《概率论与数理统计：第3章 随机向量》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计：第3章 随机向量（222页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、随机向量第三章实例实例1 炮弹的弹着点的炮弹的弹着点的位置位置 (X,Y) 就是一个二维就是一个二维随机变量随机变量.实例实例2 考查某一地考查某一地 区学区学前儿童的发育情况前儿童的发育情况 , 则儿则儿童的身高童的身高 H 和体重和体重 W 就就构成二维随机变量构成二维随机变量(H,W).实例实例3具体评价产品的质量具体评价产品的质量, ,可能有多个评价指标可能有多个评价指标如尺寸如尺寸, ,外形外形, ,外包装等外包装等. .问题的提出问题的提出问题的提出问题的提出3.1 随机向量的分布 定义定义3.1 由由n个随机变量个随机变量X1, X2, ,Xn构成的向量构成的向量2. .n维随机
2、向量的分布函数维随机向量的分布函数X=(X1, X2, ,Xn)称为称为n 维随机变量维随机变量,也称为也称为n 维随机向量维随机向量.定义定义3.2 称称1. .n维随机向量维随机向量为简单起见，往下只讨论情形.二维随机变量及其分布函数 1.定义定义2.二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数 (1)分布函数的定义分布函数的定义 (1)(2)(2) 分布函数的性质分布函数的性质证明证明可以证明：可以证明：一个函数若具有上述一个函数若具有上述5条性质条性质, 则此函则此函数一定是某二维随机向量的分布函数数一定是某二维随机向量的分布函数.这里仅给出性质这里仅给出性质(5)的证明的证明二维随机
3、变量二维随机变量 (X,Y)作为一个整体作为一个整体, 具有分布函具有分布函数数而而 和和 都是随机变量都是随机变量 ,也有各自的分也有各自的分布函数布函数,分别记为分别记为变量变量 (X,Y) 关于关于 X 和和 Y的边缘分布函数的边缘分布函数.依次称为二维随机依次称为二维随机边缘分布函数边缘分布函数 若二维随机变量若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有所取的可能值是有限对或无限可列多对限对或无限可列多对,则称则称 ( X, Y ) 为二维离散型为二维离散型随机向量随机向量.二、离散型随机向量的概率分布 1. 定义定义3.3 2. 二维离散型随机变量的分布律二维离散型随机变量的分
4、布律 XY二维随机向量二维随机向量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为的分布律也可表示为离散型随机向量的边缘分布律 二维随机向量二维随机向量 ( X,Y ) 的联合概率分布表的联合概率分布表XY1解解且由乘法公式得且由乘法公式得例例1Remark联合分布联合分布边缘分布边缘分布1. 定义定义3.5 三、连续型随机向量的概率密度函数2.性质性质表示介于表示介于 f (x, y) 和和 xOy 平面之间的空间区域的平面之间的空间区域的全部体积等于全部体积等于1. 3.说明说明例例2解解 (2) 将将 ( X,Y )看作是平面上随机点的坐标看作是平面上随机点的坐标,即有即有 对连续型对连续型 r.v
5、 ( X,Y ) ，X 和和Y 的联合概率密度为的联合概率密度为则则 ( X,Y ) 关于关于 X 的边缘概率密度的边缘概率密度为为事实上事实上 ,连续型随机变量的边缘概率密度连续型随机变量的边缘概率密度从而从而 ,( X,Y )关于关于Y 的边缘概率密度的边缘概率密度为为均匀分布设 且其面积则服从区域 上的均匀分布只在区域 中取值，且在 中每一点“等可能”取值的密度函数满足性质Figure例例3 3在长为在长为a的线段的中点的两边随机地各取的线段的中点的两边随机地各取一点，一点，它们的联合密度函数为Y为线段中点右边所取点到端点0的距离，求两点间的距离小于求两点间的距离小于a/3的概率的概率.
