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1、解一元二次方程的算法解一元二次方程的算法本节内容1.21.2.2 配方法配方法 把完全平方公式把完全平方公式( (ab) )2=a22ab+b2从右到左地从右到左地使用，填上适当的数，使下列等式成立：使用，填上适当的数，使下列等式成立：做一做做一做（1）x2+6x+ =( (x + ) )2；（2）x2- -6x+ =( (x - - ) )2；（3）x2+6x+4 = x2+ 6x + - - +4 =( (x+ ) )2- - . 9 3 9 3 9 9 3 5 如何解下述一元二次方程：如何解下述一元二次方程： 探究探究 x2+6x+4=0 从例从例2受到启发，如果能把方程受到启发，如果能
2、把方程写成写成 ( (x+ ) )2- - = 0 的形式，其中减去的是正数，那么我们就可以用因的形式，其中减去的是正数，那么我们就可以用因式分解法或直接开平方法求解式分解法或直接开平方法求解.（3）x2+6x+4 = x2+ 6x + 9 - - 9 +4 = ( (x+ 3 ) )2- - 5 . 这需要在方程这需要在方程的左边加的左边加上一次项系数的一半的平方，即加上上一次项系数的一半的平方，即加上32；为了保持；为了保持相等，应当再减去相等，应当再减去32. 从上面的第从上面的第( (3) )题知道，题知道，3 5 为此，把方程为此，把方程写成写成x2+6x+32- -32+4 = 0
3、，把方程左边因式分解，得把方程左边因式分解，得即即( (x+3) )2- -5=0. 解得解得由此得出由此得出 或或 从上述看出，解方程从上述看出，解方程的第一步是把它变形的第一步是把它变形成方程成方程；x2+6x+4=0 ( (x+3) )2- -5=0. 配方后就可以用因式分解法或直接开平方法配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了了.这样解一元二次方程的方法叫作这样解一元二次方程的方法叫作配方法配方法 而这一步的关键是：在方程而这一步的关键是：在方程的左边加上一的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这
4、种做法叫作未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方配方.结论结论举举例例例例5 把下列二次多项式配方：把下列二次多项式配方：（1）x2+2x- -5； （2）x2- -4x+1. （1） x2+2x- -5 = x2+2x+12- -12- -5解解: = ( (x+1) )2- -6. （2） x2- -4x+ +1 = x2- -4x+22- -22+ +1解解: = ( (x- -2) )2- -3.举举例例例例6 解下列方程：解下列方程：（1）x2+10x + 9 = 0； （2）x2- -12x - -13 = 0. （1） x2+10x+ +9=0 把原方程的左边配方，得把原
5、方程的左边配方，得解解:即即 ( )( )2- - = 0把方程左边因式分解，得把方程左边因式分解，得 = 0由此得出由此得出 = 0，或，或 =0解得解得 x1= -9， x2= -1x+516( (x+5+4)()(x+5- -4) )x+5+4x+5- -4 x2+ +10x+( ( ) )2- -( ( ) )2+ +9 = 0.55 （2） x2- -12x- -13=0 把原方程的左边配方，得把原方程的左边配方，得解解:把方程左边因式分解，得把方程左边因式分解，得 = 0 由此得出由此得出 = 0，或，或 =0 解得解得 x1= ，x2= - -113 = 0.( (x- -6+7
6、)()(x- -6- -7) )x- -6+7x- -6- -7( (x- -6) )2- -49练习练习1.填空填空：（1）x2+ +4x+1=x2+4x+ - - +1 =( (x+ ) )2- - ； （2）x2- -8x- -9=x2- -8x+ - - - -9 =( (x- - ) )2- - ； （3）x2+3x- -4=x2+3x+ - - - -4 =( (x+ ) )2- - .4 4 2 3 16 16 4 25 2. 解下列方程：解下列方程： （1）x2+4x+1=0； （2）x2- -8x- -9=0； （3）x2+3x- -4=0.（2） x2- -8x- -9 =
7、0，解解 把原方程的左边配方，得把原方程的左边配方，得 ( (x- -4) )2- -25= 0，把方程左边因式分解，得把方程左边因式分解，得 ( (x- -4+ +5)()(x- -4- -5) )=0.由此得出由此得出 x- -4+ +5=0 或或 x- -4- -5=0.解得解得 ， （1） x2+4x+1=0 ，解解 把原方程的左边配方，得把原方程的左边配方，得 ( (x+2) )2- -3= 0， 把方程左边因式分解，得把方程左边因式分解，得 ( (x+2+ + )()(x+2- - ) )=0.由此得出由此得出 x+2+ + =0 或或 x+ +2- - =0.解得解得 ， 把原方
