概率论与数理统计课件：1-2 随机事件的概率

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1、随机事件的频率随机事件的频率FrequencyA=“出现正面出现正面”u随机试验随机试验抛掷一枚均匀的硬币抛掷一枚均匀的硬币u试验总次数试验总次数n 将硬币抛掷将硬币抛掷n次次u随机事件随机事件u事件事件A出现次数出现次数m出现正面出现正面m次次u随机事件的频率随机事件的频率德.摩 根 试 验 者 抛 掷 次 数n 出现正面的次数m 出现正面的频率m/n 2048 1061 0.518 蒲 丰 4040 2048 0.5069 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 维 尼 0.4998 14994 30000 抛掷硬币的试验抛掷硬币的试验Ex

2、periment of tossing coinu历史纪录历史纪录u程序模拟程序模拟抛掷硬币模拟试验抛掷硬币模拟试验 随机事件随机事件A在相同条件下重复多次时，事件在相同条件下重复多次时，事件A 发发生的频率在一个固定的数值生的频率在一个固定的数值p附近摆动，随试验次数的附近摆动，随试验次数的增加更加明显增加更加明显频率和概率频率和概率u 频率的稳定性频率的稳定性u 事件的概率事件的概率 事件事件A的频率稳定在数值的频率稳定在数值p，说明了数值，说明了数值p可以用可以用来刻划事件发生可能性大小，可以规定为事件来刻划事件发生可能性大小，可以规定为事件A的的概率概率 对任意事件，在相同的条件下重复

3、进行对任意事件，在相同的条件下重复进行n次次试验，事件发试验，事件发 生的频率生的频率 m/n，随着试验次数，随着试验次数n的的增大而稳定地在某个常数增大而稳定地在某个常数 附近摆动那么称附近摆动那么称p为事件为事件的概率的概率 概率的统计定义概率的统计定义 当试验次数足够大时，可以用事件当试验次数足够大时，可以用事件A发生的频发生的频率近似的代替事件率近似的代替事件A的概率的概率 再分析一个例子，为检查某种小麦的发芽情况，再分析一个例子，为检查某种小麦的发芽情况，从一大批种子中抽取从一大批种子中抽取10批种子做发芽试验，其结果如批种子做发芽试验，其结果如表表1-2：发芽率发芽率 发芽粒数发芽

4、粒数 种子粒数种子粒数 2 5 10 70 130 310 700 1500 2000 3000 2 4 9 60 116 282 639 1339 1806 2715 1 0.8 0.9 0.857 0.892 0.910 0.913 0.893 0.903 0.905 从表从表1-2可看出，发芽率在可看出，发芽率在0.9附近摆动，随着附近摆动，随着n的的增大，将逐渐稳定在增大，将逐渐稳定在0.9这个数值上这个数值上. 概率的统计定义概率的统计定义频率频率 稳定于概率稳定于概率 性质性质 （1） （2） （3） 若若A，B互斥，则互斥，则 给定一个随机试验，给定一个随机试验，是它的样本空间，

5、对于是它的样本空间，对于任意一个事件，赋予一个实数任意一个事件，赋予一个实数，如果如果满足下列三条公理足下列三条公理，u非负性非负性：u 规范性规范性： ()=1 u 可列可加性可列可加性：那么，称 为事件的概率概率的公理概率的公理 化定义化定义()0 两两互不相容时证明证明 由公理 3 知 所以 概率的性质概率的性质 不可能事件的概率为零不可能事件的概率为零但反过来，如果但反过来，如果P（A）=0，未必有，未必有A= 设设A1，A2， , An两两两两互不相容互不相容，则，则证明证明 在公理3中 , 取i = （i=n+1,n+2, ）.n 有限可加性有限可加性若 A B，则 P (B A)

6、 = P(B) P(A) （）（）（）（）（）（）且且 n 差事件的概率差事件的概率对任意事件B 与 A，则 P (B A) = P(B) P(BA)证明证明 由于与其对立事件互不相容，由性质2有 而 所以 逆事件的概率逆事件的概率对任意两个随机事件、对任意两个随机事件、 ，有，有 n 加法定加法定理理BCAn 加法定理加法定理 袋中有袋中有20个球，其中个球，其中15个白球，个白球，5 个黑球，从中任取个黑球，从中任取3个，求至少取到一个白球的概率个，求至少取到一个白球的概率 设表示至少取到一个白球，设表示至少取到一个白球，i 表示刚好取表示刚好取 到到i个白球，个白球，i0，1，2，3，

