信号与系统分析ppt课件

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1、第第第第 1 1 页页页页理解冲激信号的特性理解冲激信号的特性 第一章第一章 信号与系统信号与系统认识本课程领域的一些名词、术语认识本课程领域的一些名词、术语 学习信号运算规律、熟悉表达式与波形的对应关系学习信号运算规律、熟悉表达式与波形的对应关系了解本课程研究范围、学习目标了解本课程研究范围、学习目标 初步了解本课程用到的主要方法和手段初步了解本课程用到的主要方法和手段学习的主要内容：学习的主要内容：第第第第 2 2 页页页页 什么是信号？什么是系统？为什么把这两什么是信号？什么是系统？为什么把这两个概念连在一起？个概念连在一起？系统的概念系统的概念1.1 1.1 绪论绪论第一章第一章 信号

2、与系统信号与系统信号的概念信号的概念 第第第第 3 3 页页页页l 消息消息 (message):l 信息信息 (information):l 信号信号 (signal):人们常常把来自外界的各种报道统称为消息。人们常常把来自外界的各种报道统称为消息。通常把消息中有意义的内容称为信息。通常把消息中有意义的内容称为信息。本课程中对本课程中对“信息信息”和和“消息消息”两词不加严格区分两词不加严格区分。信号是信息的载体，信号是信息的载体，通过信号传递信息。通过信号传递信息。一、信号的概念一、信号的概念第第第第 4 4 页页页页信号实例 信号我们并不陌生。如信号我们并不陌生。如 刚才铃声刚才铃声声信

3、号声信号，表示该上课了；，表示该上课了； 十字路口的红绿灯十字路口的红绿灯光信号光信号，指挥交通；，指挥交通； 电视机天线接受的电视信息电视机天线接受的电视信息电信号电信号； 广告牌上的广告牌上的文字、图象信号文字、图象信号等等。等等。第第第第 5 5 页页页页 信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置，信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置，这样的物理装置这样的物理装置常称为系统。常称为系统。l 一般而言，一般而言，系统系统( (system)system)是指若干相互关联的事是指若干相互关联的事物组合而成具有特定功能的整体。物组合而成具有特定功能的整体。 如手机、电视机、通信网、计算机网

4、等都可以如手机、电视机、通信网、计算机网等都可以看成系统。它们所传送的语音、音乐、图象、文字看成系统。它们所传送的语音、音乐、图象、文字等都可以看成信号。等都可以看成信号。l 系统的基本作用是对信号进行系统的基本作用是对信号进行传输和处理传输和处理。系统系统输入信号输入信号激励激励输出信号输出信号响应响应二、系统的概念二、系统的概念？第第第第 6 6 页页页页信号处理对信号进行某种加工或变换。对信号进行某种加工或变换。目的：目的：l消除信号中的多余内容；消除信号中的多余内容；l滤除混杂的噪声和干扰；滤除混杂的噪声和干扰；l将信号变换成容易分析与识别的形式，便于估计和将信号变换成容易分析与识别的

5、形式，便于估计和选择它的特征参量。选择它的特征参量。信号处理的应用已遍及许多科学技术领域。信号处理的应用已遍及许多科学技术领域。第第第第 7 7 页页页页信号传输通信的目的是为了实现消息的传输。通信的目的是为了实现消息的传输。l原始的光通信系统原始的光通信系统古代利用烽火传送边疆警报；古代利用烽火传送边疆警报；l声音信号的传输声音信号的传输击鼓鸣金。击鼓鸣金。l利用电信号传送消息。利用电信号传送消息。1837年，莫尔斯年，莫尔斯(F.B.Morse)发明电报；发明电报；1876年，贝尔年，贝尔(A.G.Bell)发明电话。发明电话。l利用电磁波传送无线电信号。利用电磁波传送无线电信号。1901

6、年，马可尼年，马可尼(G.Marconi)成功地实现了横渡大西洋成功地实现了横渡大西洋的无线电通信；全球定位系统的无线电通信；全球定位系统GPS(GlobalPositioningSystem)；个人通信具有美好的发展前景。；个人通信具有美好的发展前景。第第第第 8 8 页页页页通信系统为传送消息而装设的全套技术设备为传送消息而装设的全套技术设备第第第第 9 9 页页页页信号的描述信号的描述1.2 1.2 信号的描述和分类信号的描述和分类几种典型确定性信号几种典型确定性信号信号的分类信号的分类第第第第 1010 页页页页一、信号的描述一、信号的描述信号：信号：是信息的一种物理体现，它一般是随时

7、间位是信息的一种物理体现，它一般是随时间位信号：信号：按物理属性分：按物理属性分：电信号电信号和和非电信号，非电信号，它们可它们可电信号的基本形式：电信号的基本形式：随时间变化的电压或电流。随时间变化的电压或电流。描述信号的描述信号的常用常用方法：方法：本课程讨论电信号本课程讨论电信号-简称简称“信号信号”。（2 2）信号的图形表示）信号的图形表示-波形波形（1 1）表示为时间的函数）表示为时间的函数“信号信号”与与“函数函数”两词常相互通两词常相互通用。用。置变化的物理量。置变化的物理量。以相互转换。以相互转换。第第第第 1111 页页页页二、信号的分类二、信号的分类l按实际用途划分：按实际

8、用途划分：电视信号、雷达信号、控制信号、通信信号电视信号、雷达信号、控制信号、通信信号信号的分类方法很多，可以从不同的角度对信信号的分类方法很多，可以从不同的角度对信号进行分类。号进行分类。l 按所具有的时间特性划分：按所具有的时间特性划分：确定信号和随机信号；确定信号和随机信号； 连续信号和离散信号；连续信号和离散信号；周期信号和非周其信号；周期信号和非周其信号； 能量信号和功率信号；能量信号和功率信号；一维信号和多维信号；一维信号和多维信号； 因果信号与反因果信号；因果信号与反因果信号；实信号与复信号；实信号与复信号； 左边信号与右边信号。左边信号与右边信号。第第第第 1212 页页页页1

9、.确定信号和随机信号确定信号和随机信号可用确定的时间函数表示的信号：可用确定的时间函数表示的信号：f f( (t t) )随机信号：随机信号：确定性信号：确定性信号：伪随机信号：伪随机信号： 貌似随机而遵循严格规律产生的信号：貌似随机而遵循严格规律产生的信号：电子系统中的起伏电子系统中的起伏热噪声、雷电干扰信号。热噪声、雷电干扰信号。但实际传输的信号是不确定的，常受但实际传输的信号是不确定的，常受到各种到各种干扰干扰及及噪声噪声的影响。的影响。取值具有不确定性的信号：取值具有不确定性的信号：伪随机码。伪随机码。 第第第第 1313 页页页页2.连续信号和离散信号连续信号和离散信号l连续时间信号

