《大学物理课件：11-2,3 平面简谐波的波函数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大学物理课件：11-2,3 平面简谐波的波函数（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、111-2 11-2 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数平面简谐波的波动表达式平面简谐波的波动表达式：描述介质中各质点的位移：描述介质中各质点的位移 y 随时间随时间 t t 的变化规律的变化规律 y( (x, t , t ) )。考虑考虑平面余弦行波平面余弦行波在理想无吸收的均匀无限大介质中在理想无吸收的均匀无限大介质中情形情形。 平面简谐波平面简谐波（余（余弦波或弦波或正正弦波）弦波） 平面简谐波平面简谐波传播（传播（平面简谐平面简谐行波）时，介质中各质行波）时，介质中各质点都作同一频率的简谐振动。任一时刻，各点的振动相点都作同一频率的简谐振动。任一时刻，各点的振动相位一般不同，位移也不
2、相同。但是据波阵面的定义可知，位一般不同，位移也不相同。但是据波阵面的定义可知，任一时刻在同一波阵面上的各点有相同的相位，它们离任一时刻在同一波阵面上的各点有相同的相位，它们离开各自的平衡位置有相同的位移。故只需研究与波面垂开各自的平衡位置有相同的位移。故只需研究与波面垂直的任一条波线的传播规律即可。直的任一条波线的传播规律即可。21.1.平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式 平平面面简简谐谐行行波波，在在无无吸吸收收的的均均匀匀无无限限介介质质中中沿沿x 轴轴的的正正方方向向传传播播，波波速速为为u 。取取任任意意一一条条波波线线为为x 轴轴，假假定定O 点处（点处（x 轴的原点）质点的
3、振动表达式为：轴的原点）质点的振动表达式为：则波线上任意点则波线上任意点P的振动表达式如何的振动表达式如何？3振动从振动从O O点传波到点传波到P P点需点需时间：时间： 因为因为O O 点振动的相位超前于点振动的相位超前于P P点，则点，则P P 点处质点在点处质点在时刻时刻t t 的位移就等于的位移就等于O O点处质点在点处质点在( (t-t- t t ) ) 时刻的位移：时刻的位移： 省去下标省去下标P P，上式即为波线上任一质点（距原点为，上式即为波线上任一质点（距原点为x处）在任一瞬时处）在任一瞬时t的位移，即沿的位移，即沿x x 轴正方向前进的平轴正方向前进的平面简谐波的面简谐波的
4、波动表式波动表式。 4沿沿 x 轴正方向传播的平面简谐波的表式也可写为轴正方向传播的平面简谐波的表式也可写为: : 根据：根据：为方便，引入角波数（或称波矢）为方便，引入角波数（或称波矢）5波动表达式波动表达式的的的的物理意义物理意义物理意义物理意义: : : : 体现波动在时间上和空间体现波动在时间上和空间上都具有周期性上都具有周期性代表代表x1 处质点在其平衡处质点在其平衡位置附近作周期为位置附近作周期为T的的简谐振动简谐振动即即x 一定一定：令令x=x1 1，则质点位移则质点位移y 仅是时间仅是时间t 的函数。的函数。振动周期和振幅与波源振动周期和振幅与波源相同相同, , 相位比原点落后
5、相位比原点落后=2 x1/ =kx1T(波源不一定在原点）波源不一定在原点）6 可以看出，位移可以看出，位移 y 随位置随位置 x 而变化，在而变化，在 x 和和x +处处振动状态相同，表明波动过程在空间上具有周期性，波振动状态相同，表明波动过程在空间上具有周期性，波长就是波动的空间周期。长就是波动的空间周期。t 一定一定：令：令t=t1，则质点位移则质点位移y 仅是仅是x 的函数，得的函数，得 t1 时时刻的波形刻的波形即即t1时刻波线上各个质点时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位偏离各自平衡位置的位移所构成的波形图移所构成的波形图7yxo t1 t1+t utu 若若 t 和和 x 都变
