分离变量法第一节：预备知识.ppt（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章第二章 分离变量法分离变量法本章中心内容本章中心内容用分离变量法求解各种有界问题；用分离变量法求解各种有界问题；本章基本要求本章基本要求 着重掌握分离变量法的解题思路、解题步骤及着重掌握分离变量法的解题思路、解题步骤及其核心问题其核心问题-本征值问题（特征值问题）本征值问题（特征值问题） 分离变量法分离变量法基本思想基本思想是把偏微分方程分解为几是把偏微分方程分解为几个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件从而构成特征值问题。条件从而构成特征值问题。 分离变量法分离变量法理论依据理论依据是线性方程的叠加原理和是线性方程的叠加原理和Sturm-L
2、iouville 特征值（本征值）理论。特征值（本征值）理论。分离变量法分离变量法又称特征展开法和又称特征展开法和FourierFourier级数方法级数方法第一节：预备知识第一节：预备知识1.1.下面的定理叙述了下面的定理叙述了FourierFourier级数展开级数展开的一个结论的一个结论定理定理1设函数设函数 f 是以是以 2L 为周期的函数，在为周期的函数，在-L,L上满足上满足Dirichlet条件，即在条件，即在-L,L上只有有限多个第一类间断点和有上只有有限多个第一类间断点和有限多个极值点则在限多个极值点则在 -L,L 上，上，f 可以展成可以展成 Fourier 级数：级数：上
3、式的含义：在上式的含义：在 f 的连续点处取等号，在的连续点处取等号，在 f 的间断点处的间断点处取其左右极限的平均值，其中取其左右极限的平均值，其中如果如果 f 是奇函数，则是奇函数，则其中其中, ,注注1. 在定理在定理1的条件下，如果的条件下，如果 f 是偶函数，则是偶函数，则其中其中, ,对对 应用定理应用定理1，可知在，可知在 0,L 上，上，注注2. 如果如果 f 在在 0,L 上满足上满足 Dirichlet 条件将条件将 f 展开成展开成 Fourier 级数的方法级数的方法其中其中, ,方法方法1. 将将 f 延拓成整个实轴上延拓成整个实轴上 2L 周期的周期的“奇函数奇函数
4、” 其中其中, ,方法方法2. 将将 f 延拓成整个实轴上延拓成整个实轴上 2L 周期的偶函数周期的偶函数 对对 应用定理应用定理1，可知在，可知在 0,L 上，上，例例例例1 1. . 把把把把展开成(1) 正弦级数; (2) 余弦级数.解解: (1) 将 f (x) 作奇周期延拓, 则有在 x = 2 k 处级数收敛于何值?机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) (2) 将将将将 作偶周期延拓, 则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.正交函数系，标准正交系，带权函数的正交函数系正交函数系，标准正交系，带权函数的正交函数系定义定义. 一列函数一列函数 构成的函数系称为在构成的函数系
5、称为在 a,b 上上正交正交, 如果如果正交系正交系 称为称为标准正交标准正交的，如果的，如果函数系函数系在在 a,b 上称为上称为带权函数带权函数 r(x) 正交正交的，如的，如果果例例2 是是 0, L 上的正交函数系；上的正交函数系；是是 -L, L上的正交函数系，但不是上的正交函数系，但不是 0, L 上的正交函数系上的正交函数系是是 0, L 上的正交函数系；上的正交函数系；是是的正交函数系的正交函数系上带权函数上带权函数完备正交函数集：完备正交函数集： 如果在正交函数集如果在正交函数集 1(t)， 2(t)， n(t)之外，不存在函数之外，不存在函数(t)(0）满足满足 则称此函数
6、集为则称此函数集为完备正交函数集完备正交函数集。(可比较课本可比较课本上的定义上的定义)( ( i i =1 =1，2 2，n)n)对应的特征方程：对应的特征方程： 两个根两个根： .3. 常系数二阶线性常微分方程的通解常系数二阶线性常微分方程的通解(3)(1) 为相异实数，通解为为相异实数，通解为:(2) 为相同实数，通解为：为相同实数，通解为：为两个虚数，通解为：为两个虚数，通解为：例例3.的通解.解解: 特征方程特征根:因此原方程的通解为例例4. 求解初值问题解解: 特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 4 欧拉欧拉 (E
7、uler) 方程方程 变系数的线性微分方程变系数的线性微分方程 , 一般来说不易求解一般来说不易求解 ,但有些特殊的变系数线性微分方程可通过变量代但有些特殊的变系数线性微分方程可通过变量代换化为常系数线性微分方程换化为常系数线性微分方程 . 欧拉方程欧拉方程就是一种就是一种可化为常系数方程的方程可化为常系数方程的方程 .方程方程(1)称为称为二阶欧拉方程二阶欧拉方程 , 其中其中 a , b 为常数为常数 .而称而称 n 阶方程阶方程(2)为为 n 阶欧拉方程阶欧拉方程 , 其中其中 为常数为常数 .二阶欧拉方程二阶欧拉方程 (1) 的求解的求解令令则则 t = lnx ,代入方程代入方程 (
8、1) 有有即即(3)这是一二阶线性常系数微分方程这是一二阶线性常系数微分方程 .例例5求方程求方程 的通解的通解 . 解解这是一二阶欧拉方程这是一二阶欧拉方程令令则则 t = lnx ,原方程可化为原方程可化为特征方程特征方程特征根特征根齐次方程的通解齐次方程的通解: :设非齐次方程的特解设非齐次方程的特解: :代入方程解得代入方程解得所以非齐次方程的通解所以非齐次方程的通解原方程的通解原方程的通解5.线性方程的叠加原理线性方程的叠加原理n阶线性常微分方程的一般形式为阶线性常微分方程的一般形式为其其中中a1(x),an1(x),an(x)和和f(x)均均为为x的的已已知知连续函数连续函数.如果
9、如果f(x)0,则式则式(9.22)变为变为定理定理 (线性常微分方程解的性质定理线性常微分方程解的性质定理)(1) 齐次线性方程组的叠加原理齐次线性方程组的叠加原理: 如如y1(x), , ym(x)是是n阶齐次线性方程阶齐次线性方程(9.23)的的m个解个解,则则它们的线性组合它们的线性组合y(x)=C1y1(x)+Cmym(x)也是方程也是方程(9.23)的解的解,其中其中C1,Cm为任意常为任意常数数;(2) 非齐次线性方程解的叠加原理非齐次线性方程解的叠加原理:如果如果y1(x)和和y2(x)分别为非齐次线性方程分别为非齐次线性方程和和的解的解,则则y1(x)+y2(x)是非齐次线性
10、方是非齐次线性方程程.的解的解线性偏微分定解问题的叠加性质线性偏微分定解问题的叠加性质L称为算子，偏微分方程可以用算子作用在函数上标示出来称为算子，偏微分方程可以用算子作用在函数上标示出来非齐次方程非齐次方程 L u=f( (x,y,z,t) ) 齐次方程齐次方程 L u=0=01. 算子算子 2. . 性质性质u2 2是齐次方程的解是齐次方程的解 L u2 2=0=0Lu1=f1) 1) 分别是齐次方程的解分别是齐次方程的解 2) 2) 是非齐次方程的解是非齐次方程的解 则则 是非齐次方程的解是非齐次方程的解: :则其组合则其组合3. 若若Lu1=f1,Lu2=f2性质（性质（3）对边界条件，初始条件常常用到）对边界条件，初始条件常常用到。则则
