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1、半群和独异点v定义 设V=是代数系统, 为二元运算如果是可结合的,则称V为半群v定义 如果半群V=中的二元运算含有幺元,则称V为含幺半群,也可叫做独异点.v为了强调幺元的存在,有时将独异点记为。1v例6.1是半群。,都是半群和独异点，其中+表示普通加法。幺元是0。,是半群和独异点,其中表示矩阵乘法。矩阵乘法的幺元是n阶单位矩阵E. 是半群和独异点,其中是有穷字母表, 表示连接运算.连接运算的幺元是空串. 是半群和独异点,其中表示集合的对称差运算对称差运算的幺元是.是半群和独异点,其中Zn =0,1,n-1, 表示模n加法。模n加法的幺元是0. .2v因为半群V=中的运算是可结合的,可以定义运算
2、的幂对任意的xS,规定xn是v x1=x,v xn+1= xnx , n为正整数。v易证x的幂遵从以下规律：v xn xm= xn+m ,v (xn)m= xnm ,n为正整数半群中运算的幂3v在独异点V=中,如果规定x0=e(x是S中的任意元素),那么有关半群中幂的定义可以变成v x0=ev xn+1= xn x n为非负整数v而关于幂的两个运算公式不变,只要其中的m和n是非负整数就可以了。独异点中运算的幂4例56子半群v半群的子代数叫做子半群v如果V=是半群, 就是V的子半群,需要满足：j T是S的非空子集，k T对V中的运算是封闭的，k即可。7v独异点的子代数叫做子独异点.v对独异点V=
3、, 构成V的子独异点，需要满足：u T是S的非空子集，v T要对V中的运算封闭，w eT，w即可。子独异点89试证上述定理并思考：若干个子半群的并是子半群吗？10积半群v定义 设V1 =, V2 =为半群,则V1V2 =也是半群,v且对任意,S1S2有v =v称V1V2为V1和V2的积半群.11半群同态v定义 设V1 =, V2=为半群,v : S1 S2，且对任意x,yS1有v (xy)= (x)* (y)v则称为半群V1到V2的同态12v例 半群V=,其中S=v.是矩阵乘法。令 : S S,v那么有 v = = v v =v这说明 是半群V的自同态,但不是满自同态13独异点的积代数v设V1= , V2=是独异点,则它们的积代数是v V1V2=S1S2,.,v其中的定义与积半群一样v即：对任意,S1S2有v =14vV1= , V2=是独异点,v设 : S1 S2 ,如果对任意x,yS1都有v (xy)= (x)* (y)v (e1)=e2,v则称为独异点V1到V2的同态独异点的同态15v例 独异点V= v其中S= ， .是矩阵乘法。v令 : S S,v那么对任意x,yS都有 v 16v但是v而 不是独异点V的么元,因此,v不是独异点V 的自同态。v这就是说,如果把V看作半群,则是V的自同态 ;如果把V看作独异点,则就不是它的自同态了。171819