6、化时，波动表达式将表示波线上各个都变化时，波动表达式将表示波线上各个不同质点在不同时刻的位移，反映了波形的传播。不同质点在不同时刻的位移，反映了波形的传播。沿波线方向，任意两点沿波线方向，任意两点x1、x2的简谐振动相位差为：的简谐振动相位差为：波形向前传播的距离为：波形向前传播的距离为：x=ut。若已知若已知t1时刻的波形，时刻的波形， t1+t时刻的波形可通过沿传播方向平移时刻的波形可通过沿传播方向平移x得到。得到。8 若平面简谐波若平面简谐波沿沿x 轴负方向传播轴负方向传播，仍设，仍设O点的点的振动表振动表达式为达式为：y x o 因为因为P P点处质点的振动要比点处质点的振动要比O O
7、点处质点早一段时间，即点处质点早一段时间，即P P点处质点在时刻点处质点在时刻t的位移等于的位移等于O O点处质点在时刻点处质点在时刻（t+x/u）的的位移，位移，P P点相位超前点相位超前, , 所以所以波动表达式为：波动表达式为：911-3 11-3 波波动动方方程程 波波速速 对对 求求x 、t 的二阶偏导的二阶偏导数数, ,得到得到平面波的波平面波的波动方程动方程 任何平面波可分解为一系列不同频率简谐波，故任何平面波可分解为一系列不同频率简谐波，故都满足这一方程。方程中的都满足这一方程。方程中的 u 就是这一就是这一平面平面波的传播波的传播速度。速度。一、波动方程一、波动方程10 在在
8、三三维维空空间间中中的的一一切切波波动动过过程程，只只要要介介质质无无吸吸收收且各向同性，都适合下式：且各向同性，都适合下式： 代表振动位移代表振动位移将上式化成球坐标的形式，可得球面波的波动方程：将上式化成球坐标的形式，可得球面波的波动方程：球面余弦波的波动表式为：球面余弦波的波动表式为： 振幅振幅与距离成反比与距离成反比 11二、波动方程的推导二、波动方程的推导 设固体细长棒的截面为设固体细长棒的截面为S、密度为、密度为 ，有平面纵波，有平面纵波沿棒长方向传播沿棒长方向传播体积元体积元ab，其原长为其原长为 x，体积为体积为 V=S x。某时刻体某时刻体积元被拉伸，设积元被拉伸，设 a 处
9、位移为处位移为y, 胁强为胁强为( (受力向左受力向左) )，b b 处位移为处位移为y+ y, , 胁强为胁强为( (受力向右受力向右) )12体积元所受合力：体积元所受合力： 体体积积元元质质量量为为 S x ，其其振振速速为为v，据据牛牛顿顿第第二二定定律，得：律，得：协变协变杨氏模量杨氏模量因因细棒中平面纵波的波动方程细棒中平面纵波的波动方程变为：变为：13则细长棒中传播的纵波的波速为：则细长棒中传播的纵波的波速为：其一般解为其一般解为 ：该波动方程的解为：该波动方程的解为：其中其中F F和和为两个任意周期函数。两个任意周期函数。这一解一解既包含沿既包含沿x x轴轴正向传播的波，也包含
10、沿正向传播的波，也包含沿x x轴负向传播的波。轴负向传播的波。14固体介质中的横波和纵波的传播速度表达式：固体介质中的横波和纵波的传播速度表达式：横波：横波：纵波：纵波：柔软细索和弦线中的横波：柔软细索和弦线中的横波：细索或弦线中张力细索或弦线中张力细索或弦线单位长度的质量细索或弦线单位长度的质量G 切变模量切变模量演示横演示横波与纵波波与纵波.PPT三、波速三、波速Y 杨氏模量杨氏模量B 体变模量体变模量细长棒中的纵波：细长棒中的纵波：15 对于理想气体，有对于理想气体，有 液体和气体中只有体变弹性，只能传播与体变有关液体和气体中只有体变弹性，只能传播与体变有关的弹性纵波的弹性纵波. .液体
11、和气体中波速为：液体和气体中波速为：M, , R, T 分别为理想气体的摩尔质量，比热容比，分别为理想气体的摩尔质量，比热容比，普适气体常数，热力学温度。普适气体常数，热力学温度。B 体变模量体变模量16浅水波浅水波( )( )深水波深水波( )( )若不考虑表面张力，当水深为若不考虑表面张力，当水深为h 时时 液体的表面可出现有重力和表面张力所引起的液体的表面可出现有重力和表面张力所引起的纵波和横波叠加的表面波，其速度计算式为：纵波和横波叠加的表面波，其速度计算式为：液体深度液体深度波长波长表面张力系数表面张力系数液体密度液体密度重力加速度重力加速度双曲正切函数双曲正切函数17例题例题1 已
12、知已知 t = 0 时的波形曲线为时的波形曲线为，波沿，波沿 x 正向传播，正向传播，在在 t = 0.5 s 时波形变为曲线时波形变为曲线。已知波的周期。已知波的周期T 1 s ，试根据图示条件求波动表达式函数和试根据图示条件求波动表达式函数和 P 点的振动表达式。点的振动表达式。（已知（已知 A = 0.01 m）解：解：波形向前传播的距离：波形向前传播的距离：y(cm)x(cm)123456POu x取取0.01，则波速为：，则波速为：18设坐标原点振动表达式设坐标原点振动表达式根据初始条件，根据初始条件，y(cm)x(cm)123456POu考虑到波的周期考虑到波的周期T 1 s，若若