8、程的左边配方，得把原方程的左边配方，得 ( (x+ +1.5) )2- -6.25= 0，（3） x2+3x- -4=0解解把方程左边因式分解，得把方程左边因式分解，得 ( (x+ +1.5+ +2.5)()(x+ +1.5- -2.5) )=0.由此得出由此得出 x+ +1.5+ +2.5=0 或或 x+ +1.5- -2.5=0.解得解得 ， 说一说说一说 用配方法解一元二次方程的关键步骤是什么？用配方法解一元二次方程的关键步骤是什么？ 在方程的左边加上一次项在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个数，使得含未知数的项在一个完全
9、平方式里个完全平方式里. .举举例例例例7 解方程：解方程：x2+ x - -1=0. x2+ +x- -1=0解解把原方程的左边配方，得把原方程的左边配方，得即即 也就是也就是把方程左边因式分解，得把方程左边因式分解，得由此得出由此得出 或或解得解得 在例在例7得到方程得到方程以后，还可以怎样求解？请以后，还可以怎样求解？请将你的解法填入下框内将你的解法填入下框内做一做做一做 怎样解下述方程：怎样解下述方程：动脑筋动脑筋 2x2- -4x- -6= 0. 把把方方程程的的两两边边同同除除以以2，二次项系数就等于，二次项系数就等于1了！了！ 这个方程的二次项系数不等于这个方程的二次项系数不等于
10、1，配方比较麻烦，配方比较麻烦，怎么克服这个困难？怎么克服这个困难？举举例例例例8 解方程：解方程： 2x2 - -4x - -6 = 0. 2x2- -4x- -6=0解解 原方程两边同除以原方程两边同除以2，得，得 x2- -2x- -3=0 把方程的左边配方，得把方程的左边配方，得 x2- -2x+12- -12- -3=0 即即 ( (x- -1) )2- -4 = 0. 把方程的左边因式分解，得把方程的左边因式分解，得 ( (x- -1+2)()(x- -1- -2) )=0 由此得出由此得出 x+1=0 或或 x- -3=0. 解得解得 x1= - -1 或或 x2= 3.举举例例
11、例例9 解方程：解方程： 3x2 + +9x + + = 0. 解得解得 x1= ，x2= . 剩下的步骤请同学们自己完成：剩下的步骤请同学们自己完成： 原方程两边同除以原方程两边同除以3，得，得 =0. 把方程的左边配方，得把方程的左边配方，得 x2+ +3x+( ( ) )2- -( )( )2+ + =0 即即 ( ( ) )2- - =0， 也就是也就是 ( ( ) )2- -( )( )2=0. 3x2+ +9x+ + =0解解 由此得出由此得出 从例从例1至例至例4和例和例6至例至例9的解法，我们小结出解一元二次方的解法，我们小结出解一元二次方程的算法如下：程的算法如下：一元二次方
12、程一元二次方程解两个一元解两个一元一次方程一次方程写成一般形式写成一般形式ax2+bx+c =0( (a0) )配方配方用因式分解法或用因式分解法或直接开平方法直接开平方法 是否可以是否可以直接用因式分解法或直接开直接用因式分解法或直接开 平方法平方法返回返回练习练习解下列方程：解下列方程：（1）x2+ +3x+2=0； （2）3x2 - -15x+18 =0 .（3）2x2=3x- -1； （4）- -3x2+4x+1 =0 .解解（1） x2+3x+2=0 把方程左边配方，得把方程左边配方，得 ( (x+ ) )2- - = 0，由此得出由此得出 x= .解得解得 ， （2） 3x2 -
13、-15x+18 =0 解解 把原方程的左边化简，得把原方程的左边化简，得 x2- -5x+6= 0，把方程左边把方程左边配方配方，得，得 ( (x - - ) )2+6- - = 0.由此得出由此得出 x=解得解得 ， 1-1x = =2- -2.x = =（3） 2x2=3x- -1 解解把方程右边把方程右边移项移项，并两边同除以，并两边同除以2 x2- - x+ =0.由此得出由此得出 x= .解得解得 ， 配方配方，得，得 ( (x - - ) )2+ - - = 0.（4） - -3x2 + +4x+1 =0 解解由此得出由此得出 x=解得解得 ， 把方程两边把方程两边同除以同除以-
14、-3，得，得 x2- - x - - =0.把方程左边把方程左边配方配方，得，得 ( (x - - ) )2- - - - = 0.21.2x= =3212中考中考 试题试题例例1 一元二次方程一元二次方程9( (x+1) )2=25的根为的根为（ ）. . A. . x = B. x = C. x1= ，x2= D. x1= 0 ，x2=解解方程两边同除以方程两边同除以9，得，得( (x+1) )2= . .x+1= .x1= , ,x2= . .故，应选择故，应选择C. .C中考中考 试题试题例例2 用配方法解方程用配方法解方程2x - -4x+1=0 . .解解方程两边同除以方程两边同除
15、以2 2，得，得x2- -2x+ = 0. .配方，得配方，得x2- -2x+1- -1+ =0, ,即即( (x- -1) )2= .解得解得 x - -1= , ,或或x- -1= .所以所以x1= , ,x2= .中考中考 试题试题例例3 解解将将x2+6x- -5=0的常数项移到右边，的常数项移到右边，得得 x2+6x=5.两边同时加上两边同时加上 ，即，即9，得得 x2+6x+9=5+9.即即( (x+3) )2=14.故，应选择故，应选择A. . 方程方程x2+6x- -5=0的左边配成完全平方后所得方的左边配成完全平方后所得方程为（程为（ ）.A. ( (x+3) )2=14， B. ( (x- -3) )2=14，C. ( (x+6) )2= ， D. 以上答案都不对以上答案都不对.A结结 束束