10、：连续时间信号：在一定的连续的时间范围内，对于在一定的连续的时间范围内，对于值域连续值域连续值域不连值域不连续续任意的时间值，都有对应的函数值任意的时间值，都有对应的函数值“连续连续”指函数的指函数的定义域定义域时间连续，但可含时间连续，但可含间断点间断点简称连续信号。简称连续信号。，至于值域可连续也可不连续。，至于值域可连续也可不连续。第第第第 1414 页页页页l离散时间信号：离散时间信号：仅在一些离散的瞬间才有定义的信号，简称离散信号。仅在一些离散的瞬间才有定义的信号，简称离散信号。定义域定义域时间是离散的时间是离散的离散点间隔离散点间隔离散时刻离散时刻tk(k=0,1,2,)有定义有定

11、义 Tk=tk+1- -tk可以相等也可不等；可以相等也可不等；其余时间无定义。其余时间无定义。通常取等间隔通常取等间隔T，表示为，表示为f(kT)，简写为，简写为f(k)；等间隔的离散信号称为等间隔的离散信号称为序列序列，其中，其中k称为序号称为序号。第第第第 1515 页页页页上述离散信号可简画为：上述离散信号可简画为：用表达式可写为：用表达式可写为：或写为：或写为：f(k)=，0，1，2，-1.5，2，0，1，0，k=0=0 对应某序号对应某序号k的序列值称为第的序列值称为第k k个样点的个样点的“样值样值”。 第第第第 1616 页页页页模拟信号、抽样信号、数字信号数字信号：数字信号：

12、模拟信号：模拟信号：抽样信号：抽样信号：量量化化抽抽样样连续信号连续信号幅值幅值时间时间均连续均连续时间时间幅值幅值离散离散连续连续时间时间幅值幅值均离散均离散离散信号离散信号模拟信号模拟信号数字信号数字信号第第第第 1717 页页页页3.周期信号和非周期信号周期信号和非周期信号定义在定义在(- -，)区间，每隔一定时间区间，每隔一定时间T(或或整数整数N），），按相同规律重复变化的信号。按相同规律重复变化的信号。连续周期信号连续周期信号f(t)满足满足f(t)=f(t+mT)，m=0,1,2,离散周期信号离散周期信号f(k)满足满足f(k)=f(k+mN)，m=0,1,2,满足上述关系的最小

13、满足上述关系的最小T T( (或整数或整数N N) )称为该信号的称为该信号的周期周期。不具有周期性的信号称为不具有周期性的信号称为非周期信号非周期信号。第第第第 1818 页页页页连续周期信号举例例例 判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。（1 1）f1(t)=sin2t+cos3t（2）f2(t)=cos2t+sint分析分析两个周期信号两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为的周期分别为T1和和T2，若其，若其周期之比周期之比T1/T2为有理数，则其和信号为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周仍然是周期信号，其周期为期信号，

14、其周期为T1和和T2的最小公倍数。的最小公倍数。解答解答第第第第 1919 页页页页解答（1）sin2t是周期信号，其角频率和周期分别为是周期信号，其角频率和周期分别为1=2rad/s，T1=2/1=scos3t是周期信号，其角频率和周期分别为是周期信号，其角频率和周期分别为2=3rad/s，T2=2/2=(2/3)s由于由于T1/T2=3/2为有理数，故为有理数，故f1(t)为周期信号，其周期为周期信号，其周期为为T1和和T2的最小公倍数的最小公倍数2。（2）cos2t 和和sint的周期分别为的周期分别为T1=s，T2=2s，由于，由于T1/T2为无理数，故为无理数，故f2(t)为非周期信

15、号。为非周期信号。第第第第 2020 页页页页离散周期信号举例1例例 判断正弦序列判断正弦序列f(k)=sin(k)是否为周期信号，若是，是否为周期信号，若是，确定其周期。确定其周期。解解f(k)=sin(k)=sin(k+2m)，m=0,1,2,式中式中称为数字角频率，单位：称为数字角频率，单位：rad。由上式可见：。由上式可见：仅当仅当2/为整数时为整数时，正弦序列才具有周期，正弦序列才具有周期N=2/。当当2/为有理数时为有理数时，正弦序列仍为具有周期性，但其周期，正弦序列仍为具有周期性，但其周期为为N=M(2/)，M取使取使N为整数的最小整数。为整数的最小整数。当当2/为无理数时为无理

16、数时，正弦序列为非周期序列。，正弦序列为非周期序列。第第第第 2121 页页页页离散周期信号举例2例例判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。（1）f1(k)=sin(3k/4)+cos(0.5k)（2）f2(k)=sin(2k)解解 （1 1）sin(3k/4)和和cos(0.5k)的数字角频率分别为的数字角频率分别为1=3/4rad，2=0.5rad由于由于2/1=8/3，2/2=4为有理数，故它们的周期为有理数，故它们的周期分别为分别为N1=8，N2=4，故，故f1(k)为周期序列，其周期为周期序列，其周期为为N1和和N2的最小公倍数的

17、最小公倍数8。（2 2）sin(2k)的数字角频率为的数字角频率为1=2rad；由于；由于2/1=为无理数，故为无理数，故f2(k)=sin(2k)为非周期序列为非周期序列。第第第第 2222 页页页页举例由上面几例可看出：由上面几例可看出：连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。周期序列。两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。列之和一定是周期序列。例例1 1例例2 2例例3 3连续周期信号示例连续周期信号示例离散周期信号示例离散周期信号示例1离散周期信号示

18、例离散周期信号示例2第第第第 2323 页页页页4能量信号与功率信号能量信号与功率信号将信号将信号f (t)施加于施加于1电阻上，它所消耗的瞬时功电阻上，它所消耗的瞬时功率为率为|f (t)|2，在区间，在区间(,)的能量和平均功率定义的能量和平均功率定义为为（1）信号的能量）信号的能量E（2）信号的功率）信号的功率P若信号若信号f (t)的能量有界，即的能量有界，即E,则称其为能量则称其为能量有限信号，简称有限信号，简称能量信号能量信号。此时。此时P=0若信号若信号f (t)的功率有界，即的功率有界，即P0，则将，则将f ()右移；否则左右移；否则左移。移。如：如：第第第第 3838 页页页

19、页3.信号的展缩(尺度变换）将将f(t)f(a t)，称为对信号称为对信号f (t)的的尺度变换尺度变换。t 2t压缩压缩t 0.5t扩展扩展离散信号：离散信号：由于由于f(a k)仅在为仅在为a k为为整数整数时才有意义，时才有意义，进行进行尺度尺度如：如：若若a 1，则波形沿横坐标压缩；若，则波形沿横坐标压缩；若0a 1，则扩展，则扩展。变换变换时可能会使时可能会使部分信号丢失部分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。因此一般不作波形的尺度变换。第第第第 3939 页页页页4.混合运算举例例例1 1例例3 3平移与反转相结合平移与反转相结合平移、反转、尺度变换相结合，正逆运算。平移、反转、

