《概率论与随机过程：第3章 第二节 边缘分布》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与随机过程：第3章 第二节 边缘分布（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节 边缘分布 引言引言 边缘分布随机变量独立性一、边缘分布的定义边缘分布的定义 1边缘分布 设(X,Y)为二维随机向量其分布函数为F(x,y)，X和Y的分布函数分别记为Fx(x)和FY(y), 依次称Fx(x),FY(y)为(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数.2.公式. 由于Fx(x)=P(XxY+)=PXx,Y+ =F(x,+) 同理有 FY(y)=F(+, y).1边缘分布律 设(X,Y)为离散型二维随机向量,分别称X和Y的分布律为(X,Y)关于X和Y的边缘分布律。 2计算 问题：设(X,Y)的联合分布律为PPX= =xi, ,Y= =yj=pij, ,i，j=1,2,=1,2,求
2、关于X和Y的边缘分布律。二、离散型二维随机向量的边缘分布律3边缘分布律的表示法 XY -1 0 4 1 0.17 0.05 0.213 0.04 0.28 0.25求(X,Y)关于X和Y的边缘分布律。 解: X的可能取值为1,3且 PX=1=PX=1,Y=-1+PX=1,Y=0+PX=1,Y=4 =0.17+0.05+0.21=0.43 因此关于X的边缘分布律为 x 1 3p 0.43 0.57同样的方法求得关于Y的边缘分布律为 y -1 0 4p 0.21 0.33 0.46 我们常把边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上如下表所示 YX -1 0 4 PX=xi=pi. 1 0.17 0.0
3、5 0.21 0.43 3 0.04 0.28 0.25 0.57 PY=yj=p.j 0.21 0.33 0.46 1三、连续型随机向量(X,Y)的边缘概率密度1.边缘概率密度 设(X,Y)为连续型随机向量,具有概率密度f(x,y), X和Y的概率密度分别为fx(x),fY(y),分别称fx(x), fY(y)为(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度。 2.公式: 例1: 设(X,Y)的分布函数为 F(x,y)=A(B+arctanx)(C+arctany)， - x+ , - y+ 求(1)常数A,B,CA,B,C (2)边缘分布函数Fx(x),FY(y)。解: 由分布函数的性质知 联立这三个
4、方程,并取x=0,y=0,可得 A=1/2, B=/2,C=/2.从而 例2: 设(X,Y)在单位圆D(x,y)|x2+y21上服从均匀分布,求边缘概率密度fx(x),fY(y)。解 (X,Y)的p,d为：-1 0 x 1 xy 先求fx(x) : 当-1x1时 例4: 设(X,Y)N(1,2,12,22,)，即(X,Y)具有概率密度 求边缘概率密度fx(x),fY(y) 。 即XN(1,12)，YN(2,22).且不依赖参数。 第三节 随机变量独立性 1 1 定义定义：设F(x，y)及Fx(x) ， FY(y)分别是二维随机变量(X，Y)的分布函数及边缘分布函数。若对于所有x，y有 F(x，
5、y)=Fx(x)FY(y) 则称随机变量X和Y是相互独立的。 一、随机变量独立性的定义 例1: 在2例1中讨论X与Y的独立性。解: (X，Y)的分布函数为 边缘分布函数分别为 容易看出，对于任意实数x，y都有 F(x，y)=Fx(x)FY(y),所以X与Y是相互独立的 注释注释 由联合分布可以确定边缘分布，但反之，由边缘分布不能确定联合分布。如果X与Y相互独立，则X，Y的边缘分布就能确定联合分布。 定理 设(X，Y)为离散型随机变量，其分布律为 PX=xi,Y=yj=pij (i，j=1，2，) 其边缘分布分别律为PX=xi=pi (i=1，2，) PY=yj=p j (j=1，2，) 则X
6、X与Y Y相互独立的充要条件是对于任意i，j有: pij= pipj 证明：(1)充分性。若对于任意i，j有: pij=pip j 则对于任意实数x,y有 二、离散型随机变量独立的等价条件所以X与Y相互独立。 例1: 在上节例中讨论X与Y的独立性。 YX -1 0 4 PX=xi=Pi. 1 0.17 0.05 0.21 0.43 3 0.04 0.28 0.25 0.57 PY=yj=P.j 0.21 0.33 0.46 1解: 由计算知 PX=1=0.43，PY=-1=0.21， 且 PX=1， Y=-1=0.17 容易看出 PX=1，Y =-1PX=1PY=-1 因此X与Y不是相互独立的
7、随机变量. 三、连续型随机变量独立的等价条件定理. 设(X，Y)是连续型随机变量，f(x，y)，fx(x)，fY(y)分别为(X，Y)的概率密度和边缘概率密度，则X和Y相互独立的充要条件是等式 f(x，y) = = fx(x)fY(y) 对f(x，y)，fx(x)，fY(y)的所有连续点成立.证明：(1) 充分性。若f(x，y)= =fx(x)fY(y) ，则 所以，X与Y相互独立 (2)必要性。若X与Y相互独立，则在f(x，y) ， fx(x)，fY(y)的所有连续点有 例1: 一负责人到达办公室的时间均匀分布在812时，他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时，设他们两人到达的时间相互独立
8、，求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟(1/12小时)的概率。 解: 设X和Y分别是负责人和他的秘书到达办公室的时间，由假设X和Y的概率密度分别为 因为X，Y相互独立，故(X，Y)的概率密度为 按题意需求概率P|X-Y|1/12。画出区域：|x-y|1/12及长方形8x12；7y9，它们的公共部分是四边形表BCCB,记为G。显然仅当(X，Y)取值于G内，他们两人到达的时间相差才不超过1/12小时。因此，所求的概率为 A C CBBy0 8 12 x97而G的面积=ABC的面积-ABC的面积 于是 P|X-Y|1/12=1/48即负责人和他的秘书到达办公室的时间相差不超过5分种的概率为1/48。 例2: 设(X，Y)N(1，2，12，22，)，证明X 与Y相互独立的充要条件为=0。 证明: (X，Y)的概率密度为 关于X和Y的边缘密度分别为 (1)充分性。如果=0,则对所有x，y有 f(x，y) = = fx(x)fY(y) ，即X与Y相互独立。 (2)必要性。如果X与Y相互独立，由于f(x，y), fx(x), fY(y)都是连续函数，故对所有x，y有f(x，y) = = fx(x)fY(y) ，特别地，取x=1 ，y=2可得 从而=o.
