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1、1.3.1 单调性与最大（小）值-函数的单调性引入下图为某地区24小时温度变化曲线图Y=3x+2Y=x2xyoxyomnmn m m，n n 上，函数上，函数 y y 随随 x x 的的增大增大而而减小减小在在 m m，n n 上，函数上，函数 y y 随随 x x 的的增大增大而而增大增大单调单调递增递增性性单调单调递减递减性性通俗定义OxyOxy如何用如何用x与与 f(x)来描来描述上升的图象？述上升的图象？如何用如何用x与与 f(x)来来描述下降的图象描述下降的图象？ 函数f (x)在给定区间上为增函数。这个给定的区间就为函数的单调增区间。在给定的区间上任取x1，x2； 函数f (x)在
2、给定区间上为减函数。这个给定的区间就为函数的单调减区间。在给定的区间上任取x1，x2；1、概念 思考：思考：0例例例例1 1：如图是定义在闭区间：如图是定义在闭区间：如图是定义在闭区间：如图是定义在闭区间-5,5-5,5上的函数上的函数上的函数上的函数y=f(x)y=f(x)的的的的图象，根据图象说出图象，根据图象说出图象，根据图象说出图象，根据图象说出y=f(x)y=f(x)的单调区间，以及在的单调区间，以及在的单调区间，以及在的单调区间，以及在每一个单调区间上，每一个单调区间上，每一个单调区间上，每一个单调区间上， y=f(x)y=f(x)是增函数还是减函数。是增函数还是减函数。是增函数还
3、是减函数。是增函数还是减函数。在区间在区间在区间在区间-2,1), 3, 5-2,1), 3, 5上是增函数。上是增函数。上是增函数。上是增函数。答：函数答：函数答：函数答：函数y=f(x)y=f(x)的单调区间有的单调区间有的单调区间有的单调区间有-5,-2),-2,1), 1,3), 3,5, -5,-2),-2,1), 1,3), 3,5, 其中其中其中其中 y=f(x)y=f(x)在区间在区间在区间在区间-5, -2), 1,3)-5, -2), 1,3)上是减函数，上是减函数，上是减函数，上是减函数，例例例例2 2：证明函数：证明函数：证明函数：证明函数f(x)=3x+2f(x)=3
4、x+2在在在在R R上是增函数。上是增函数。上是增函数。上是增函数。 f( f( f( f(x x1 1)-f()-f()-f()-f(x x2 2)=()=()=()=(3 x3 x1 1 +2 +2)-()-()-()-(3 x3 x2 2+2+2) ) ) )由由由由x x1 1xx2 2 ，得，得，得，得 x x1 1- - - - x x2 2 0 0 0 0即即即即 f(f(f(f(x x1 1)f()f()f()f(x x2 2) ) ) )证明：证明：证明：证明：设设设设x x1 1,x ,x2 2是是是是R R上的上的上的上的任意任意任意任意两个实数，且两个实数，且两个实数，
5、且两个实数，且x x1 1xx2 2, ,则则则则= = = =3( x3( x1 1- - - - x x2 2) ) ) )于是于是于是于是 f(f(f(f(x x1 1)-f()-f()-f()-f(x x2 2)0)0)0)0所以，所以，所以，所以，函数函数函数函数f(x)=3x+2f(x)=3x+2在在在在R R上是增函数。上是增函数。上是增函数。上是增函数。取值定号变形作差判断例3、证明函数证明函数证明函数证明函数f(x)=1/x f(x)=1/x f(x)=1/x f(x)=1/x 在在在在(0(0(0(0，+)+)+)+)上是减上是减上是减上是减函数。函数。函数。函数。 证明：
6、设x1,x2是(0(0(0(0，+)+)+)+)上任意两个实数，且x10又由x10所以f(x1)- f(x2)0即f(x1) f(x2)所以f(x)=1/x 在(0，+)上是减函数。小结小结 讨论函数的单调性必须在定义域内进行，讨论函数的单调性必须在定义域内进行，即函数的单调区间是其定义域的子集因此讨即函数的单调区间是其定义域的子集因此讨论函数的单调性，必须先确定函数的定义域；论函数的单调性，必须先确定函数的定义域；2.2.函数的单调性是针对给定区间而言的函数的单调性是针对给定区间而言的. .3 3根据定义证明函数单调性的一般步骤是：根据定义证明函数单调性的一般步骤是：(1)(1)设设x x1 1，x x2 2是给定区间内的两个值是给定区间内的两个值, ,且且x x1 1xx2 2；(2)(2)作差作差f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )；并将此差式变形；并将此差式变形( (要注意要注意变形的程度变形的程度) )；(3)(3)判断判断f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )的正负的正负( (要注意说理的充分要注意说理的充分性性) )；(4)(4)据据据据f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )的符号确定其增减性的符号确定其增减性要求： 会根据图象判断函数的函数的单调性单调性 会根据定义证明函数的函数的单调性单调性