7、则则 u 方法方法 （用互不相容事件和的概率等于概率之和）（用互不相容事件和的概率等于概率之和）(A)(A123)(1)(2)(3)解解u 方法方法 （利用对立事件的概率关系）（利用对立事件的概率关系） 甲、乙两人同时向目标射击一次，设甲击中的概率甲、乙两人同时向目标射击一次，设甲击中的概率为为 0.85 ，乙击中的概率为，乙击中的概率为 0.8 两人都击中的概率为两人都击中的概率为 0.68 求目标被击中的概率求目标被击中的概率 解解 设表示甲击中目标，表示乙击中目标，设表示甲击中目标，表示乙击中目标，表示目标被击中，表示目标被击中， 则则 0.85 0.8 0.68 0.97 已知已知P

8、P（A A）=0.3,P(B)=0.6,=0.3,P(B)=0.6,试在下列两种试在下列两种情形下分别求出情形下分别求出P(A-B)P(A-B)与与P(B-A)P(B-A)(1) (1) 事件事件A,BA,B互不相容互不相容(2) (2) 事件事件A,BA,B有包含关系有包含关系解解(2) (2) 由已知条件和性质由已知条件和性质3,3,推得必定有推得必定有投掷两颗骰子投掷两颗骰子, ,试计算两颗骰子的点数之试计算两颗骰子的点数之和在和在4 4和和1010之间的概率（含之间的概率（含4 4和和1010）. .解解 设设“两颗骰子的点数之和在两颗骰子的点数之和在4和和10”为事件为事件A 总的基

9、本事件数为总的基本事件数为 所包含的样本点为所包含的样本点为 所以所以 考察甲，乙两个城市考察甲，乙两个城市6 6月逐日降雨情况。已月逐日降雨情况。已知甲城出现雨天的概率是知甲城出现雨天的概率是0.3, 0.3, 乙城出现雨天乙城出现雨天的概率是的概率是0.4, 0.4, 甲乙两城至少有一个出现雨甲乙两城至少有一个出现雨天的概率为天的概率为0.52, 0.52, 试计算甲乙两城同一天出试计算甲乙两城同一天出现雨天的概率现雨天的概率. .解解 设设A表示表示“甲城下雨甲城下雨”，B表示表示“乙城下雨乙城下雨” 则则 所以所以 把把6 6个小球随机地投入个小球随机地投入6 6个盒内个盒内( (球球

10、, ,盒盒可识别可识别),),求前三个盒当中有空盒的概率求前三个盒当中有空盒的概率. .解解 设设 表示第表示第 个盒空着个盒空着 则所求概率为则所求概率为 u 有限性有限性 每次试验中，每一种可能结果的发生的可能性相每次试验中，每一种可能结果的发生的可能性相同，即同，即其中 , .古典概率模型古典概率模型 每次试验中，所有可能发生的结果只有有限个，每次试验中，所有可能发生的结果只有有限个，即样本空间即样本空间是个有限集是个有限集u 等可能性等可能性 设试验结果共有设试验结果共有n个基本事件个基本事件12，.n ，而且这些事，而且这些事件的发生件的发生具有相同的可能性具有相同的可能性古典概型的

11、概率计算古典概型的概率计算u 确定试验的基本事件总数确定试验的基本事件总数事件由其中的事件由其中的m个基本事件组成个基本事件组成u 确定事件确定事件A包含的基本事件数包含的基本事件数 抛掷一颗匀质骰子抛掷一颗匀质骰子,观察出现的点数观察出现的点数 , 求求“出现的出现的点数是不小于点数是不小于3的偶数的偶数”的概率的概率=“出现的点数是不小于出现的点数是不小于3的偶数的偶数”古典概率的计算：古典概率的计算：抛掷骰子抛掷骰子（例（例1.5）n事件事件An试验试验抛掷一颗匀质骰子抛掷一颗匀质骰子,观察出现的点数观察出现的点数n样本空间样本空间=4，6 =1，2，3，4，5，6n=6m=2n事件事件

12、A的概率的概率 设在设在100 件产品中，有件产品中，有 4 件次品，其余均为正件次品，其余均为正品品古典概率的计算：正品率古典概率的计算：正品率和次品率和次品率（例（例1.6）n 100u这批产品的次品率这批产品的次品率u任取任取3件，全是正品的概率件，全是正品的概率u任取任取3件，刚好两件正品的概率件，刚好两件正品的概率mA 4 古典概率的计算：古典概率的计算：有放回抽样和无放回抽样有放回抽样和无放回抽样（例（例1.8） 设在设在10 件产品中，有件产品中，有2件次品，件次品，8件正品件正品A=“第一次抽取正品，第二次抽取次品第一次抽取正品，第二次抽取次品”n 第一次抽取后，产品放回去第一

