初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)

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1、初中数学几何模型大全初中数学几何模型大全 + +经典题型（含答案）经典题型（含答案）全等变换全等变换平移：平行等线段（平行四边形）平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。也可以做为轴进行对称全等。第第 1 1 页页 共共 4

2、444 页页对称半角模型对称半角模型说明：上图依次是说明：上图依次是 4545、3030、22.522.5、1515及有一个角是及有一个角是 3030直直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。等边三角形、对称全等。旋转全等模型旋转全等模型半角：有一个角含半角：有一个角含 1/21/2 角及相邻线段角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段

3、转换成旋转全等问题中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题第第 2 2 页页 共共 4444 页页旋转半角模型旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起， 成对称全等。成对称全等。自旋转模型自旋转模型构造方法：构造方法：遇遇 6060 度旋度旋 6060 度，造等边三角形度，造等边三角形遇遇 9090 度旋度旋 9090 度，造等腰直角度，造等腰直角第第 3 3 页页 共共 4444 页页遇等腰旋顶点，造旋转全等遇等腰旋

4、顶点，造旋转全等遇中点旋遇中点旋 180180 度，造中心对称度，造中心对称第第 4 4 页页 共共 4444 页页共旋转模型共旋转模型说明：说明：旋转中所成的全等三角形，旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“察的内容。通过“8 8”字模型可以证明。”字模型可以证明。模型变形模型变形第第 5 5 页页 共共 4444 页页说明：说明： 模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。第第 6 6 页页 共共 4

5、444 页页当遇到复杂图形找不到旋转全等时，当遇到复杂图形找不到旋转全等时， 先找两个正多边形或者等腰先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组分组组成三角形证全等。成三角形证全等。中点旋转：中点旋转：说明：说明：两个正方形、两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点， 证明另外两个顶点与证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。中点所成图形为等腰直角三角形。 证明方法是倍长所要证等

6、腰直证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，角三角形的一直角边， 转化成要证明的等腰直角三角形和已知的转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。第第 7 7 页页 共共 4444 页页几何最值模型几何最值模型对称最值对称最值( (两点间线段最短两点间线段最短) )对称最值对称最值( (点到直线垂线段最短点到直线垂线段最短) )第第 8 8 页页 共共 4444 页页说明：说明：通过

7、对称进行等量代换，通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距转换成两点间距离及点到直线距离。离。旋转最值旋转最值( (共线有最值共线有最值) )说明：说明：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线定长线段的和为最大值，定长线段的差为最小值。段的和为最大值，定长线段的差为最小值。剪拼模型剪拼模型第第 9 9 页页 共共 4444 页页三角形四边形三角形四边形四边形四边形四边形四边形说明：剪拼主要是通过中点的说明：剪拼主要是通过中点的 180180 度旋转及平移改变图形的形度旋转及平移改变图形的形状。状。第第 1010 页页 共共 44

8、44 页页矩形正方形矩形正方形说明：说明：通过射影定理找到正方形的边长，通过射影定理找到正方形的边长，通过平移与旋转完成形通过平移与旋转完成形状改变状改变第第 1111 页页 共共 4444 页页正方形正方形+ +等腰直角三角形正方形等腰直角三角形正方形面积等分面积等分旋转相似模型旋转相似模型第第 1212 页页 共共 4444 页页说明：两个等腰直角三角形成旋转全等，两个有一个角是说明：两个等腰直角三角形成旋转全等，两个有一个角是 300300角的直角三角形成旋转相似。角的直角三角形成旋转相似。推广：两个任意相似三角形旋转成一定角度，成旋转相似。第三推广：两个任意相似三角形旋转成一定角度，成