20、尺度变换相结合，正逆运算。例例2 2平移与尺度变换相结合平移与尺度变换相结合注意：注意：l 对正向运算，先平移，后反转和展缩不易出错；对正向运算，先平移，后反转和展缩不易出错；意意一切变换都是相对一切变换都是相对t而言；而言；对逆运算，反之。对逆运算，反之。l 混合运算时，三种运算的次序可任意。但一定要注混合运算时，三种运算的次序可任意。但一定要注第第第第 4040 页页页页平移与反转平移与反转相结合相结合举例例例 已知已知f(t)如图所示，画出如图所示，画出f(2t)。解答解答法一法一：先平移先平移f(t)f(t +2)再反转再反转f(t +2)f(t +2)法二法二：先反转先反转f(t)f

21、(t)再右移再右移f(t)f(t +2)左移左移右移右移=f(t 2)第第第第 4141 页页页页平移与展缩平移与展缩相结合相结合举例例例 已知已知f(t)如图所示，画出如图所示，画出f(3t +5)解答解答时移时移尺度尺度变换变换尺度尺度变换变换时移时移第第第第 4242 页页页页平移、展缩、反折平移、展缩、反折相结合相结合举例例例 已知已知f(t)如图所示，画出如图所示，画出f(- -2t - -4)。解答解答压缩，得压缩，得f(2t 4)反转，得反转，得f(2t 4)右移右移4，得，得f(t 4)第第第第 4343 页页页页也可以也可以先压缩、再平移、最后反转先压缩、再平移、最后反转。压

22、缩，得压缩，得f(2t)右移右移2，得，得f(2t 4)反转，得反转，得f(2t 4)第第第第 4444 页页页页三微分和积分冲激信号冲激信号第第第第 4545 页页页页l 阶跃函数；阶跃函数；l冲击函数；冲击函数；l 阶跃序列和单位样值序列。阶跃序列和单位样值序列。1.4 1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数 函数本身有不连续点函数本身有不连续点( (跳变点跳变点) )或其导数与积或其导数与积分有不连续点的一类函数统称为分有不连续点的一类函数统称为奇异信号奇异信号或或奇异奇异函数。函数。第第第第 4646 页页页页一、一、单位阶跃函数电路如图：电路如图：持续下去。持续下去。1. 1.

23、 定义定义在在t=0t=0时刻，电路接入电源，时刻，电路接入电源，波形图如上图：波形图如上图：注意：注意：在在t=0处，发生跳变处，发生跳变,未定义未定义或或1/2。单位阶跃函数单位阶跃函数1且无限且无限第第第第 4747 页页页页2.延迟单位阶跃信号延迟单位阶跃信号第第第第 4848 页页页页3.阶跃函数的性质阶跃函数的性质（1）可以方便地表示某些信号）可以方便地表示某些信号f(t)=(t)-(t-T)（2）用阶跃函数表示信号的作用区间）用阶跃函数表示信号的作用区间（3）积分）积分f(t) t1Tf(t)t1第第第第 4949 页页页页二二单位冲激函数 单位冲激函数单位冲激函数是个是个奇异函

24、数奇异函数，它是对强度极大，它是对强度极大，l 矩形脉冲演变为冲击函数；矩形脉冲演变为冲击函数；l 狄拉克（狄拉克（Dirac)Dirac)定义定义；定义定义；l 冲击函数与阶跃函数关系；冲击函数与阶跃函数关系；l 冲击函数的性质。冲击函数的性质。作用时间极短一种物理量的理想化模型。作用时间极短一种物理量的理想化模型。第第第第 5050 页页页页1.矩形脉冲演变为冲击函数矩形脉冲演变为冲击函数(t)含义：含义：宽为宽为 , ,高为高为/1/1 , ,面积为面积为1 1 变化：变化：面积面积1 1不变，脉冲宽度不变，脉冲宽度脉冲幅度脉冲幅度 t 单位冲击函数单位冲击函数函数，在函数，在t=0点有

25、一点有一“冲激冲激”，在在t=0t=0点以外各处，函数值为零。点以外各处，函数值为零。 0 /1注意：注意：如果矩形面积如果矩形面积=E，E冲激强度为冲激强度为E矩形脉冲矩形脉冲 如右图：如右图：第第第第 5151 页页页页2.狄拉克(Dirac)定义函数值只在函数值只在t =0时不为零；时不为零； 积分面积为积分面积为1 1； t =0时，时，为无界函数。，为无界函数。第第第第 5252 页页页页3.(t)与与(t)的关系的关系求导求导积分积分第第第第 5353 页页页页引入冲激函数之后，间断点的导数也存在引入冲激函数之后，间断点的导数也存在f(t)=2(t +1)- -2(t - -1)f

26、(t)=2(t +1)- -2(t - -1)求导求导第第第第 5454 页页页页三三冲激函数的性质冲激函数的性质l取样性取样性l冲击偶冲击偶l尺度变换尺度变换l 复合函数形式的冲击函数复合函数形式的冲击函数第第第第 5555 页页页页1.取样性(筛选性) 对于平移情况：对于平移情况： 如果如果f f( (t t) )在在t t = 0= 0处连续，且处处有界，则有处连续，且处处有界，则有 第第第第 5656 页页页页取样性证明分分t =0和和t 0两种情况两种情况讨论讨论 1.当当t 0时，时， (t)=0， f(t)(t)=0，积分结果为积分结果为0 0 2.当当t =0时，时， (t)0

27、，f(t)(t)=f(0)(t)，第第第第 5757 页页页页取样性质举例0(t)第第第第 5858 页页页页2.冲激偶 规则函数求极限定义规则函数求极限定义S(t)tt求求导导tS/ /(t)t求求导导第第第第 5959 页页页页冲激偶的性质 f(t)(t)=f(0)(t)f (0) (t)证明证明f(t)(t)=f(t)(t)+f (t) (t)f(t)(t)=f(t)(t)f (t) (t)=f(0)(t)f (0) (t)证明证明第第第第 6060 页页页页冲激偶的性质(n)(t)的定义：的定义：(t)的平移：的平移：不能按常规函数对待不能按常规函数对待t+ +、- -面积抵消面积抵消

28、第第第第 6161 页页页页3.对(t)的尺度变换证明证明推论推论:(1)(2t)=0.5(t)当当a=1时时 (t)=(t)为偶函数，为偶函数，(t)=(t)为奇函数为奇函数举例举例(2)第第第第 6262 页页页页冲激信号尺度变换的证明从从定义看：定义看：p(t)面积为面积为1，强度为强度为1p(at)面积为面积为，强度为强度为第第第第 6363 页页页页冲激信号尺度变换举例例例1例例2第第第第 6464 页页页页举例已知已知f(t)，画出，画出g(t)=f (t)和和g(2t)求导求导压压缩缩第第第第 6565 页页页页4.复合函数形式的冲激函数复合函数形式的冲激函数实际中有时会遇到形如