13、次抽取后，产品放回去n 第一次抽取后，产品不放回去第一次抽取后，产品不放回去古典概率的计算：投球入盒古典概率的计算：投球入盒（例（例1.7） 把把3个小球随机地投入个小球随机地投入5个盒内。设球与盒个盒内。设球与盒都是可识别的。都是可识别的。n A=“指定的三个盒内各有一球指定的三个盒内各有一球n B =“存在三个盒，其中各有一球存在三个盒，其中各有一球abcde 古典概率的计算：生日问题古典概率的计算：生日问题（例（例1.7）某班有某班有50个学生，求他们的生日个学生，求他们的生日各不相同各不相同的概率的概率（设一年（设一年365天）天）u分析分析此问题可以用此问题可以用投球入盒投球入盒模型

14、来模拟模型来模拟50个学生个学生365天天50个小球个小球365个盒子个盒子相似地有分房问题相似地有分房问题 房子房子 盒子盒子人人 小球小球生日生日问题模型问题模型（例（例1.7）某班有某班有n个学生，个学生，设一年设一年N天天,则则他们的生日各不相他们的生日各不相同的概率为同的概率为至少有两人生日相同的概率为至少有两人生日相同的概率为 N1020233040500.120.410.51 0.71 0.89 0.97 古典概率的计算：抽签古典概率的计算：抽签 1010个学生，以抽签的方式分配个学生，以抽签的方式分配3 3张音乐会入场券，张音乐会入场券，抽取抽取1010张外观相同的纸签，其中张

15、外观相同的纸签，其中3 3张代表入场券张代表入场券. .求求 A=A=第五个抽签的学生抽到入场券第五个抽签的学生抽到入场券 的概率。的概率。u基本事件总数基本事件总数u基本事件总数基本事件总数第五个学生抽第五个学生抽到入场券到入场券另外另外9个学生抽个学生抽取剩下取剩下9张张所以抽签后千万别和别人说结果！所以抽签后千万别和别人说结果！ 0.192 古典概率的计算：数字排列古典概率的计算：数字排列用用1 1，2 2，3 3，4 4，5 5这五个数字构成三位数这五个数字构成三位数n 没有相同数字的三位数的概率没有相同数字的三位数的概率 n 没有相同数字的三位偶数的概率没有相同数字的三位偶数的概率

16、个位个位百位十位百位十位生活中的数字排列o彩票 买一注7位数中彩票的概率是？o小概率事件的存在o小概率事件的意义：飞机、火车、汽车的故障率都是小概率事件，小概率事件在一次试验中一般认为不会发生，但是试验次数多就会必然发生。匹匹 配配 问问 题题 某人写了某人写了4封信和封信和4个信封，现随机地将信装入信封中，个信封，现随机地将信装入信封中，求全部装对的概率。求全部装对的概率。解解 设设“全部装对全部装对”为事件为事件A 总的基本事件数为总的基本事件数为 4！A所包含的基本事件数为所包含的基本事件数为 1 所以所以 概率的古典定义概率的古典定义性质性质 （1） （2） （3） 若若A，B互斥，则

17、互斥，则 几何概型几何概型 Geometric Probabilityu 将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性，就得到几何概型。能性，就得到几何概型。n事件事件A就是所投掷的点落在就是所投掷的点落在S中的可度量图形中的可度量图形A中中 u 几何度量几何度量-指长度、面积或体积指长度、面积或体积 u 特点特点n 有一个可度量的几何图形有一个可度量的几何图形Sn试验试验E看成在看成在S中随机地投掷一点中随机地投掷一点 一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有0 , 5)上上诸数字，在桌面上旋转它，求当它停下来时

18、，圆周与诸数字，在桌面上旋转它，求当它停下来时，圆周与桌面接触处的刻度位于区间桌面接触处的刻度位于区间 2 , 3 上的概率。上的概率。 = 2 , 3 = 5- 0 = 5 = 3-2 = 1几何概型的计算几何概型的计算 甲乙二人相约定甲乙二人相约定6：00-6：30在预定地点会面，在预定地点会面，先到的人要等候另一人先到的人要等候另一人10分钟后，方可离开。求甲分钟后，方可离开。求甲乙二人能会面的概率，假定他们在乙二人能会面的概率，假定他们在6：00-6：30内内的任意时刻到达预定地点的机会是等可能的。的任意时刻到达预定地点的机会是等可能的。几何概型的计算：会面问题几何概型的计算：会面问题

