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1、第七章 频域处理 7.7 7.7 小波变换简介小波变换简介 7.7.1 小波变换的背景介绍小波变换的背景介绍图图 像像 金金 字字 塔塔第七章 频域处理 第七章 频域处理 用用哈哈尔尔基基函函数数的的离离散散小小波波变变换换第七章 频域处理 7.7.2 小波变换的理论基础小波变换的理论基础 传统的傅立叶变换传统的傅立叶变换(FT)：提供了有关频率域的信息，但有提供了有关频率域的信息，但有关时间（空间）的局部化信息却基本丢失。关时间（空间）的局部化信息却基本丢失。 小波变换小波变换(WT)：提供局部分析与细化的能力，可聚焦到分提供局部分析与细化的能力，可聚焦到分析对象的任意细节析对象的任意细节“
2、数学显微镜数学显微镜“。第七章 频域处理 1.连续小波变换连续小波变换2.(Continuous Wavelet Transform， CWT) 小小波波分分析析就就是是把把一一个个信信号号分分解解为为将将母母小小波波经经过过缩缩放放和和平平移移之之后后的的一一系系列列小小波波，因因此此小小波波是是小小波波变变换换的的基基函函数数。小小波波变变换换可可以以理理解解为为用用经经过过缩缩放放和和平平移移的的一一系系列列小小波波函函数数代代替替傅傅立立叶叶变换的正弦波和余弦波进行傅立叶变换的结果。变换的正弦波和余弦波进行傅立叶变换的结果。第七章 频域处理 波和小波波和小波波与小波之间的差异波与小波之
3、间的差异 上部两条曲线是频率不上部两条曲线是频率不同的余弦波，持续宽度同的余弦波，持续宽度相同。底下的两条是沿相同。底下的两条是沿着轴向频率和位置都不着轴向频率和位置都不相同的小波。最古老又相同的小波。最古老又最简单的小波最简单的小波 HaarHaar小小波波 ，它的基向量都是由它的基向量都是由一个函数通过平移和伸一个函数通过平移和伸缩来产生的。缩来产生的。 第七章 频域处理 生动的例子：生动的例子：小波和音乐小波和音乐乐谱可以看作描绘了一个二维的时频空间。频率乐谱可以看作描绘了一个二维的时频空间。频率( (音高音高) )从层次的底部向上从层次的底部向上增加，而时间增加，而时间( (以节拍来测
4、度以节拍来测度) )则向右发展。乐章中每一个音符都对应于一则向右发展。乐章中每一个音符都对应于一个将出现在这首歌的演出记录中的小波分量个将出现在这首歌的演出记录中的小波分量( (音调猝发音调猝发) )。每一个小波持续。每一个小波持续宽度都由音符宽度都由音符( (为四分之一音符、半音符等为四分之一音符、半音符等) )的类型来编码。的类型来编码。 分析一次所记录下的音乐演出并写出相应的乐谱，那么可以说我们分析一次所记录下的音乐演出并写出相应的乐谱，那么可以说我们得到一种小波变换。同样，音乐家一首歌的演奏录音就可看作是一得到一种小波变换。同样，音乐家一首歌的演奏录音就可看作是一种小波逆变换，因为它是
5、用时频表示来重构信号的。种小波逆变换，因为它是用时频表示来重构信号的。 第七章 频域处理 连续小波变换的定义连续小波变换的定义 ： 该该式式表表示示小小波波变变换换是是信信号号f(x)与与被被缩缩放放和和平平移移的的小小波波函函数数()之之积积在在信信号号存存在在的的整整个个期期间间里里求求和和的的结结果果。CWT的的变变换换结结果果是是许许多多小小波波系系数数C，这这些些系系数数是是缩缩放放因因子子（scale）和和平平移移（positon）的函数。的函数。 第七章 频域处理 基本小波函数基本小波函数()的缩放和平移操作含义如下：的缩放和平移操作含义如下： (1) 缩放缩放压缩或伸展基本小波
6、，压缩或伸展基本小波， 缩放系数越小，缩放系数越小， 则小则小波越窄，如图所示。波越窄，如图所示。 小波的缩放操作小波的缩放操作 第七章 频域处理 (2) 平平移移小小波波的的延延迟迟或或超超前前。在在数数学学上上， 函函数数f(t)延延迟迟k的表达式为的表达式为f(t-k)，如图所示。如图所示。 小波的平移操作小波的平移操作(a) 小波函数小波函数(t)； (b) 位移后的小波函数位移后的小波函数(t-k) 第七章 频域处理 CWT计算的主要步骤：计算的主要步骤： （1）取一个小波，）取一个小波， 将其与原始信号的开始一节进行比较。将其与原始信号的开始一节进行比较。 （2）计计算算数数值值C
