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1、1、学习二次函数与一元二次方程的关系、学习二次函数与一元二次方程的关系2、会用一元二次方程解决二次函数图象、会用一元二次方程解决二次函数图象 与与x轴的交点问题轴的交点问题引言引言 在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题。如：被抛射出去的物体沿抛物线轨道飞行；抛物线形拱桥的跨度、拱高的计算等利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。本节课，我将和同学们共同研究解决这些问题的方法，探寻其中的奥秘。复习复习.1、一元二次方程、一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情的根的情况可由况可由 确定。确定。 0 0= 0= 0 0 0有两个不相等的实数根有两个不相等的实
2、数根有两个相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根没有实数根b2- 4ac2、在式子、在式子h=50-20t2中，如果中，如果h=15，那么，那么 50-20t2= ，如果，如果h=20，那，那50-20t2= ， 如果如果h=0，那，那50-20t2= 。如果要想求。如果要想求t的值，那么我的值，那么我 们可以求们可以求 的解。的解。15200方程问题问题1:1:如图如图, ,以以 40 40 m /sm /s的速度将小球沿与地面成的速度将小球沿与地面成 3030度角度角的方向击出时的方向击出时, ,球的飞行路线是一条抛物线球的飞行路线是一条抛物线, ,如果不考虑空气如果不考虑空气阻力阻力,
3、 ,球的飞行高度球的飞行高度 h (h (单位单位:m):m)与飞行时间与飞行时间 t (t (单位单位:s):s)之之间具有关系间具有关系: :h= 20 t 5 th= 20 t 5 t2 2 考虑下列问题考虑下列问题: :(1)(1)球的飞行高度能否达到球的飞行高度能否达到 15 m ? 15 m ? 若能若能, ,需要多少时间需要多少时间? ?(2)(2)球的飞行高度能否达到球的飞行高度能否达到 20 m ? 20 m ? 若能若能, ,需要多少时间需要多少时间? ?(3)(3)球的飞行高度能否达到球的飞行高度能否达到 20.5 m ? 20.5 m ? 若能若能, ,需要多少时间需要
4、多少时间? ?(4)(4)球从球从 飞出到落地飞出到落地 要用多少时间要用多少时间 ? ?15= 20 t 5 t2h=0h t20= 20 t 5 t220.5= 20 t 5 t20= 20 t 5 t2解解：（：（1）解方程）解方程15=20t-5t2 即：即： t2-4t+3=0 t1=1,t2=3 当球飞行当球飞行1s和和3s时，它的高度为时，它的高度为15m。 （2）解方程）解方程20=20t-5t2 即：即： t2-4t+4=0 t1=t2=2 当球飞行当球飞行2s时，它的高度为时，它的高度为20m。 （3）解方程）解方程20.5=20t-5t2 即：即： t2-4t+4.1=0
5、 因为因为(-4)2-44.10，所以方程无解，所以方程无解， 球的飞行高度达不到球的飞行高度达不到20.5m。（4）解方程）解方程0=20t-5t2 即：即： t2-4t=0 t1=0,t2=4 球的飞行球的飞行0s和和4s时，它的高度为时，它的高度为0m。即。即 飞出到落地用了飞出到落地用了4s 。 你能结合图你能结合图形指出为什形指出为什么在两个时么在两个时间球的高度间球的高度为为15m吗？吗？那么为什么那么为什么只在一个时只在一个时间求得高度间求得高度为为20m呢？呢？那么为什么那么为什么两个时间球两个时间球的高度为零的高度为零呢？呢？ 从上面我们看出，从上面我们看出， 对于二次函对于
6、二次函数数h= 20 t 5 t2中，已知中，已知h的值，求时的值，求时间间t？其实就是把函数值其实就是把函数值h h换成换成常数常数，求一元二次方程的解。求一元二次方程的解。那么从上面，二次函数那么从上面，二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c何时为何时为一元二次方程一元二次方程?它们的关系如何它们的关系如何?一般地，当一般地，当y取定值时，二次函数为一元取定值时，二次函数为一元二次方程。二次方程。如：如：y=5时，则时，则5=ax2+bx+c就就是一个一元二次方程。是一个一元二次方程。为一个常数为一个常数（定值）（定值）练习一：练习一：如图设水管如图设水管AB的高出地面的高出地
7、面2.5m，在，在B处有一自动旋处有一自动旋转的喷水头，转的喷水头，喷出的水呈抛物线状，可用二次函数喷出的水呈抛物线状，可用二次函数喷出的水呈抛物线状，可用二次函数喷出的水呈抛物线状，可用二次函数y=-0.5xy=-0.5x2 2+2x+2.5+2x+2.5描述，在所有的直角坐标系中，求描述，在所有的直角坐标系中，求描述，在所有的直角坐标系中，求描述，在所有的直角坐标系中，求水流的落地点水流的落地点水流的落地点水流的落地点D D到到到到A A的距离是多少？的距离是多少？的距离是多少？的距离是多少？解：根据题意得解：根据题意得 -0.5x-0.5x2 2+2x+2.5 +2x+2.5 = 0，
8、解得解得解得解得x x1 1=5=5，x x2 2=-1(=-1(不合题意舍去不合题意舍去不合题意舍去不合题意舍去) )答：水流的落地点答：水流的落地点答：水流的落地点答：水流的落地点D D到到到到A A的距离是的距离是的距离是的距离是5m5m。分析：根据图象可知，分析：根据图象可知，水流的水流的水流的水流的落地点落地点落地点落地点D D的纵坐标为的纵坐标为的纵坐标为的纵坐标为0 0，横坐，横坐，横坐，横坐标即为落地点标即为落地点标即为落地点标即为落地点D D到到到到A A的距离。的距离。的距离。的距离。即：即：即：即：y=0 y=0 。想一想，这一个旋转喷水想一想，这一个旋转喷水头，水流落地