29、实际中有时会遇到形如f(t)的冲激函数，其的冲激函数，其中中f(t)是普通函数。并且是普通函数。并且f(t)=0有有n个互不相等的个互不相等的实根实根ti(i=1，2，n)(t24)=1(t+2)+(t2)f(t)图示说明图示说明例例f(t)=t24第第第第 6666 页页页页一般地，一般地，这表明，这表明，f(t)是位于各是位于各ti处，强度为处，强度为的的n个个冲激函数构成的冲激函数序列。冲激函数构成的冲激函数序列。注意注意：如果：如果f(t)=0有重根，有重根，f(t)无意义。无意义。(t 24)=1(t+2)+(t2)第第第第 6767 页页页页冲激函数的性质总结（1 1）取样性）取样

30、性 （2 2）奇偶性）奇偶性 （3 3）比例性）比例性 （4 4）微积分性质）微积分性质（5 5）冲激偶）冲激偶 第第第第 6868 页页页页四.序列序列(k)和和(k)这两个序列是这两个序列是普通序列普通序列-非奇异函数非奇异函数1. 1. 单位单位( (样值样值) )序列序列(k)取样性质：取样性质：f(k)(k)=f(0)(k)f(k)(k k0)=f(k0)(k k0)例例定定义义1 1-1-1-2-22 20 01 1第第第第 6969 页页页页2.单位阶跃序列单位阶跃序列(k)定义定义(k)与与(k)的关系的关系(k)=(k)(k 1)或或(k)=(k)+(k 1)+定义定义第第第

31、第 7070 页页页页l 系统的分类系统的分类l 系统的数学模型系统的数学模型l 系统的框图描述系统的框图描述1.5系统的描述系统的描述第第第第 7171 页页页页一、一、系统的分类1.1.广义定义：广义定义：是一个是一个由若干个有相互关联的单元组合由若干个有相互关联的单元组合而成的具有特定功能而成的具有特定功能的整体。的整体。如：如：通信系统、控制系统、计算机系统，但要注意通信系统、控制系统、计算机系统，但要注意其其概念概念很宽泛，不仅仅限于电路、通信等方面很宽泛，不仅仅限于电路、通信等方面课程：课程：电路、网络、系统通用电路、网络、系统通用2.2.系统的分类：系统的分类： 可以从多种角度来

32、观察、分析研究系统的特征，可以从多种角度来观察、分析研究系统的特征，提出对系统进行分类的方法。提出对系统进行分类的方法。第第第第 7272 页页页页系统的分类 连续系统与离散系统连续系统与离散系统 动态系统与即时系统动态系统与即时系统 但输入单输出与多输入多输出系统但输入单输出与多输入多输出系统 线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统 时不变与时变系统时不变与时变系统 因果系统与非因果系统因果系统与非因果系统 稳定系统与不稳定系统稳定系统与不稳定系统常用分类方法：常用分类方法：第第第第 7373 页页页页系统的分类系统的分类连续连续(时间时间)系统系统：系统的激励和响应均为连续信号；系统的激

33、励和响应均为连续信号；离散离散(时间时间)系统系统：系统的激励和响应均为离散信号；系统的激励和响应均为离散信号；混合系统混合系统：连续系统与离散系统的组合；连续系统与离散系统的组合；是连续信号，一个为离散是连续信号，一个为离散信号。信号。如如A/D，D/A变换器，变换器，系统的激励和响应一个是系统的激励和响应一个是.连续系统与离散系统连续系统与离散系统第第第第 7474 页页页页系统的分类系统的分类 若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为则称为动态动态系统系统或或记忆系统记忆系统。

34、 如：如：含有记忆元件含有记忆元件( (电容、电感等电容、电感等) )的电路是动态系统的电路是动态系统 否则称：否则称：即时系统即时系统或或无记忆系统无记忆系统（电阻串并联）。（电阻串并联）。.动态系统与即时系统动态系统与即时系统课程：课程：动态系统动态系统 第第第第 7575 页页页页二、二、系统的数学模型 连续系统解析描述：连续系统解析描述：微分方程微分方程 离散系统解析描述：离散系统解析描述：差分方程差分方程第第第第 7676 页页页页1.连续系统的解析描述连续系统的解析描述图示图示RLC电路，以电路，以uS(t)作激励，以作激励，以uC(t)作为作为响应，由响应，由KVL和和VAR列方

35、程，并整理得列方程，并整理得二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程抽去具有的物理含义，微分方程写成抽去具有的物理含义，微分方程写成这个方程这个方程也可以描述下面的一个也可以描述下面的一个二阶机械减振系统二阶机械减振系统第第第第 7777 页页页页机械减振系统机械减振系统其中，其中，k为弹簧常数，为弹簧常数，M为物体质为物体质量，量，C为减振液体的阻尼系数，为减振液体的阻尼系数，x为物体偏离其平衡位置的位移，为物体偏离其平衡位置的位移，f(t)为初始外力。其运动方程为为初始外力。其运动方程为能用相同方程描述的系统称为：能用相同方程描述的系统称为：物理系统不同：物理系统不同：数学模型相同数学

36、模型相同第第第第 7878 页页页页2.离散系统的解析描述离散系统的解析描述例：某人每月例：某人每月初初在银行存入一定数量的款，月息为在银行存入一定数量的款，月息为元元/月，求第月，求第k个月初存折上的款数。个月初存折上的款数。设第设第k个月初的款数为个月初的款数为y(k),这个月初的存款为这个月初的存款为f(k),上个上个月初的款数为月初的款数为y(k- -1)，利息为，利息为y(k- -1),则则y(k)=y(k- -1)+y(k- -1)+f(k) 即：即： y(k)- -(1+)y(k- -1)=f(k)若设开始存款月为若设开始存款月为k=0，则有，则有y(0)=f(0)。上述方程就称

37、为上述方程就称为y(k)与与f(k)之间所满足的差分方程。之间所满足的差分方程。所谓所谓差分方程差分方程是指由未知输出序列项与输入序列项构成是指由未知输出序列项与输入序列项构成的方程。未知序列项变量最高序号与最低序号的差数，的方程。未知序列项变量最高序号与最低序号的差数，称为称为差分方程的阶数差分方程的阶数。上述为。上述为一阶差分方程。一阶差分方程。由由n阶差分方程描述的系统称为阶差分方程描述的系统称为n阶系统。阶系统。第第第第 7979 页页页页三三系统的框图描述l 连续系统的基本单元连续系统的基本单元l 离散系统的基本单元离散系统的基本单元l 系统模拟系统模拟系统的模型（微分方程、差分方程