9、旋转相似。第三边所成夹角符合旋转“边所成夹角符合旋转“8 8”字的规律。”字的规律。相似模型相似模型第第 1313 页页 共共 4444 页页说明：说明：注意边和角的对应，注意边和角的对应，相等线段或者相等比值在证明相似中相等线段或者相等比值在证明相似中起到通过等量代换来构造相似三角形的作用。起到通过等量代换来构造相似三角形的作用。说明：（说明：（1 1）三垂直到一线三等角的演变，三等角以）三垂直到一线三等角的演变，三等角以 3030 度、度、4545度、度、6060 度形式出现的居多。度形式出现的居多。（2 2）内外角平分线定理到射影定理的演变，注意之间的相同与）内外角平分线定理到射影定理的

10、演变，注意之间的相同与不同之处。另外，相似、射影定理、相交弦定理（可以推广到圆不同之处。另外，相似、射影定理、相交弦定理（可以推广到圆第第 1414 页页 共共 4444 页页幂定理）之间的比值可以转换成乘积，通过等线段、等比值、等幂定理）之间的比值可以转换成乘积，通过等线段、等比值、等乘积进行代换，进行证明得到需要的结论。乘积进行代换，进行证明得到需要的结论。说明：说明：相似证明中最常用的辅助线是做平行，相似证明中最常用的辅助线是做平行，根据题目的条件或根据题目的条件或者结论的比值来做相应的平行线。者结论的比值来做相应的平行线。第第 1515 页页 共共 4444 页页第第 1616 页页

11、共共 4444 页页第第 1717 页页 共共 4444 页页第第 1818 页页 共共 4444 页页第第 1919 页页 共共 4444 页页第第 2020 页页 共共 4444 页页第第 2121 页页 共共 4444 页页初中数学经典几何题（附答案）初中数学经典几何题（附答案）经典难题（一）经典难题（一）1 1、已知：如图，、已知：如图，OO 是半圆的圆心，是半圆的圆心，C C、E E 是圆上的两点，是圆上的两点，CDCDABAB，EFEFABAB，EGEGCOCO第第 2222 页页 共共 4444 页页求证：求证：CDCDGFGF （初二）（初二）2 2、 已知：已知： 如图，如图

12、， P P 是正方形是正方形 ABCDABCD 内点，内点， PADPADPDAPDA15150 0求证：求证：PBCPBC 是正三角形是正三角形 （初二）（初二）3 3、如图，如图，已知四边形已知四边形 ABCDABCD、A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1都是正方形，都是正方形，A A2 2、B B2 2、C C2 2、D D2 2分别是分别是 AAAA1 1、BBBB1 1、CCCC1 1、DDDD1 1的中点的中点求证：四边形求证：四边形 A A2 2B B2 2C C2 2D D2 2是正方形是正方形 （初二）（初二）CEGADOFBAPDBC第第 2323 页页 共共

13、4444 页页AA2A1D2D1B1C1DB2BC2C4 4、已知：如图，在四边形、已知：如图，在四边形ABCDABCD 中，中，ADADBCBC，MM、NN 分别是分别是ABAB、 CDCD 的中点，的中点， ADAD、 BCBC 的延长线交的延长线交 MNMN 于于 E E、 F F求证：求证：DENDENF F经经 典典 难难 题（二）题（二）1 1、已知：、已知： ABCABC 中，中，HH 为垂心（各边高线的交点）为垂心（各边高线的交点） ，OO 为外心，为外心，且且 OMOMBCBC 于于 MM（1 1）求证：）求证：AHAH2OM2OM；（2 2）若）若BACBAC60600 0

14、，求证：，求证：AHAHAOAO （初二）（初二）FENDACMBAOHEBM DC第第 2424 页页 共共 4444 页页2 2、设、设 MNMN 是圆是圆 OO 外一直线，过外一直线，过 OO 作作 OAOAMNMN 于于 A A，自，自 A A 引引圆的两条直线，圆的两条直线，交圆于交圆于 B B、C C 及及 D D、E E，直线直线 EBEB 及及 CDCD 分别交分别交MNMN 于于 P P、QQ求证：求证：APAPAQAQ （初二）（初二）3 3、如果上题把直线如果上题把直线 MNMN 由圆外平移至圆内，由圆外平移至圆内，则由此可得以下命则由此可得以下命题：题：设设 MNMN