6、记X为线段中点左边所取点到端点0的距离，解解OxaXYxyO图中的阴影部分，因此，所求概率为xyO二维正态分布二维正态分布若二维随机变量若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度具有概率密度Figure二维正态分布的图形二维正态分布的图形例例 4 试求二维正态随机变量的边缘概率密度试求二维正态随机变量的边缘概率密度.解解因为因为所以所以则有则有 二二维维正正态态分分布布的的两两个个边边缘缘分分布布都都是是一一维维正正态态分分布布 ,并且不依赖于参数并且不依赖于参数 .同理同理可见可见由边缘分布一般不能确定联合分布由边缘分布一般不能确定联合分布. 也就是说也就是说,对于给定的对于给定的 不同的
7、不同的 对应对应不同的二维正态分布不同的二维正态分布,但它们的边缘分布却都是一样的但它们的边缘分布却都是一样的.此例表明此例表明Question 边缘分布均为正态分布的随机变量边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分其联合分布一定是二维正态分布吗布一定是二维正态分布吗?Property3.2 条件分布与随机变量的独立性条件分布函数称为在 发生的条件下 的条件分布函数. （ 其中） 在第一章中，我们介绍了条件概率的概念在第一章中，我们介绍了条件概率的概念 .在事件在事件B发生的条件下事件发生的条件下事件A发生的条件概率发生的条件概率推广到随机变量推广到随机变量 设有两个设有两个r.v X,Y ，
8、 在给定在给定Y取某个或某些值取某个或某些值的条件下，求的条件下，求X的概率分布的概率分布.这个分布就是条件分布这个分布就是条件分布. 例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取一个学生，分别以一个学生，分别以X和和Y 表示其体重和身高表示其体重和身高 . 则则X和和Y都是随机变量，它们都有一定的概率分布都是随机变量，它们都有一定的概率分布.体重体重X身高身高Y体重体重X的分布的分布身高身高Y的分布的分布 现在若限制现在若限制 1.7Y1.8(米米), 在这个条件下去求在这个条件下去求 X的条件分布，这就意味着要从该校的学生中把身高在的条件分布，这就意
9、味着要从该校的学生中把身高在1.7米和米和1.8米之间的那些人都挑出来，然后在挑出的米之间的那些人都挑出来，然后在挑出的学生中求其体重的分布学生中求其体重的分布. 容易想象，这个分布与不加这个条件时的分布容易想象，这个分布与不加这个条件时的分布会很不一样会很不一样. 例如，在条件分布中体重取大值的概率会显著例如，在条件分布中体重取大值的概率会显著增加增加 . 两事件两事件 A , B 独立的定义是：独立的定义是：若若 P(AB) = P(A) P(B)则称事件则称事件 A , B 独立独立 . 设设 X,Y是两个是两个r.v，若对任意的事件，若对任意的事件A, B, 有有 则称则称 X, Y
10、相互相互独立独立 .定义定义可以证明，X , Y 相互独立当且仅当对任意实数 x , y ，于是，我们可以把上述定义表述为：用分布函数表示用分布函数表示,即即 设设 X,Y是两个是两个r.v，若对任意的，若对任意的x,y,有有则称则称X,Y相互相互独立独立 . 它表明，两个它表明，两个r.v相互相互独立时，它们的联合独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .此外，还可以如下等价地描述对任意函数 g1，g2，X , Y 相互独立g1(X) 与 g2(Y) 相互独立.Generalization 相互独立对任意函数 相互独立离散型随机变量的条件概率分
11、布设 为二维离散型随机向量，其概率分布为当 时，记即称为已知条件下 的条件概率分布.对称地，当 时，称为已知条件下 的条件概率分布.记Quality（3）乘法公式：（4）相互独立Remark若 只取有限值，其概率分布为称为 的联合概率矩阵. 则相互独立，当且仅当 的秩为1. 解解 依题意，依题意，Y=n 表示在第表示在第n次射击时击中次射击时击中目目标标 , 且在前且在前n-1次射击中有一次击中目标次射击中有一次击中目标. 首次击中目标时射击了首次击中目标时射击了m次次 .n次射击次射击击中击中2nn-11.m击中击中 例例1 一射手进行射击，击中目标的概率一射手进行射击，击中目标的概率 射击