38、）：系统的模型（微分方程、差分方程）：微分微分差分差分运算运算包含包含表示表示单元符号并连接成系统单元符号并连接成系统加法加法乘法乘法第第第第 8080 页页页页1.连续系统的基本单元连续系统的基本单元延延时时器器加加法法器器积积分分器器数数乘乘器器乘乘法法器器注意：没有微分器？注意：没有微分器？实际：用积分单元代替实际：用积分单元代替第第第第 8181 页页页页2.离散系统的基本单元离散系统的基本单元加法器加法器迟延单元迟延单元数乘器数乘器第第第第 8282 页页页页3.系统模拟系统模拟实际系统实际系统方程方程模拟框图模拟框图实验室实现（模拟系统）实验室实现（模拟系统）指导实际系统设计指导实

39、际系统设计例例1 1例例2 2例例3 3例例4 4方程方程框图用变换域方法和梅森公式简单，后面讨论。框图用变换域方法和梅森公式简单，后面讨论。第第第第 8383 页页页页由微分方程画框图例1例例1：已知已知y”(t)+ay(t)+by(t)=f(t)，画框图。，画框图。解：解：将方程写为将方程写为y”(t)=f(t)ay(t)by(t)第第第第 8484 页页页页由微分方程画框图例2例2请画出如下微分方程所代表的系统的系统框图请画出如下微分方程所代表的系统的系统框图。解：解：第第第第 8585 页页页页解法二解解2：该方程含该方程含f(t)的导数，可引入辅助函数画出框图。的导数，可引入辅助函数

40、画出框图。设辅助函数设辅助函数x(t)满足满足x”(t)+3x(t)+2x(t)=f(t)可推导出可推导出y(t)=x(t)+x(t)，它满足原方程。，它满足原方程。第第第第 8686 页页页页例3由框图写微分方程例例3：已知框图，写出系统的微分方程。已知框图，写出系统的微分方程。设辅助变量设辅助变量x(t)如图如图x(t)x(t)x”(t)x”(t)=f(t)2x(t)3x(t),即即x”(t)+2x(t)+3x(t)=f(t)y(t)=4x(t)+3x(t)根据前面，逆过程，得根据前面，逆过程，得 y”(t)+2y(t)+3y(t)=4f(t)+3f(t)第第第第 8787 页页页页例4由

41、框图写差分方程例例4：已知框图，写出系统的差分方程。已知框图，写出系统的差分方程。解：解：设辅助变量设辅助变量x(k)如图如图x(k)x(k-1)x(k-2)即即x(k)+2x(k-1)+3x(k-2)=f(k)y(k)=4x(k-1)+5x(k-2)消去消去x(k)，得，得y(k)+2y(k-1)+3y(k-2)=4f(k-1)+5f(k-2)x(k)=f(k)2x(k-1)3x(k-2)第第第第 8888 页页页页l 系统的特性系统的特性l 系统的分析方法系统的分析方法1.6系统的特性与分析方法系统的特性与分析方法第第第第 8989 页页页页一、系统的特性 连续系统与离散系统连续系统与离散

42、系统 动态系统动态系统与即时系统与即时系统 但输入单输出与多输入多输出系统但输入单输出与多输入多输出系统 线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统 时不变与时变系统时不变与时变系统 因果系统与非因果系统因果系统与非因果系统 稳定系统与不稳定系统稳定系统与不稳定系统常用分类方法：常用分类方法： 系统的特性系统的特性 线性性质线性性质 时不变性时不变性 因果性因果性 稳定性稳定性第第第第 9090 页页页页1. 1. 线性线性 y(t): y(t):系统的响应、系统的响应、f(t):f(t):系统的激励系统的激励 线性性质：线性性质：齐次性齐次性和和可加性可加性可加性：可加性：齐次性齐次性：f()

43、y() y() = Tf () f ()y() a f()a y() f1()y1() f2()y2() f1()+f2()y1()+y2() af1()+bf2()ay1()+by2() 综合，线性性质：综合，线性性质：第第第第 9191 页页页页线性系统的条件线性系统的条件动态系统动态系统响应响应不仅与激励不仅与激励f()有关，而且与有关，而且与可分解性可分解性零状态线性零状态线性y()=Tf(),x(0)yzi()=T0，x(0)，yzs()=Tf(),0零输入线性零输入线性 动态系统动态系统是线性系统，要满足下面是线性系统，要满足下面3个条件：个条件：系统的系统的初始状态初始状态x(0

44、)有关有关,初始状态也称初始状态也称“内部激内部激励励”。第第第第 9292 页页页页线性系统的条件线性系统的条件可分解性：可分解性：y()=yzi()+yzs()零状态线性：零状态线性：Taf1(t)+bf2(t),0=aTf1(),0+bTf2(),0y()=Tf(),x(0)yzi()=T0，x(0)，yzs()=Tf(),0零输入线性：零输入线性：T0,ax1(0)+bx2(0)=aT0,x1(0)+bT0,x2(0)举例举例1 1举例举例2 2线性线性系统（连续、离散）系统（连续、离散）线性线性微分（差分）方程微分（差分）方程第第第第 9393 页页页页判断线性系统举例例例1：判断下

45、列系统是否为线性系统？判断下列系统是否为线性系统？（1）y(t)=3x(0)+2f(t)+x(0)f(t)+1（2）y(t)=2x(0)+|f(t)|（3）y(t)=x2(0)+2f(t)解解：（1）yzs(t)=2f(t)+1，yzi(t)=3x(0)+1显然，显然，y(t)yzs(t)yzi(t)不满足可分解性，故为非线不满足可分解性，故为非线性性（2）yzs(t)=|f(t)|，yzi(t)=2x(0)y(t)=yzs(t)+yzi(t)满足可分解性；满足可分解性；由于由于Taf(t),0=|af(t)|ayzs(t)不满足零状态不满足零状态线性。故为非线性系统。线性。故为非线性系统。（

46、3）yzi(t)=x2(0)，T0,ax(0)=ax(0)2ayzi(t)不满足零输入线性。故为非线性系统。不满足零输入线性。故为非线性系统。第第第第 9494 页页页页例例2：判断下列系统是否为线性系统？：判断下列系统是否为线性系统？解：解：y(t)=yzs(t)+yzi(t)，满足可分解性；满足可分解性；Taf1(t)+bf2(t),0=aTf1(t),0+bTf2(t),0，满足零状态线满足零状态线性；性；T0,ax1(0)+bx2(0)=e- -tax1(0)+bx2(0)=ae- -tx1(0)+be- -tx2(0)=aT0,x1(0)+bT0,x2(0),满足零输入线性；满足零输