15、是圆是圆 OO 的弦，过的弦，过 MNMN 的中点的中点 A A 任作两弦任作两弦 BCBC、DEDE，设，设 CDCD、EBEB 分别交分别交 MNMN 于于 P P、QQ求证：求证：APAPAQAQ （初二）（初二）DGECBMODNPAQECMPAOQNB第第 2525 页页 共共 4444 页页4 4、如图，分别以、如图，分别以ABCABC 的的 ACAC 和和 BCBC 为一边，在为一边，在ABCABC 的外侧的外侧作正方形作正方形 ACDEACDE 和正方形和正方形 CBFGCBFG，点，点 P P 是是 EFEF 的中点的中点求证：点求证：点 P P 到边到边 ABAB 的距离等

16、于的距离等于 ABAB 的一半的一半 （初二）（初二）经经 典典 难难 题（三）题（三）1 1、如图，四边形、如图，四边形ABCDABCD 为正方形，为正方形，DEDE ACAC，AEAEACAC，AEAE 与与CDCD 相交于相交于 F F求证：求证：CECECFCF （初二）（初二）DGCEPAQBFAFDEBC第第 2626 页页 共共 4444 页页2 2、如图，四边形、如图，四边形 ABCDABCD 为正方形，为正方形，DEDE ACAC，且，且 CECECACA，直，直线线 ECEC 交交 DADA 延长线于延长线于 F F求证：求证：AEAEAFAF （初二）（初二）3 3、设、

17、设 P P 是正方形是正方形 ABCDABCD 一边一边 BCBC 上的任一点，上的任一点，PFPFAPAP，CFCF平分平分DCEDCE求证：求证：PAPAPFPF （初二）（初二）4 4、如图，、如图，PCPC 切圆切圆 OO 于于 C C，ACAC 为圆的直径，为圆的直径，PEFPEF 为圆的割线，为圆的割线，AEAE、 AFAF 与直线与直线 POPO 相交于相交于 B B、 D D 求证：求证： ABABDCDC， BCBCADAD（初初AFADBCEADFBPCE第第 2727 页页 共共 4444 页页PBOD三）三）经经 典典 难难 题（四）题（四）1 1、已知：、已知：ABC

18、ABC 是正三角形，是正三角形，P P 是三角形内一点，是三角形内一点，PAPA3 3，PBPB4 4，PCPC5 5求：求：APBAPB 的度数的度数 （初二）（初二）AP2 2、设、设 P P 是平行四边形是平行四边形 ABCDABCD 内部的一点，且内部的一点，且PBAPBAPDAPDA求证：求证：PABPABPCBPCB （初二）（初二）3 3、设、设 ABCDABCD 为圆内接凸四边形，求证：为圆内接凸四边形，求证： ABAB CDCDADAD BCBCACAC BDBD （初三）（初三）BCAPBCDAD第第 2828 页页 共共 4444 页页BC4 4、平行四边形、平行四边形

19、ABCDABCD 中，设中，设 E E、F F 分别是分别是 BCBC、ABAB 上的一点，上的一点，AEAE 与与 CFCF 相交于相交于 P P，且，且AEAECFCF求证：求证：DPADPADPCDPC （初二）（初二）经经 典典 难难 题（五）题（五）1 1、设、设 P P 是边长为是边长为 1 1 的正的正ABCABC 内任一点，内任一点，L LPAPAPBPBPCPC，求证：求证： L L2 2AFPDBEC2 2、已知：、已知：P P 是边长为是边长为 1 1 的正方形的正方形 ABCDABCD 内的一点，求内的一点，求PAPAPBPBPCPC 的最小值的最小值BAADPPC第第