12、进行到击中目标两次为止射击进行到击中目标两次为止. 以以 X 表示首表示首 次击中目标所进行的射击次数，以次击中目标所进行的射击次数，以 Y 表示总共进行表示总共进行 的射击次数的射击次数 . 试求试求 X 和和 Y 的联合分布及条件分布的联合分布及条件分布.X=m 表表 ( n=2,3, ; m=1,2, , n-1)由此得由此得X和和Y的联合分布律为的联合分布律为 不论不论m(m1时，f (x, y)=0，所以 fX (x) = 0当|x|1时,X不服从均匀分布不服从均匀分布 当当|x|1时时,有有即即 当当 |x|1 时时,有有X作为已知变量作为已知变量这里是这里是y的取值范围的取值范围
13、X已知的条件下已知的条件下Y 的条件密度的条件密度Y|X=x服从均匀分布服从均匀分布 例例4 设数设数 X 在区间在区间 (0,1) 均匀分布，当观察到均匀分布，当观察到 X=x(0x1)时，数时，数Y在区间在区间(x,1)上随机地取值上随机地取值 .求求 Y 的概率的概率密度密度.解解 依题意，依题意，X具有概率密度具有概率密度对对于于任任意意给给定定的的值值 x (0xz,Yz)FN(z)=P(Nz) =1- -P(Nz)2. N = min(X,Y) 的分布函数的分布函数由于由于 X 和和 Y 相互独立相互独立,于是得到于是得到 N = min(X,Y) 的分布的分布函数为函数为: =1
14、- - P(Xz)P(Yz)FN(z)最大值，最小值Thm 设 相互独立，密度函数分别为 分布函数分别为则 设设 X1,Xn 是是 n 个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量,它们的它们的分布函数分别为分布函数分别为 我们来求我们来求 M=max(X1,Xn) 和和N=min(X1,Xn)的分布函数的分布函数.(i = 1, , n) 用与二维时完全类似的方法，可得用与二维时完全类似的方法，可得 N=min(X1,Xn)的分布函数是的分布函数是 M=max(X1,Xn)的分布函数为的分布函数为: 特别地，当特别地，当X1,Xn相互独立且具有相同分相互独立且具有相同分布函数布函数F(x)时，有
15、时，有 需要指出的是，当需要指出的是，当X1,Xn相互独立且具有相相互独立且具有相同分布函数同分布函数F(x)时时, 常常称称M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn)为极值为极值 . 由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值价值.顺序统计量Thm设 相互独立同分布，且分布函数均为 将 按由小到大的次序排列为对任意 设则Sketch 留意到 表示 中至少有 个小于等于 即 等于 中 恰好有 个， 个 个小于等于 这 个事件的并. 数学期望的进一步性质Exa
16、mple 四、数学期望的性质四、数学期望的性质 1. 设设C是常数，则是常数，则E(C)=C; 4. 设设X、Y 相互独立，则相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y); 2. 若若k是常数，则是常数，则E(kX)=kE(X); 3. E(X+Y) = E(X)+E(Y);请注意请注意:由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y 独立独立数学期望的进一步性质（2）若 相互独立，则协方差协方差协方差矩阵协方差矩阵相关系数相关系数条件数学期望条件数学期望条件数学期望的预测含义条件数学期望的预测含义3.4 随机向量的数字特征 前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，前面我们介绍了
17、随机变量的数学期望和方差，对于二维随机变量（对于二维随机变量（X，Y），我们除了讨论），我们除了讨论X与与Y的数学期望和方差以外，还要讨论描述的数学期望和方差以外，还要讨论描述X和和Y之间之间关系的数字特征，这就是本讲要讨论的关系的数字特征，这就是本讲要讨论的协方差和相关系数协方差和相关系数 量量E X-E(X)Y-E(Y) 称为随机变量称为随机变量X和和Y的协方差的协方差,记为记为cov(X,Y) ，即即 cov(X1+X2,Y)= cov(X1,Y) + cov(X2,Y) cov(X,Y)= cov(Y,X)一、协方差一、协方差Th 3.5 cov(aX,bY) = ab cov(X,Y