9、覆盖的最大头，水流落地覆盖的最大面积为多少呢？面积为多少呢？1、二次函数、二次函数y = x2+x-2 , y = x2 - 6x +9 , y = x2 x+ 1的图象如图所示。的图象如图所示。(1).每个图象与每个图象与x轴有几个交点？轴有几个交点？(2).一元二次方程一元二次方程? x2+x-2=0 , x2 - 6x +9=0有几个根有几个根? 验证一下一元二次方程验证一下一元二次方程x2 x+ 1 =0有根吗有根吗?(3).二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象和的图象和x轴交点的坐标与轴交点的坐标与 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系的根有什么关系?答：
10、答：2个，个，1个，个，0个个边观察边思考边观察边思考分析分析b2 4ac 0b2 4ac =0b2 4ac 0OXY2、二次函数、二次函数y=ax2+bx+c的图象和的图象和x轴交轴交点点,则则b2-4ac的情况如何。的情况如何。.二次函数与一元二次方程2 2、二次函数、二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和的图象和x x轴交点轴交点 情况如何？（情况如何？（b b2 2-4ac-4ac如何）如何） (1)(1)有两个交点有两个交点 (2)(2)有一个交点有一个交点 (3)(3)没有交点没有交点二次函数与一元二次方程b2 4ac 0b2 4ac= 0b2 4ac0b2-4
11、ac0 即即b2-4ac0 抛物线与抛物线与x轴有两个不同的交点轴有两个不同的交点你会利用二次函数的图象求一元二次方程你会利用二次函数的图象求一元二次方程2x2-4x+1=0的近似根吗？的近似根吗？1.二次函数二次函数 的的图象图象如如图图4所示，则下列说法不正确的是（所示，则下列说法不正确的是（ ）A B C D 2.二次函数y = ax2 + bx + c的部分对应值如下表： x321012345y12503430512利用二次函数的图象可知，当函数值y0时，x的取值范围是（ ）Ax0或x2 B0x2Cx1或x3 D1x33.二次函数的图象 与轴有交点，则的取值范围是【】 A.BCD4.下
12、列命题：若 ， 则 ； 若 ，则一元二次方程 有两个不相等的实数根；若 , 则一元二次方程 有两个不相等的实数根；若 ，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.其中正确的是（）.只有 只有 只有 只有5.王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线其飞行路线满足抛物线 ，其中，其中y（m）是球的飞行高度）是球的飞行高度,x（m）是球飞出的水）是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m（1）请写出抛物线的开口方向、）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴顶点坐标、对称轴（2）请求出球飞行）
13、请求出球飞行的最大水平距离的最大水平距离（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式线应满足怎样的抛物线，求出其解析式 解：（1）抛物线 开口向下，顶点为 ，对称轴为（2）令 ，得： 解得： ，球飞行的最大水平距离是8m（3）要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10m 抛物线的对称轴为 ，顶点为 设此时对应的抛物线解析式为 又 点 在此抛物线上， 作业课本课本：p56-57页页 复习复习巩固巩固选做做题：如：如图，一位，一位篮球
14、运球运动员跳起投跳起投篮，球沿抛物，球沿抛物线 yx23.5运行，然后准确落人运行，然后准确落人篮框内。已知框内。已知篮框的框的 中心离地面的距离中心离地面的距离为3.05米。米。(1)球在空中运行的最大高度球在空中运行的最大高度为多少米多少米?(2)如果如果该运运动员跳投跳投时，球出手离地面，球出手离地面的高度的高度为2.25米，米，请问他距离他距离篮框中框中心的水平距离是多少心的水平距离是多少?升华提高升华提高体会两种思想：体会两种思想：数形结合思想数形结合思想弄清一种关系弄清一种关系-函数与一元二次方程的关系函数与一元二次方程的关系 如果抛物线如果抛物线 y=ax +bx+c y=ax
15、+bx+c 与与x x轴有公共点轴有公共点(x ,o)(x ,o), ,那么那么x=x=x x 就是方程就是方程 ax +bx+c=0ax +bx+c=0的一个根的一个根. .2 22 20 00 0分类讨论思想分类讨论思想一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根的根二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和的图象和x x轴交点轴交点有两个交点有两个交点有两个相异的实数根有两个相异的实数根有一个交点有一个交点有两个相等的实数根有两个相等的实数根没有交点没有交点没有实数根没有实数根一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0根的判别式根的判别式=b=b2 2-4ac-4acb b2 2-4ac 0-4ac 0b b2 2-4ac = 0-4ac = 0b b2 2-4ac 0-4ac 0结束寄语时间是一个常数,但对勤奋者来说,是一个“变数”.用“分”来计算时间的人比用“小时”来计算时间的人时间多59倍.下课!