20、 2929 页页 共共 4444 页页BC3 3、P P 为正方形为正方形 ABCDABCD 内的一点，并且内的一点，并且PAPAa a，PBPB2a2a，PCPCAD3a3a，求正方形的边长，求正方形的边长BPC4 4、如图，、如图，ABCABC 中，中，ABCABCACBACB80800 0，D D、E E 分别是分别是 ABAB、ACAC 上的点，上的点，DCADCA30300 0，EBAEBA20200 0，求，求BEDBED 的度数的度数ADE经经 典典 难难 题（一）题（一）BC第第 3030 页页 共共 4444 页页1.1.如下图做如下图做 GHGHAB,AB,连接连接 EOE

21、O。由于。由于 GOFEGOFE 四点共圆，所以四点共圆，所以GFHGFHOEG,OEG,即即 GHFGHF OGE,OGE,可可得得CD=GFCD=GF 得证。得证。EOGF= =GOGH= =COCD, ,又又 CO=EOCO=EO，所所以以2.2. 如下图做如下图做DGCDGC 使与使与ADPADP 全等，可得全等，可得PDGPDG 为等边，从为等边，从而可得而可得 DGCDGCAPDAPDCGPCGP , ,得出得出 PC=AD=DC,PC=AD=DC,和和DCG=DCG= PCGPCG15150 0所以所以DCP=30DCP=300 0，从而得出，从而得出PBCPBC 是正三角形是正

22、三角形第第 3131 页页 共共 4444 页页3.3.如下图连接如下图连接 BCBC1 1和和 ABAB1 1分别找其中点分别找其中点 F,E.F,E.连接连接 C C2 2F F 与与 A A2 2E E 并并延长相交于延长相交于 QQ 点，点，连接连接 EBEB2 2并延长交并延长交 C C2 2QQ 于于 HH 点，点， 连接连接 FBFB2 2并延长交并延长交 A A2 2QQ 于于 G G点，点，11由由 A A2 2E=E=1EBEB2 2= =1又又2A A1 1B B1 1= =2B B1 1C C1 1= FB= FB2 2，2AB=AB=2BC=FCBC=FC1 1，GF

23、Q+GFQ+ Q=90Q=900 0和和 GEBGEB2 2+ + Q=90Q=900 0, ,所以所以GEBGEB2 2= = GFQGFQ 又又B B2 2FCFC2 2= = A A2 2EBEB2 2，可得可得B B2 2FCFC2 2A A2 2EBEB2 2，所以，所以 A A2 2B B2 2=B=B2 2C C2 2，又又GFQ+GFQ+ HBHB2 2F=90F=900 0和和GFQ=GFQ= EBEB2 2A A2 2 , ,从而可得从而可得A A2 2B B2 2 C C2 2=90=900 0，同理可得其他边垂直且相等，同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形从而得出四

24、边形 A A2 2B B2 2C C2 2D D2 2是正方形。是正方形。第第 3232 页页 共共 4444 页页4.4.如下图连接如下图连接 ACAC 并取其中点并取其中点 QQ，连接，连接QNQN 和和 QMQM，所以可得，所以可得QMF=QMF= F F， QNM=QNM= DENDEN 和和QMN=QMN= QNMQNM，从而得出从而得出DENDENF F。经经 典典 难难 题（二）题（二）1.(1)1.(1)延长延长 ADAD 到到 F F 连连 BFBF，做，做 OGOGAF,AF,又又F=F= ACB=ACB= BHDBHD，可得可得 BH=BF,BH=BF,从而可得从而可得

25、HD=DFHD=DF，又又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OMAH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)(2)连接连接 OBOB，OC,OC,既得既得BOC=120BOC=1200 0，从而可得从而可得BOM=60BOM=600 0, ,所以可得所以可得 OB=2OM=AH=AO,OB=2OM=AH=AO,得证。得证。第第 3333 页页 共共 4444 页页3.3.作作 OFOFCDCD，OGOGBEBE，连接连接 OPOP，OAOA，OFOF，AFAF，OGOG，AGAG，OQOQ。由于由于ADABACAECDBE2FD2BGFD