47、入线性；所以，所以，该系统为线性系统。该系统为线性系统。第第第第 9595 页页页页2.时不变性时不变性 时不变系统时不变系统：系统参数不随时间变化系统参数不随时间变化线性系统线性系统时不变时不变常系数微分方程常系数微分方程时变时变变系数微分方程变系数微分方程线性时不变系统：线性时不变系统：yzs()=Tf(),0yzs(t-td)=Tf(t-td),0yzs(k-kd)=Tf(k-kd),0第第第第 9696 页页页页时不变性时不变性 f(t - -td)yzs(t - -td) f(t )yzs(t ) 举举例例第第第第 9797 页页页页判断时不变系统举例例：例：判断下列系统是否为时不变

48、系统？判断下列系统是否为时不变系统？（1）yzs(k)=f(k)f(k 1)（2）yzs(t)=t f(t)（3）yzs(t)=f(t)解解(1)令令g(k)=f(k kd)T0，g(k)=g(k)g(k 1)=f(k kd)f(kkd1)而而yzs(k kd)=f(k kd)f(kkd1)显然显然T0，f(k kd)=yzs(k kd)故该系统是时不变的。故该系统是时不变的。(2)令令g(t)=f(t td)T0，g(t)=t g(t)=t f(t td)而而yzs(t td)=(t td) f(t td)显然显然T0，f(t td)yzs(t td)故该系统为时变系统故该系统为时变系统第第

49、第第 9898 页页页页(3)yzs(t)=f(t)令令g(t)=f(t td),T0，g(t)=g(t)=f(t td)而而yzs(t td)=f(t td)显然显然T0，f(t td)yzs(t td)故该系统为时变系统故该系统为时变系统直观判断方法：直观判断方法：若若f()前出现变系数，或有反转、展缩变换，前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。则系统为时变系统。第第第第 9999 页页页页LTI系统的微分特性和积分特性系统的微分特性和积分特性本课程重点：本课程重点：讨论线性时不变系统讨论线性时不变系统。（2 2）微分特性）微分特性：证证明明(LinearTime-Invar

50、iant)，简称，简称LTI系统。系统。（1 1）线性性质：）线性性质：齐次性和可加性齐次性和可加性(3) (3) 积分特性积分特性：若若f (t)yzs(t)f (t)yzs(t)若若f (t)yzs(t)第第第第 100100 页页页页3.因果性因果性因果系统：因果系统：即因果系统即因果系统:激励是原因，响应是结果，响应是不激励是原因，响应是结果，响应是不输出不超前于输入输出不超前于输入。 判断方法：判断方法：举举例例综合举例综合举例指零状态响应不会出现在激励之前的系统。指零状态响应不会出现在激励之前的系统。有有tt0，yzs(t)=0t=t0时时f(t)加入：加入： 可能在激励施加之前出

51、现的。可能在激励施加之前出现的。第第第第 101101 页页页页因果系统判断举例如下列系统均为如下列系统均为因果系统：因果系统：yzs(t)=3f(t1)而下列系统为而下列系统为非因果系统：非因果系统：(1)yzs(t)=2f(t+1)(2)yzs(t)=f(2t)因为，令因为，令t=1时，有时，有yzs(1)=2f(2)因为，若因为，若f(t)=0，tt0，有，有yzs(t)=f(2t)=0,t0.5t0。第第第第 102102 页页页页因果系统与非因果系统因果系统与非因果系统 实际的物理可实现系统均为因果系统 非因果系统的概念与特性也有实际的意义，如信非因果系统的概念与特性也有实际的意义，

52、如信号的压缩、扩展，语音信号处理等。号的压缩、扩展，语音信号处理等。 若信号的自变量不是时间，如位移、距离、亮度若信号的自变量不是时间，如位移、距离、亮度等为变量的物理系统中研究因果性显得不很重要等为变量的物理系统中研究因果性显得不很重要。 因果信号可表示为：可表示为：t=0接入系统的信号称为因果信号。接入系统的信号称为因果信号。第第第第 103103 页页页页4.稳定性稳定性一个系统，若对有界的激励一个系统，若对有界的激励f(.)所产生的零状态响所产生的零状态响应应yzs(.)也是有界时，则称该系统为也是有界时，则称该系统为有界输入有界输出有界输入有界输出稳定稳定，简称，简称稳定稳定。即。即

53、若若f(.)，其，其yzs (.)0后：后：.起始条件起始条件yzi(0+)若有，利用若有，利用函数匹配法函数匹配法t0后：后：有输入有输入微分方程微分方程= =右端有没有右端有没有函数函数其中：其中：Czij要由起始条件要由起始条件yzi(j)(0+)定定yzi（j) (0+) = yzi (j)(0-) = y (j)(0-)类似电路中的换路定则类似电路中的换路定则yzs(0+)由由 0-0-、f(t)f(t)共同决定共同决定零输入响应零输入响应f(t)=0t=0-yzi(j)(0-)存在存在第第第第 126126 页页页页零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应举例举例例例1：描述某

54、系统的微分方程为描述某系统的微分方程为y”(t)+3y(t)+2y(t)=2f (t)+6f(t)已知已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)求该系统的零输入响应和零状态响应。求该系统的零输入响应和零状态响应。解解y yzizi(t)(t)形式同齐次方程：形式同齐次方程：yzi”(t)+3yzi(t)+2yzi(t)=0齐次方程的特征根为齐次方程的特征根为：1，2yzi,(0+)=yzi,(0-)=y,(0-)yzi(0+)=yzi(0-)=y(0-)零输入响应：零输入响应：yzi(t)=Czi1et+Czi2e2tCzi1Czi2由由yzi,(0+)、yzi(0+)决定决定解得系

55、数：解得系数：Czi1=4,Czi2=2（1 1）零输入响应）零输入响应y yzizi(t)(t)第第第第 127127 页页页页零状态响应零状态响应y yzszs(t)(t)yzi(t)=4et2e2t,t0（2 2）零状态响应）零状态响应yzs(t) 满足下列方程满足下列方程y zs(t)解的形式：同非齐次方程，由两部分组成解的形式：同非齐次方程，由两部分组成形式同齐次方程的解形式同齐次方程的解特解特解（满足非齐次方程）（满足非齐次方程）yzs(t)=Czs1e-t+Czs2e-2t+C(对对t0后后yzs”(t)+3yzs(t)+2yzs(t)=6)yzs”(t)+3yzs(t)+2yz

56、s(t)=2(t)+6(t)yzs(0-)=yzs(0-)=0第第第第 128128 页页页页零状态响应零状态响应y yzszs(t)(t)C Czs1zs1 C Czs2zs2:由由yzs(0+)及及yzs,(0+)定定yzs”(t)+3yzs(t)+2yzs(t)=6yzs(t)=Czs1e-t+Czs2e-2t+Cy yzszs(t)(t)中有中有3 3各系数待定：各系数待定：C Czs1 , zs1 , C Czs2 , zs2 , C CC C 应满足：应满足：带入方程求得：带入方程求得： C=3C=3 yzs(0+)=？yzs(0+)=？由由函数匹配法定：函数匹配法定：法一：分析法