19、 解解 设甲乙二人到达预定地点的设甲乙二人到达预定地点的时刻分别为时刻分别为 x 及及 y（分钟）（分钟）, 则则二人会面二人会面30301010yx布丰的投针试验 公元1777年的一天，法国科学家D布丰（Dbuffon17071788）的家里宾客满堂，原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。o试验开始，但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线。接着他又抓出一大把原先准备好的小针，这些小针的长度都是平行线间距离的一半。然后布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧！不过，请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我。”客人们不知布丰先生

20、要干什么，只好客随主便，一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其中与平行线相交的有704次。总数2212与相交数704的比值为3.142。”说到这里，布丰先生故意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意提高声调说：“先生们，这就是圆周率的近似值！” 众宾哗然，一时议论纷纷，个个感到莫名其妙；“圆周率？这可是与圆半点也不沾边的呀！”几何概型的计算：布丰投针问题几何概型的计算：布丰投针问题 设平面上画着一些有相等距离设平面上画着

21、一些有相等距离2a（a0）的平行线，）的平行线，向此平面上投一枚质地匀称的长为向此平面上投一枚质地匀称的长为2l（la）的针，求）的针，求针与直线相交的概率。针与直线相交的概率。d2al解解 设针的中点离较近直线的距离设针的中点离较近直线的距离为为d，针与较近直线的交角为，针与较近直线的交角为。则则d与与的可取值为的可取值为 0da , 0所求概率为所求概率为 针与直线相交针与直线相交 0dlsin da 几几 何何 概概 型型性质性质 （1） （2） （3） 若若A，B互斥，则互斥，则 一楼房共一楼房共1515层，假设电梯在一楼启动时有层，假设电梯在一楼启动时有1010名乘名乘客，且乘客在各

22、层下电梯是等可能的。试求下列事件客，且乘客在各层下电梯是等可能的。试求下列事件的概率：的概率：A1=10A1=10个人在同一层下个人在同一层下 ；A2=10A2=10人在不同人在不同的楼层下的楼层下 ；A3=10A3=10人都在第人都在第1515层下层下 ；A4=10A4=10人恰有人恰有4 4人在第人在第8 8层下层下 。总的基本事件数：总的基本事件数： 各事件含有的基本事件数分别为：各事件含有的基本事件数分别为： A1 A2 A3 A4 1解解 所以，各事件的概率为：所以，各事件的概率为： . 1 1、 从五双大小型号不同的鞋子中任意抽取四从五双大小型号不同的鞋子中任意抽取四只，问能凑成两

23、双的概率是多少？只，问能凑成两双的概率是多少？总的基本事件数：总的基本事件数： 有利事件数：有利事件数： 解解 设设“能凑成两双鞋能凑成两双鞋”为事件为事件A 所以，所求概率为所以，所求概率为 2 2， 一个圆的所有内接三角形中，问是锐角三一个圆的所有内接三角形中，问是锐角三角形的概率是多少？角形的概率是多少？A B COr解解 以以A为起点，逆时针方向为正，为起点，逆时针方向为正， B至至A的曲线距离为的曲线距离为x，C至至A的的 曲线距离为曲线距离为y，则，则ABC为锐角三角形为锐角三角形 或或 2 2， 一个圆的所有内接三角形中，问是锐角三一个圆的所有内接三角形中，问是锐角三角形的概率是

24、多少？角形的概率是多少？ABC为锐角三角形为锐角三角形 或或 解解 . 所求概率为所求概率为 直角三角形？钝角三角形？直角三角形？钝角三角形？3 3，掷两颗骰子，求事件，掷两颗骰子，求事件“至少有一颗出现至少有一颗出现6 6点点”，“点数之和为点数之和为8 8”的概率。的概率。解解 总的基本事件数为总的基本事件数为 事件事件A“至少出现一个至少出现一个6点点”所包含的基本事件数为所包含的基本事件数为 事件事件B“点数之和为点数之和为8”所包含的样本点为所包含的样本点为 所以所以 4 4， 包括甲，乙在内的包括甲，乙在内的1010个人随机地排成个人随机地排成一行，求甲与乙相邻的概率。若这一行，求甲与乙相邻的概率。若这1010个人个人随机地排成一圈，又如何呢？随机地排成一圈，又如何呢？解解 总的基本事件数为总的基本事件数为 排成行时，事件排成行时，事件“甲乙相邻甲乙相邻”的基本事件数为的基本事件数为 排成圈时，事件排成圈时，事件“甲乙相邻甲乙相邻”的基本事件数为的基本事件数为 所求概率为所求概率为