18、) a,b 是常数是常数cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) 定义定义3.8 cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) 可见，若可见，若X 与与 Y 独立独立， cov(X,Y)= 0 .(4)计算协方差的一个简单公式计算协方差的一个简单公式由协方差的定义及期望的性质，可得由协方差的定义及期望的性质，可得cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)即即D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2cov(X,Y)(5) 随机变量随机变量和的方差与协方差的关系和的方差与协方差的关系特
19、别地特别地Quality协方差是内积拟正定性 且当且仅当对称性线性Schwarz inequality二、二、协方差矩阵协方差矩阵将二维随机变量（将二维随机变量（X1,X2）的四个二阶中心矩）的四个二阶中心矩排成矩阵的形式排成矩阵的形式:称此矩阵为称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵）的协方差矩阵.这是一个这是一个对称矩阵对称矩阵 类似定义类似定义n 维随机变量维随机变量(X1,X2, ,Xn) 的协方差矩阵的协方差矩阵.为为(X1,X2, ,Xn) 的的协方差矩阵协方差矩阵都存在都存在,( i, j=1,2,n )若若矩阵矩阵称称协方差矩阵的半正定性性质 1为半正定矩阵.即关于 的二次型性质
20、 2为非正定矩阵当且仅当在概率意义下线性相关.特别地，对于 情形，有在概率意义下线性相关不全为零，使非正定，其中 协方差的大小在一定程度上反映了协方差的大小在一定程度上反映了X和和Y相互间相互间的关系，但它还受的关系，但它还受X与与Y本身度量单位的影响本身度量单位的影响. 例如：例如：cov(kX, kY)=k2cov(X,Y)为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了了相关系数相关系数 .三、相关系数三、相关系数为随机变量为随机变量 X 和和 Y 的相关系数的相关系数 .定义定义: 设设D(X)0, D(Y)0,称称在不致引起混淆时在不致引
21、起混淆时，记记 为为 .相关系数的性质：相关系数的性质：证证: 由方差的性质和协方差的定义知由方差的性质和协方差的定义知,对任意实数对任意实数 b, 有有0D(Y-bX)= b2D(X)+D(Y)-2b cov(X,Y )令令，则上式为，则上式为 D(Y- bX)= 由于方差由于方差D(Y)是正的是正的,故必有故必有2. X和和Y独立时，独立时， =0，但其逆不真，但其逆不真.由于当由于当X和和Y独立时，独立时，cov(X,Y)= 0.故故= 0但由但由并不一定能推出并不一定能推出X和和Y 独立独立.请看下例请看下例.cov(X,Y)=0，事实上，事实上，X的密度函数的密度函数例例1 设设X服
22、从服从(-1/2, 1/2)内的均匀分布内的均匀分布 , 而而Y=cos X,不难求得不难求得存在常数存在常数 a,b(b0），使使 PY= a + b X=1，即即 X 和和 Y 以概率以概率 1 线性相关线性相关.因而因而 =0，即即X和和Y不相关不相关 .但但Y与与X有严格的函数关系，有严格的函数关系，即即X和和Y不独立不独立 .考虑以考虑以X的线性函数的线性函数a+bX来近似表示来近似表示Y，以均方误差以均方误差e =EY-(a+bX)2来衡量以来衡量以 a +b X 近似表示近似表示Y 的好坏程度的好坏程度 :e 值越小表示值越小表示 a +b X 与与 Y 的近似程度越好的近似程度
23、越好. 用微积分中求极值的方法，求出使用微积分中求极值的方法，求出使e 达到最小时的达到最小时的 a,b相关系数刻划了相关系数刻划了X和和Y间间“线性相关线性相关”的程度的程度. =E(Y2)+b2E(X2)+a2- 2bE(XY)+2abE(X) - 2aE(Y)e =EY-(a+bX)2 解得解得这样求出的这样求出的最佳逼近为最佳逼近为L(X)=a0+b0X 这样求出的最佳逼近为这样求出的最佳逼近为L(X)=a0+b0X这一逼近的剩余是这一逼近的剩余是若若 =0， Y 与与 X 无线性关系无线性关系;Y与与X有严格线性关系有严格线性关系;若若可见可见,若若0| |0，有，有则称随机变量序列
24、则称随机变量序列Xn依概率收敛于依概率收敛于X, 记为记为依概率收敛的性质依概率收敛的性质Theorem 若则Xn与Yn的加、减、乘、除依概率收敛到 a 与 b 的加、减、乘、除.定理定理:依概率收敛序列的性质依概率收敛序列的性质证明证明证毕证毕n若 几乎处处收敛于 即 则称以概率1收敛于 记为以概率以概率1 1收敛收敛按分布收敛、弱收敛按分布收敛、弱收敛对分布函数列 Fn(x)而言，点点收敛要求太高.Definition 若在 F(x) 的连续点上都有则称Fn(x) 弱收敛于弱收敛于 F(x) ，记为相应记称称Xn按分布收敛于按分布收敛于X.，或三种收敛之间的关系n反之不然. 但当X为常数a