7、， C表表示示小小波波与与所所取取一一节节信信号号的的相相似似程程度度，计算结果取决于所选小波的形状。计算结果取决于所选小波的形状。 （3）向右移动小波，重复（）向右移动小波，重复（1）和（）和（2）,直至覆盖整个信号。直至覆盖整个信号。 （4）伸展小波，）伸展小波， 重复（重复（1）至（）至（3）。）。 （5）对于所有缩放，重复（）对于所有缩放，重复（1）至（）至（4）。）。第七章 频域处理 计算系数值计算系数值C 第七章 频域处理 计算平移后系数值计算平移后系数值C 第七章 频域处理 计算尺度后系数值计算尺度后系数值C 第七章 频域处理 小小波波的的缩缩放放因因子子与与信信号号频频率率之之
8、间间的的关关系系是是：缩缩放放因因子子scale越越小小，表表示示小小波波越越窄窄，度度量量的的是是信信号号的的细细节节变变化化，表表示示信信号号频频率率越越高高；缩缩放放因因子子scale越越大大， 表表示示小小波波越越宽宽，度度量量的的是是信信号号的的粗糙程度，粗糙程度，表示信号频率越低。表示信号频率越低。 第七章 频域处理 2. 离散小波变换离散小波变换（ Discrete Wavelet Transform ，DWT） 如如果果缩缩放放因因子子和和平平移移参参数数都都选选择择为为2j（j0且且为为整整数数）的的倍倍数数， 即即只只选选择择部部分分缩缩放放因因子子和和平平移移参参数数来来
9、进进行行计计算算，会会使使分分析析的的数数据据量量大大大大减减少少。使使用用这这样样的的缩缩放放因因子子和和平平移移参参数数的的小小波波变变换换称称为为双双尺尺度度小小波波变变换换（Dyadic Wavelet Transform），它它是是离离散散小小波波变变换换（Discrete Wavelet Transform， DWT）的的一一种种形形式式。通常离散小波变换就通常离散小波变换就是指双尺度小波变换。是指双尺度小波变换。 第七章 频域处理 离离散散小小波波变变换换的的有有效效方方法法是是使使用用滤滤波波器器， 该该方方法法是是Mallat于于1988年提出的，称为年提出的，称为Malla
10、t算法算法。 S表表示示原原始始的的输输入入信信号号， 通通过过两两个个互互补补的的滤滤波波器器组组， 其其中中一一个个滤滤波波器器为为低低通通滤滤波波器器，通通过过该该滤滤波波器器可可得得到到信信号号的的近近似似值值A（Approximations），另另一一个个为为高高通通滤滤波波器器， 通通过过该该滤滤波波器可得到信号的细节值器可得到信号的细节值D（Detail）。）。 第七章 频域处理 小波分解示意图小波分解示意图 在在小小波波分分析析中中，近近似似值值是是大大的的缩缩放放因因子子计计算算的的系系数数，表表示示信信号号的的低低频频分分量量，而而细细节节值值是是小小的的缩缩放放因因子子计
11、计算算的的系系数数，表表示示信信号号的的高频分量。高频分量。第七章 频域处理 小波分解树（小波分解树（Wavelet Decomposition Tree） 第七章 频域处理 小波分解下采样示意图小波分解下采样示意图 第七章 频域处理 3. 小波重构（小波重构（Wavelet Reconstruction） 将将信信号号的的小小波波分分解解的的分分量量进进行行处处理理后后，一一般般还还要要根根据据需需要要把把信信号号恢恢复复出出来来，也也就就是是利利用用信信号号的的小小波波分分解解的的系系数数还还原原出出原原始始信信号号，这这一一过过程程称称为为小小波波重重构构（Wavelet Reconst
12、ruction）或或叫叫做做小小波波合合成成（Wavelet Synthesis）。这这一一合合成成过过程程的的数数学学运运算算叫叫做做逆逆离离散散小小波波变变换换（Inverse Discrete Wavelet Transform， IDWT）。）。 第七章 频域处理 小波重构算法示意图小波重构算法示意图 第七章 频域处理 1）重构近似信号与细节信号）重构近似信号与细节信号 由由小小波波分分解解的的近近似似系系数数和和细细节节系系数数可可以以重重构构出出原原始始信信号号。同同样样，可可由由近近似似系系数数和和细细节节系系数数分分别别重重构构出出信信号号的的近近似似值值或或细细节值，这时只要
