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1、 一元二次不等式的解法及其应用一元二次不等式的解法及其应用 一、一、一元二次不等式解法一元二次不等式解法 利用函数把方程与不等式联系起来，这利用函数把方程与不等式联系起来，这样我们可以通过对二次函数的研究，来讨论样我们可以通过对二次函数的研究，来讨论方程的解，根据方程的解进一步来解一元二方程的解，根据方程的解进一步来解一元二次不等式。次不等式。二次函数、一元二次方程、一元二次不二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是一个有机的整体。等式是一个有机的整体。 引例引例.画出函数画出函数y=x2-x-6的图象，并根据图象回答：的图象，并根据图象回答： (1).图象与图象与x轴交点的坐标为轴交点的坐标
2、为 ,该坐标与方程该坐标与方程 x2 -x-6=0的解有什么关系：的解有什么关系： 。 (2).当当x取取 时，时，y=0？ 当当x取取 时，时，y0？ 当当x取取 时，时，y0 的的解集为解集为 。 不等式不等式x2 -x-60 的的解集为解集为 。(-2, 0)，(3, 0) 交点的横坐标即为方程的根交点的横坐标即为方程的根x= -2 或或 3x3 -2 x 3x|x3 x| -2 x 0y0y 0=0 0)的图象的图象方程方程ax2+bx+c=0 的根的根ax2+bx+c0 的解集的解集 ax2+bx+c0 的解集的解集有两个不等有两个不等实根实根 x1 x2有两个相有两个相等实根根等实
3、根根x=x2 = -b/2a无实根无实根x|xx2x|x-b/2aRx|x1x 0 方程方程x22x150的两根为的两根为: x3，或，或x5y-350x 不等式的解集为不等式的解集为:x x 3 或或x 5。 解一元二次不等式的方法步骤是：解一元二次不等式的方法步骤是： （3）根据图象写出解集）根据图象写出解集 步骤：步骤：（1）化成标准形式）化成标准形式 (a0)： ax2+bx+c0 或或 ax2+bx+c0练习1.解不等式4x2-4x+103.解不等式2x2-3x-204.解不等式-5x2+6x1练习1.解不等式4x2-4x+10解： =0，方程4x2-4x+1=0的 解是x1= x2
4、=1/2 1/2 X练习2.解不等式-x2+2x-30解：整理得x2-2x+30，方程x2-2x+3=0 无实解， X不等式的解集是 xR|x1/2原不等式的解集是空集。练习3.解不等式2x2-3x-20解： 0，方程2x2-3x-2=0的 解是 x1=-1/2 , x2=2 -1/2 2 X练习4.解不等式-5x2+6x1解：整理得，5x2-6x+10，方程5x2-6x+1=0的 解是x1=1/5 , x2=1 1/5 1 X不等式的解集是 x|x2原不等式的解集是x|1/5x0 的解集为的解集为x 2 x3, 求求ab的值的值. 解：解：由条件可知由条件可知 ： 方程方程a x2 bx+6
5、0的根的根2，3 又解在两根之间又解在两根之间;分析分析:二次不等式的解是通过二次方程的二次不等式的解是通过二次方程的根来确定的，根来确定的，a0 6 /a 2 3 6 a1 b /a 231 b1 则则ab2 由此可以理解为由此可以理解为 a x2 bx+60的根为的根为2，3。 例例3 . 已知一元二次不等式已知一元二次不等式a x2 bx+60 的解集为的解集为x 2 x3, 求求ab的值的值.4a2b+609a3b+60 另解：另解：由条件可知由条件可知 ： 方程方程 a x2 bx+60的根的根2、3 ， 代入方程可得：代入方程可得：则则ab2a1b1解方程组得：解方程组得： 例例4
6、、已知集合已知集合A=x x2 (a+1)x+a0 , B=x1x3，若，若AB=A , 求实数求实数a取值范围。取值范围。解：解：A B=A，则，则 A B若若a1 ， 则则A x 1xa ， 若若a1 ， 则则 A x a x 1 ，a取值范围是取值范围是1a3X31aABBAaX13则则 1 a3那么那么, A不可能是不可能是B的子集的子集 ；分析分析: 观察不难发现：观察不难发现：a、1是是 x2 (a+1)x +a=0的根的根. 若若a1 ， 则则A 1 ，满足条件，满足条件 ; a 1 例例5. 函数函数f(x)= lg(kx2 6kx+k+8） 的定义域的定义域为为R , 求求k
7、的取值范围的取值范围解：解：f(x)= lg(kx2 6kx+k+8） 的定义域为的定义域为R , UX0即即=(6k)24k(k+8)=32k232 0 0 k 1分析：分析：令令u= kx2 -6kx+k+8, 对任意的对任意的x，u= kx2-6kx+k+8的值恒大于的值恒大于0函数函数u= kx2-6kx+k+8的图象恒在的图象恒在x轴的上方轴的上方函数函数f(x) 的定义域为的定义域为R k 0当当k=0时，时，f(x)=lg8 满足条件满足条件.当当k 0时，时，只要只要 0f(x)的定义域为的定义域为R时，时， k的取值范围为的取值范围为变式变式：函数：函数f(x)= lg(kx
8、2 6kx+k+8）的）的值域值域为为 R , 求求k的取值范围。的取值范围。思考思考例例6:三、小结：三、小结： 四、作业：四、作业：一元二次不等式的简单应用一元二次不等式的简单应用一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法; 1、若、若A=x1x1， B=x | x2 + (a+1)x +a0，若，若AB=B，求，求a的取值范围。的取值范围。 2、函数的、函数的f(x)= 定义域为定义域为R求求a的取值范围。的取值范围。 3、求函数、求函数y= x2+2ax3 ，x 0,2的最值。的最值。4. 设函数设函数f(x)=lg(ax2-4x+a-3)(1). 若若f(x)的定义域是的定义域是R,求
9、求a的取值范围的取值范围.(2). 若若f(x)的值域是的值域是R,求求a的取值范围的取值范围.(3). 若若f(x)在区间在区间 -4 , -1 上递减上递减,求求a的取值范围的取值范围.解：令解：令u(x)=ax2-4x+a-3, (1) xR,则有则有ax2-4x+a-30对一切实数都成立对一切实数都成立, a4判别式判别式=(-4)2-4a(a-3)=4(4+3a-a2)解解(2) f(x)的值域是的值域是R, 00, x0时时解得解得a0 当当a0. a的取值范围是的取值范围是4. 设函数设函数f(x)=lg(ax2-4x+a-3)(3). 若若f(x)在区间在区间 -4 , -1 上递减上递减,求求a的取值范围的取值范围.