25、时，后两者等价，即几个常见的大数定律几个常见的大数定律定理定理3.9（切比雪夫大数定律）切比雪夫大数定律） 设设 X1,X2, 是两两不相关的随是两两不相关的随机变量序列，它们都有有限的方差，机变量序列，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即并且方差有共同的上界，即 D(Xi) C，i=1,2, ，切比雪夫切比雪夫则对任意的则对任意的0， 证明切比雪夫大数定律主要的数学证明切比雪夫大数定律主要的数学工具是切比雪夫不等式工具是切比雪夫不等式. 设随机变量设随机变量X有期望有期望E(X)和方差和方差 ，则对于任给则对于任给 0, 切比雪夫大数定律表明，独立随机变切比雪夫大数定律表明，独立随机
26、变量序列量序列Xn，如果方差有共同的上界，则，如果方差有共同的上界，则与其数学期望与其数学期望 偏差很小的偏差很小的 概率接近于概率接近于1. 随机的了，取值接近于其数学期望的概率接随机的了，取值接近于其数学期望的概率接近于近于1.即当即当n充分大时，充分大时，差不多不再是差不多不再是切比雪夫大数定律给出了切比雪夫大数定律给出了平均值稳定性的科学描述平均值稳定性的科学描述 作为切比雪夫大数定律的特殊情况，作为切比雪夫大数定律的特殊情况，有下面的推论有下面的推论.Corollary（独立同分布下的大数定律独立同分布下的大数定律） 设设X1,X2, 是独立同分布的随机变量是独立同分布的随机变量序列
27、，且序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2,则对任给则对任给 0, 下面给出的下面给出的Bernoulli大数定大数定律，是上推论的一种特例律，是上推论的一种特例. 设设Sn是是n重重BernoulliBernoulli试验试验中事件中事件A发生发生的次数，的次数，p是事件是事件A发生的概率，则对任给发生的概率，则对任给的的 0，定理定理3.10（伯努利大数定律）（伯努利大数定律）或或n这是历史上最早的大数定律，是伯努利在1713年建立的.n概率论的研究到现在约有300多年的历史，最终以事件的频率稳定值来定义其概率. 作为概率这门学科的基础，其“定义”的合理性这一悬而未决的带根本
28、性的问题,由伯努利于1713年发表的这个“大数定律”给予了解决，被称为概率论的第一篇论文,为概率论的公理化体系奠定了理论基础. 之所以被成为“定律”, 是这一规律表述了一种全人类多年的集体经验. 因此，对尔后的类似定理统称为大数“定律”.n在大数定律中，由 可知，对充分大的n，有或n根据实际推断原理,概率论中把这两类特别的随机事件实际上当作非随机事件来处理的,也就不能引起人们的重视.但贝努利正是通过对这种所谓“非随机事件”的研究,以严谨的极限形式,揭示了这种接近于1(或0)事件的规律,由此解决了概率论与数理统计的一系列问题.这对学习和研究者来讲是一个很大的启发. 贝努里大数定律表明，当重复试验
29、次数贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件充分大时，事件A发生的频率发生的频率Sn/n与事件与事件A的概率的概率p有较大偏差的概率很小有较大偏差的概率很小. 贝努里大数定律提供了通过试验来确贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法定事件概率的方法.任给任给0，蒲丰投针问题中解法的蒲丰投针问题中解法的理论依据就是大数定律理论依据就是大数定律 当投针次数当投针次数n很大时，用针与线相交的很大时，用针与线相交的频率频率m/n近似针与线相交的近似针与线相交的概率概率p，从而求得，从而求得的近的近似值似值.针长针长L线距线距a下面给出的独立同分布下的大数定下面给出的独立同分布下的大数
30、定律，不要求随机变量的方差存在律，不要求随机变量的方差存在. 设随机变量序列设随机变量序列X1,X2, 独立同独立同分布，具有有限的数学期分布，具有有限的数学期E(Xi)=, i=1,2,， 则对任给则对任给 0 ，定理定理3.10（辛钦大数定律辛钦大数定律）辛钦辛钦Kolmogorov 大数定律n设相互独立且服从相同分布，且数学期望存在，记 则中心极限定理的客观背景中心极限定理的客观背景 在实际问题中，常常需要考虑许多随机在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响因素所产生总影响.例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响着许多随