57、一：分析+直接积分直接积分第第第第 129129 页页页页零状态响应零状态响应y yzszs(t)(t)yzs”(t)+3yzs(t)+2yzs(t)=2(t)+6(t)右端有右端有(t)微分方程积分得：微分方程积分得：yzs”(t)含有含有(t)yzs(t)跃变跃变yzs(t)在在t=0连续连续yzs(0+)yzs(0-)yzs(0+)=yzs(0-)=0yzs(0+)-yzs(0-)+3yzs(0+)-yzs(0-)+2因此，因此，yzs(0+)=2+yzs(0-)=2第第第第 130130 页页页页零状态响应零状态响应y yzszs(t)(t)对对t0时时:yzs”(t)+3yzs(t)

58、+2yzs(t)=6yzs(t)=Czs1e-t+Czs2e-2t+3 求得求得yzs(t)=4e-t+e-2t+3，t0yzs(0+)=2+yzs(0-)=2注意：注意：yzi(t)、yzs(t)顺序问题顺序问题？第第第第 131131 页页页页例例1：已知已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应举例举例求该系统的零输入响应和零状态响应。求该系统的零输入响应和零状态响应。已知已知y(0+)=3，y(0+)=1，f(t)=(t)描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为y”(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+6f(t)例例2：零

59、输入响应：零输入响应：yx(t)=Cx1et+Cx2e2t零状态响应：零状态响应：yf(t)=Cf1e-t+Cf2e-2t+C其中其中Cx1Cx2由由yx(0+)、yx(0+)决定，而决定，而yx（j) (0+) = yx (j)(0-) = y (j)(0-)其中其中Cf1Cf2由由yf(0+)、yf(0+)决定决定yf (j)(0+)利用利用函数函数匹配法匹配法例例1微分方程微分方程yf(j)(0-)=0与与y(j)(0)无无关关第第第第 132132 页页页页同例同例1yf(t)=4e-t+e-2t+3，t0y（j) (0+) = yx (j)(0+) + yf (j)(0+)例例2 2

60、首先求出首先求出yf(t)yf(j)(0+)yx(j)(0+)解：解： 零状态响应零状态响应yf(t) 求得：求得：yf(0+)=0yf/(0+)=2利用利用y（j) (0+) = yx (j)(0+) + yf (j)(0+)求得：求得：yx(0+)=3yx/(0+)=-1yx(t)=Cx1et+Cx2e2t 零输入响应零输入响应y yx x(t)(t)第第第第 133133 页页页页yx(t)=4et2e2t,t0例例3：描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为y”(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+6f(t)f(t)=(t)时，时，求零状态响应。求零状态响应。分析：分析：LT

61、I系统零状态响应：线性和微分特性系统零状态响应：线性和微分特性设设f(t)作用于系统：零状态响应作用于系统：零状态响应yf1(t)根据根据LTILTI系统微分特性：系统微分特性： yf1(t)=T0,f(t)即：满足即：满足y”(t)+3y(t)+2y(t)=f(t) yf1/ (t)=T0,f /(t)根据根据LTILTI系统线性特性：系统线性特性：y yf f(t)=(t)=2yf1/(t)+6yf1(t)第第第第 134134 页页页页冲激响应求解冲激响应求解举例举例2解解（1）零输入响应同上：）零输入响应同上：例例1：描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为y”(t)+3y(t)+

62、2y(t)=2f(t)+6f(t)已知已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)求该系统的零输入响应和零状态响应。求该系统的零输入响应和零状态响应。故令故令yzs”(t)=a (t)+r1(t)yzs(t)=r2(t)yzs(t)=r3(t)ri(t)为不含为不含(t)的某函数的某函数代入式代入式(1)，有，有（2）零状态响应）零状态响应yzs(t)满足方程满足方程-方法方法二二yzs”(t)+3yzs(t)+2yzs(t)=2(t)+6(t)(1)yzs(0-)=yzs(0-)=0第第第第 135135 页页页页利用利用(t)系数匹配，得系数匹配，得a=2所以所以yzs(t)=r3

63、(t)（2）yzs(t)=r2(t)（3）yzs”(t)=2(t)+r1(t)（4）对式对式(3)从从0-到到0+积分得积分得yzs(0+)yzs(0-)=0对式对式(4)从从0-到到0+积分得积分得yzs(0+)yzs(0-)=2故故yzs(0+)=0，yzs(0+)=2a(t)+r1(t)+3r2(t)+2r3(t)=2(t)+6(t)yzs(t)=Czs1e-t+Czs2e-2t+3求得求得yzs(t)=4e-t+e-2t+3，t0yzs”(t)+3yzs(t)+2yzs(t)=2(t)+6(t)(1)yzs(0-)=yzs(0-)=0第第第第 136136 页页页页2.2冲激响应和阶跃

64、响应冲激响应和阶跃响应概述：概述：1. 1. 学习了学习了2 2种种求求LTILTI系统响应的方法系统响应的方法自由响应自由响应+ +强迫响应强迫响应零输入相应零输入相应+ +零状态响应零状态响应 下面一节的内容，针对下面一节的内容，针对零状态零状态响应的求取，响应的求取，找寻一种好方法。找寻一种好方法。第第第第 137137 页页页页2. 2. 把一激励信号（函数），分解为把一激励信号（函数），分解为冲击冲击函数或阶函数或阶冲击响应冲击响应阶跃响应阶跃响应跃函数之和跃函数之和( (积分），只要求出了系统对冲击函积分），只要求出了系统对冲击函数或阶跃函数的响应，利用数或阶跃函数的响应，利用LT

65、I LTI 系统的特性，系统的特性，在系统的输出端，叠加得到系统总的零状态响应在系统的输出端，叠加得到系统总的零状态响应，那么系统对冲击或阶跃信号的零状态响应，就，那么系统对冲击或阶跃信号的零状态响应，就是下面要学习的内容。是下面要学习的内容。第第第第 138138 页页页页一、冲激响应一、冲激响应1定义 由单位冲激函数由单位冲激函数(t)所引起的所引起的零状态零状态响应称为响应称为单位冲激响应单位冲激响应，简称，简称冲激响应冲激响应，记为，记为h(t)。h(t)=T0,(t)第第第第 139139 页页页页2系统冲激响应的求解冲激响应的数学模型对于对于LTILTI系统系统, ,可以用一可以用

66、一n阶微分方程阶微分方程表示表示 令令f(t)= (t)则则y(t)=h(t)响应及其各响应及其各阶导数阶导数(最最高阶为高阶为n次次)激励及其各激励及其各阶导数阶导数(最最高阶为高阶为m次次)第第第第 140140 页页页页 h(t)解的形式例例: :当特征根均为单根时当特征根均为单根时由于由于 ( (t t) )及其导数在及其导数在t0+时都为零，因而方程式时都为零，因而方程式与与n,m相对大小有关相对大小有关与特征根有关与特征根有关举例举例右右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与与齐次齐次解的形式相同。解的形式相同。第第第第 1411