26、，BG由此可得由此可得ADFADFABGABG，从而可得，从而可得AFC=AFC= AGEAGE。又因为又因为 PFOAPFOA 与与 QGOAQGOA 四点共圆，可得四点共圆，可得AFC=AFC= AOPAOP 和和AGE=AGE= AOQAOQ， AOP=AOP= AOQAOQ，从而可得，从而可得 AP=AQAP=AQ。第第 3434 页页 共共 4444 页页4.4.过过 E,C,FE,C,F 点分别作点分别作 ABAB 所在直线的高所在直线的高 EGEG，CICI，FHFH。可得可得 PQ=PQ=EG2FH。由由EGAEGAAICAIC， 可得可得 EG=AIEG=AI， 由由BFHB

27、FHCBICBI， 可得可得 FH=BIFH=BI。从而可得从而可得 PQ=PQ=AI2BI= =AB2，从而得证。，从而得证。经经 典典 难难 题（三）题（三）1.1.顺时针旋转顺时针旋转ADEADE，到，到ABGABG，连接，连接 CG.CG.第第 3535 页页 共共 4444 页页由于由于ABG=ABG= ADE=90ADE=900 0+45+450 0=135=1350 0从而可得从而可得 B B，G G，D D 在一条直线上，可得在一条直线上，可得AGBAGBCGBCGB。推出推出 AE=AG=AC=GCAE=AG=AC=GC，可得，可得AGCAGC 为等边三角形。为等边三角形。

28、AGB=30AGB=300 0，既得，既得EAC=30EAC=300 0，从而可得，从而可得A EC=75A EC=750 0。又又EFC=EFC= DFA=45DFA=450 0+30+300 0=75=750 0. .可证：可证：CE=CFCE=CF。2.2.连接连接 BDBD 作作 CHCHDEDE，可得四边形，可得四边形 CGDHCGDH 是正方形。是正方形。由由 AC=CE=2GC=2CHAC=CE=2GC=2CH，可得可得CEH=30CEH=300 0，所以，所以CAE=CAE= CEA=CEA= AED=15AED=150 0，又又FAE=90FAE=900 0+45+450 0

29、+15+150 0=150=1500 0，从而可知道从而可知道F=15F=150 0，从而得出，从而得出 AE=AFAE=AF。第第 3636 页页 共共 4444 页页3.3.作作 FGFGCDCD，FEFEBEBE，可以得出，可以得出 GFECGFEC 为正方形。为正方形。令令 AB=YAB=Y ，BP=X ,CE=Z ,BP=X ,CE=Z ,可得可得 PC=Y-XPC=Y-X 。tantan BAP=tanBAP=tan EPF=EPF=XY= =YZXZ，可得，可得 YZ=XY-XYZ=XY-X2 2+XZ+XZ，即即 Z(Y-X)=X(Y-X)Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得，既

30、得 X=ZX=Z ，得出，得出ABPABPPEFPEF ，得到得到 PAPAPFPF ，得证，得证 。第第 3737 页页 共共 4444 页页经经 典典 难难 题（四）题（四）1.1.顺时针旋转顺时针旋转ABPABP60600 0， 连接连接 PQPQ ， 则则PBQPBQ 是正三角形。是正三角形。可得可得PQCPQC 是直角三角形。是直角三角形。所以所以APB=150APB=1500 0。2.2.作过作过 P P 点平行于点平行于 ADAD 的直线，并选一点的直线，并选一点 E E，使，使 AEAE DCDC，BEBE PC.PC.可以得出可以得出ABP=ABP= ADP=ADP= AEP