31、机因素的影响.空气阻力所产生的误差，空气阻力所产生的误差，对我们来说重要的是这些对我们来说重要的是这些随机因素的总影响随机因素的总影响.如瞄准时的误差，如瞄准时的误差，炮弹或炮身结构所引起的误差等等炮弹或炮身结构所引起的误差等等. 观察表明，如果一个量是由大量相互独观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大素在总影响中所起的作用不大. 则这种量一则这种量一般都服从或近似服从正态分布般都服从或近似服从正态分布. 自从高斯指出测量误差服从正自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布态分布之后
32、，人们发现，正态分布在自然界中极为常见在自然界中极为常见. 现在我们就来研究独立随机变量之和所现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题特有的规律性问题. 当当n无限增大时，这个和的极限分布是无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？什么呢？在什么条件下极限分布会是正态的呢？在什么条件下极限分布会是正态的呢？ 由于无穷个随机变量之和可能趋于由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们不研究故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量的标准化的随机变量的分布函数的极限的分布函数的极限.的分布函数的极限的分布函数的极限. 可以证明，满足一定的条件，上述极可以证
33、明，满足一定的条件，上述极限分布是标准正态分布限分布是标准正态分布. 考虑考虑中心极限定理中心极限定理这就是下面要介这就是下面要介绍的绍的 在概率论中，习惯于把和的分布收在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做敛于正态分布这一类定理都叫做中心极中心极限定理限定理.我们只讨论几种简单情形我们只讨论几种简单情形. 下面给出的独立同分布随机变量序列下面给出的独立同分布随机变量序列的中心极限定理的中心极限定理, 也称也称列维一林德伯格列维一林德伯格（LevyLindberg）定理）定理.Linderberg-Levy中心极限定理设 相互独立且服从相同分布，且数学期望存在，记则记做从而
34、知当 n 充分大时， 近似服从正态分布近似服从正态分布中心极限定理说明了正态分布的重要地位，中心极限定理说明了正态分布的重要地位，它也是统计学中处理大样本时的重要工具。它也是统计学中处理大样本时的重要工具。中心极限定理是大数定律的精细版本在Kolmogorov大数定律的条件下，当 充分大时，可以任意小. 故 而利用Linderberg-Levy中心极限定理，我们知道De.Moivre-Laplace中心极限定理设 则即：正态分布为二项分布的极限分布.Galton钉板试验GaltonGalton钉板试验模拟钉板试验模拟下面的图形表明下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近正态分布是二项分布的逼近
35、.中心极限定理的意义 在后面的课程中，我们还将经常用到中心在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理极限定理. 中心极限定理是概率论中最著名的结果中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实线这一值得注意的事实.二项分布的近似（1）对二项分布进行近似计算时，必须要求充分大（一般来说， 充分大是指）；（2）当 （或）时，用Poisson分布近似较精确；（3）当
36、 且时，用正态分布近似较精确.Example in Practice1997年12月,美国司法部发布一项禁令，反对Microsoft在其Windows 95操作系统中捆绑其Internet Explorer. （Fortune,1998.2.2）. 公众意见以Microsoft是否为垄断者而划分. Fortune杂志的一项调查显示，有41的人同意对“Microsoft是垄断者”的指控. 那么，在一个800人的群体中，请问：(1) 预期将有多少人认为Microsoft是垄断者？(2) 不超过300人认为Microsoft是垄断者的概率是多少？(3) 超过450人不同意Microsoft是垄断者的概率是多少？