13、近似系数或细节系数置为零即可。节值，这时只要近似系数或细节系数置为零即可。 重构近似和细节信号示意重构近似和细节信号示意(a)重构近似信号；重构近似信号； (b) 重构细节信号重构细节信号 第七章 频域处理 2）多层重构）多层重构 重重构构出出信信号号的的近近似似值值A1与与细细节节值值D1之之后后，则则原原信信号号可可用用A1D1S重重构构出出来来。对对应应于于信信号号的的多多层层小小波波分分解解，小小波波的的多多层层重重构构如如图图所所示示。重重构构过过程程为为：A3D3=A2；A2D2=A1；A1+D1=S。 信信号号重重构构中中，滤滤波波器器的的选选择择非非常常重重要要，关关系系到到能
14、能否否重重构构出出满满意意的的原原始始信信号号。低低通通分分解解滤滤波波器器（L）和和高高通通分分解解滤滤波波器器（H）及及重重构构滤滤波波器器组组（L和和H）构构成成一一个个系系统统， 这这个个系系统统称称为为正正交交镜镜像像滤滤波波器（器（Quadrature Mirror Filters， QMF）系统。系统。 第七章 频域处理 多层小波重构示意图多层小波重构示意图第七章 频域处理 多层小波分解和重构示意图多层小波分解和重构示意图 第七章 频域处理 4. 小波包分析（小波包分析（Wavelet Packet ） 而而小小波波包包分分析析的的细细节节与与近近似似部部分分一一样样，也也可可以
15、以分分解解，对对于于N层分解，它产生层分解，它产生2N个不同个不同的途径。的途径。小波包分解示意图小波包分解示意图 第七章 频域处理 小小波波包包分分解解也也可可得得到到一一个个分分解解树树， 称称其其为为小小波波包包分分解解树树（Wavelet Packet Decomposition Tree）， 这这种种树树是是一一个个完完整整的的二二叉叉树树。小小波波包包分分解解方方法法是是小小波波分分解解的的一一般般化化， 可可为为信信号号分分析析提提供供更更丰丰富富和和更更详详细细的的信信息息。信信号号S可可表表示示为为AA2ADA3DDA3D1等。等。 第七章 频域处理 5. 二维离散小波变换二
16、维离散小波变换 二二维维离离散散小小波波变变换换是是一一维维离离散散小小波波变变换换的的推推广广， 其其实实质质上上是是将将二二维维信信号号在在不不同同尺尺度度上上的的分分解解， 得得到到原原始始信信号号的的近近似似值值和和细细节节值值。由由于于信信号号是是二二维维的的，因因此此分分解解也也是是二二维维的的。分分解解的的结结果果为为： 近近似似分分量量cA、 水水平平细细节节分分量量cH、 垂垂直直细细节节分分量量cV和对角细节分量和对角细节分量cD。第七章 频域处理 第七章 频域处理 二维小波分解和重构过程示意图二维小波分解和重构过程示意图（a） 二维二维DWT； (b) 二维二维IDWT
17、(b)Lo_R21Lo_R12Hi_R12行列列cAj1cHj1Hi_R21Lo_R12Hi_R12行列列cVj1cDj1cAjwkeepaLo_D21Lo_D12Hi_D12行列列cAj1cHj1Hi_D21Lo_D12Hi_D12行列列cVj1cDj1cAj( )第七章 频域处理 7.7.3 离散小波变换在图像处理中的应用简介离散小波变换在图像处理中的应用简介 对对静静态态二二维维数数字字图图像像，可可先先对对其其进进行行若若干干次次二二维维DWT变变换换， 将将图图像像信信息息分分解解为为高高频频成成分分H、V和和D和和低低频频成成分分A。对对低低频频部部分分A，由由于于它它对对压压缩缩
18、的的结结果果影影响响很很大大，因因此此可可采采用用无无损损编编码码方方法法， 如如Huffman等等；对对H、V和和D部部分分，可可对对不不同同的的层层次次采采用用不不同同策策略略的的向向量量量量化化编编码码方方法法，这这样样便便可可大大大大减减少少数数据据量量，而而图图像像的的解码过程刚好相反。整个编码、解解码过程刚好相反。整个编码、解码流程如图所示。码流程如图所示。 用小波变换进行图像压缩处理用小波变换进行图像压缩处理 第七章 频域处理 图像压缩编码、图像压缩编码、 解码流程解码流程 第七章 频域处理 用小波变换进行图像分解处理用小波变换进行图像分解处理 第七章 频域处理 本本 次次 授授 课课 结结 束束 谢谢 谢谢 ！