31、AEP，可得：，可得：AEBPAEBP 共圆（一边所对两角相等）共圆（一边所对两角相等） 。可得可得BAP=BAP= BEP=BEP= BCPBCP，得证。，得证。第第 3838 页页 共共 4444 页页3.3.在在 BDBD 取一点取一点 E E， 使使BCE=BCE= ACDACD， 既得既得BECBECADCADC， 可得：可得：BEBC= =AD，即，即ACADAD BC=BEBC=BE ACAC，又又ACB=ACB= DCEDCE，可得，可得ABCABCDECDEC，既得，既得ABAC= =DE，即，即DCABAB CD=DECD=DE ACAC，由由+ +可得可得: AB: AB

32、 CD+ADCD+AD BC=AC(BE+DE)= ACBC=AC(BE+DE)= AC BDBD ， 得得证。证。4.4.过过 D D 作作 AQAQAEAE ，AGAGCFCF ，由，由SAE PQAE PQ= =，由，由22ADE= =SABCD2= =SDFC，可得：，可得：AE=FCAE=FC。可得可得 DQ=DGDQ=DG，可得，可得DPADPADPCDPC（角平分线逆定理）（角平分线逆定理） 。第第 3939 页页 共共 4444 页页经经 典典 难难 题（五）题（五）1.1.（1 1）顺时针旋转）顺时针旋转BPC 60BPC 600 0，可得，可得PBEPBE 为等边三角形。为

33、等边三角形。既得既得 PA+PB+PC=AP+PE+EFPA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要要使最小只要 APAP，PEPE，EFEF 在一条直线上，在一条直线上，即如下图：可得最小即如下图：可得最小 L=L=；（2 2）过）过 P P 点作点作 BCBC 的平行线交的平行线交 AB,ACAB,AC 与点与点 D D，F F。由于由于APDAPD ATP=ATP= ADPADP，推出推出 ADAPADAP又又 BP+DPBPBP+DPBP和和 PF+FCPCPF+FCPC又又 DF=AFDF=AF由可得：最大由可得：最大 L 2L 2 ；由（由（1 1）和（）和（2 2）既得：）既

34、得： L L2 2 。第第 4040 页页 共共 4444 页页2.2.顺时针旋转顺时针旋转BPC 60BPC 600 0，可得，可得PBEPBE 为等边三角形。为等边三角形。既得既得 PA+PB+PC=AP+PE+EFPA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要要使最小只要 APAP，PEPE，EFEF在一条直线上，在一条直线上，即如下图：可得最小即如下图：可得最小 PA+PB+PC=AFPA+PB+PC=AF。既得既得 AF=AF=14(321)2= =2= =2( 323= =1)42 32= = =( 31)22622。第第 4141 页页 共共 4444 页页3.3.顺时针旋转顺

35、时针旋转ABPABP90900 0，可得如下图：，可得如下图：既得正方形边长既得正方形边长 L =L =(222)2(22)a= =522 2 a。第第 4242 页页 共共 4444 页页4.4.在在 ABAB 上找一点上找一点 F F，使，使BCF=60BCF=600 0，连接连接 EFEF，DGDG，既得，既得BGCBGC 为等边三角形，为等边三角形，可得可得DCF=10DCF=100 0 , , FCE=20FCE=200 0 , ,推出推出ABEABEACFACF ，得到得到 BE=CFBE=CF ， FG=GEFG=GE 。推出推出 ： FGEFGE 为等边三角形为等边三角形 ，可得，可得AFE=80AFE=800 0，既既得得： DFG=40DFG=400 0又又 BD=BC=BGBD=BC=BG ，既既得得 BGD=80BGD=800 0，既既得得 DGF=40DGF=400 0推得：推得：DF=DG ,DF=DG ,得到：得到：DFEDFEDGEDGE ，第第 4343 页页 共共 4444 页页从而推得：从而推得：FED=FED= BED=30BED=300 0。第第 4444 页页 共共 4444 页页