13、 x0.01+l l，则，则T0.4s，不不成立。成立。m19波函数波函数P点振动表达式点振动表达式:已知已知 A = 0.01 m故故mmmm208m5m9mCDABux例例2 一平面简谐波在介质中以速度一平面简谐波在介质中以速度 u=20m/s 沿沿 ox 轴轴负负向直线传播，已知传播路径上某点向直线传播，已知传播路径上某点A的振动的振动表达式为表达式为 , 求（求（1）以）以A点为坐标原点，写出波动表达式；（点为坐标原点，写出波动表达式；（2）以距以距 A点点5m处的处的B点为坐标原点，写出波动表达式；点为坐标原点，写出波动表达式；（3）以）以A点为坐标原点，写出传播方向上点点为坐标原点
14、，写出传播方向上点B、点、点C、点点D的的振动振动表达式。表达式。21解：解：因为波沿因为波沿x轴轴负向传播，其负向传播，其 波动一般表式为波动一般表式为（1）点点A的振动表达式为：的振动表达式为：以以A点为原点的波动表达式为点为原点的波动表达式为（2）B点的相位落后点的相位落后于于A点的点的 相位相位8m5m9mCDABux原点原点振动表达式为：振动表达式为：mmmm22点点B的振动的振动表达式表达式为为:则则 B点为坐标原点的波动表达式为点为坐标原点的波动表达式为8m5m9mCDABux（3）以）以A点为坐标原点，点为坐标原点，B ，C, D点的点的振动振动表达式为表达式为mmmmm23例
15、例题题11-3 频频率率为为 =12.5kHz的的平平面面余余弦弦纵纵波波沿沿细细长长的的金金属属棒棒传传播播，棒棒的的杨杨氏氏模模量量为为Y =1.9 1011N/m2，棒棒的的密密度度 =7.6 103kg/m3。如如以以棒棒上上某某点点取取为为坐坐标标原原点点，已已知知原原点点处处质质点点振振动动的的振振幅幅为为A =0.1mm，试试求求:(1)原原点点处处质质点点的的振振动动表表式式，(2)波波动动表表式式，(3)离离原原点点10cm处处质质点点的的振振动动表表式式，(4)离离原原点点20cm和和30cm两两点点处处质质点点振振动动的的相相位位差差，(5)在在原原点点振振动动0.002
16、1s时时的的波波形。形。解：棒中的波速解：棒中的波速 波长：波长： 24周期：周期：(1)(1)原点处质点的振动表式原点处质点的振动表式y0=Acos t=0.110-3cos(212.5103t)m=0.110-3cos25103t m (2)(2)波动表式波动表式式中式中x 以以m计计，t 以以s 计计。 (3)(3)离原点离原点10cm处质点的振动表式处质点的振动表式 式中式中t 以以s 计计 25可见此点的振动相位比原点落后，相位差为可见此点的振动相位比原点落后，相位差为 ，或，或落后落后 ，即，即210-5s。 (4)(4)该两点间的距离该两点间的距离 ，相应，相应的相位差为的相位差
17、为 (5)(5)t =0.0021s时的波形为时的波形为 式中式中x 以以m 计。计。 26例例题题11-4 一一横横波波沿沿一一弦弦线线传传播播。设设已已知知t =0时时的的波波形形曲曲线线如如下下图图中中的的虚虚线线所所示示。弦弦上上张张力力为为3.6N，线线密密度度为为25g/m，求求(1)振振幅幅，(2)波波长长，(3)波波速速，(4)波波的的周周期期，(5)弦弦上上任任一一质质点点的的最最大大速速率率，(6)图图中中a、b两点的相位差，两点的相位差，(7)3T/4时的波形曲线。时的波形曲线。 t =0u27解解 由由波波形形曲曲线线图可看出：图可看出：(3)(3)由波速公式计算出由波
18、速公式计算出(2) (2) =40cm；(1) (1) A=0.5cm；(4)(4)波的周期波的周期: : t =028(5)(5)质点的最大速率质点的最大速率 (6)(6)a、b两点相隔半个波长，两点相隔半个波长，b点处质点比点处质点比a点处质点点处质点的相位落后的相位落后 。 (7)(7)3T/4时的波形如下图中实线所示，波峰时的波形如下图中实线所示，波峰M1和和M2已已分别右移分别右移 而到达而到达 和和 处处, ,是是t=0t=0时的波时的波形沿形沿x x轴平移轴平移30cm 30cm t=3T/4t=029课后作业课后作业 P101 P10111- 3, 411- 3, 4，5, 7, 95, 7, 9