67、41 页页页页解：解：求特征根求特征根冲激响应冲激响应例例1 1 求系统的冲激响应求系统的冲激响应 带带(t)两种求待定系数方法：两种求待定系数方法：平衡求平衡求0+0+法法奇异函数相平衡求待定系数法奇异函数相平衡求待定系数法第第第第 142142 页页页页法一：求0+值确定系数代入代入h h( (t t) )，确定系数，确定系数C C1 1, ,C C2 2，得，得注意：系数注意：系数a同同注意：系数注意：系数a同同代入微分方程，代入微分方程，利用利用(t) (t) 系数匹配系数匹配:a=1b=-2所以所以：对式对式(1)(1)从从0-0-到到0+0+积分得积分得: :h,(0+)h,(0-

68、)=2对式对式(2)(2)从从0-0-到到0+0+积分得积分得: :h(0+)h(0-)=1第第第第 143143 页页页页法二：用奇异函数项相平衡法求待定系数根据系数平衡，得根据系数平衡，得不用求h(0+)、h,(0+)第第第第 144144 页页页页解法三：线性时不变性质法解：解：求冲击响应求冲击响应 设设h h1 1( (t t) )满足简单方程满足简单方程将边界条件代入将边界条件代入h h1 1( (t t) )式，解得式，解得 C C1 1=1/2=1/2， C C2 2=-1/2=-1/2，则由系统的线性时不变特性则由系统的线性时不变特性第第第第 145145 页页页页冲激响应求解

69、冲激响应求解举例举例2例例2描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为y”(t)+5y(t)+6y(t)=f”(t)+2f(t)+3f(t)求其冲激响应求其冲激响应h(t)。解解根据根据h(t)的定义的定义有有h”(t)+5h(t)+6h(t)=”(t)+2(t)+3(t)(1)h(0-)=h(0-)=0先求先求h(0+)和和h(0+)。由方程可知，由方程可知，h(t)中含中含(t)故令故令h”(t)=a”(t)+b(t)+c(t)+r1(t)h(t)=a(t)+b(t)+r2(t)h(t)=a(t)+r3(t)ri(t)为不含为不含(t)的某函数的某函数代入式代入式(1)，有，有第第第第

70、146146 页页页页a”(t)+b(t)+c(t)+r1(t)+5a(t)+b(t)+r2(t)+6a(t)+r3(t)=”(t)+2(t)+3(t)整理得整理得a”(t)+(b+5a)(t)+(c+5b+6a)(t)+r1(t)+5r2(t)+6r3(t)=”(t)+2(t)+3(t)利用利用(t)系数匹配，得系数匹配，得a=1，b=-3，c=12所以所以h(t)=(t)+r3(t)（2）h(t)=(t)-3(t)+r2(t)（3）h”(t)=”(t)-3(t)+12(t)+r1(t)（4）对式对式(3)从从0-到到0+积分得积分得h(0+)h(0-)=3对式对式(4)从从0-到到0+积分

71、得积分得h(0+)h(0-)=12故故h(0+)=3，h(0+)=12第第第第 147147 页页页页微分方程的特征根为微分方程的特征根为2，3。故系统的冲激响应为。故系统的冲激响应为h(t)=C1e2t+C2e3t，t0代入初始条件代入初始条件h(0+)=3，h(0+)=12求得求得C1=3，C2=6,所以所以h(t)=3e2t6e3t,t0结合式结合式(2)得得h(t)=(t)+(3e2t6e3t)(t)对对t0时，有时，有h”(t)+6h(t)+5h(t)=0第第第第 148148 页页页页3.基本单元的冲激响应第第第第 149149 页页页页二阶跃响应g(t)=T(t)，0线性时不变系

72、统满足线性时不变系统满足微、积分微、积分特性特性第第第第 150150 页页页页2.3卷积积分卷积积分 信号的时域分解与卷积积分信号的时域分解与卷积积分 卷积的图解法卷积的图解法第第第第 151151 页页页页一、信号的时域分解与卷积积分一、信号的时域分解与卷积积分1信号的时域分解信号的时域分解 预备知识预备知识问问f1(t)=?p(t)直观看出直观看出第第第第 152152 页页页页任意信号分解任意信号分解考虑：任意考虑：任意f(t)f(t)用许多窄脉冲表示出来用许多窄脉冲表示出来如图：第如图：第k k个窄脉冲出现的时刻：个窄脉冲出现的时刻：kk“0”“0”号号: :脉冲高度脉冲高度f f(

73、0) ,(0) ,宽度为宽度为，用用p p( (t t) )表示为表示为：f(0)p(t)“1”号号:脉冲高度脉冲高度f f() ,) ,宽度为宽度为，用用p p( (t t - - ) )表示为：表示为：f()p(t -)信号信号f(t)f(t)分解为分解为冲击函数叠加冲击函数叠加第第第第 153153 页页页页2.任意信号作用下的零状态响应任意信号作用下的零状态响应yzs(t)f (t)根据根据h(t)的定义：的定义： (t)h(t)由时不变性：由时不变性：(t- -)h(t - -)f ()(t- -)由齐次性：由齐次性：f () h(t - -)由叠加性：由叠加性：f (t)yzs(t

74、)卷积积分卷积积分第第第第 154154 页页页页3.卷积积分的定义卷积积分的定义已知定义在区间（已知定义在区间（，）上的两个函数）上的两个函数f1(t)为为f1(t)与与f2(t)的的卷积积分卷积积分，简称，简称卷积卷积；记为；记为例例变量，变量，t为参变量。结果仍为为参变量。结果仍为t 的函数。的函数。和和f2(t)，则定义积分，则定义积分f(t)=f1(t)*f2(t)注意注意：积分是在虚设的变量：积分是在虚设的变量下进行的，下进行的，为积分为积分第第第第 155155 页页页页二、卷积的图解法二、卷积的图解法卷积过程可分解为卷积过程可分解为四步四步：（1）换元：换元：t换为换为得得f1

75、()、f2()（2）反转平移：反转平移：由由f2()反转反转f2()平移平移tf2(t-)（3）两信号两信号重叠重叠部分相乘：部分相乘：f1()f2(t-)（4）相乘后相乘后图形积分：图形积分：从从到到对乘积项积分。对乘积项积分。注意：注意：t为参变量为参变量例例第第第第 156156 页页页页图解法计算卷积图解法计算卷积举例举例例例1f (t)、h(t)如图所示，求如图所示，求yzs(t)=h(t)*f (t)解解h(t)函数：换元为函数：换元为h()f (t)函数：换元为函数：换元为f ()、反、反折折h()f(-)f(t)h(t)tt122并并平移平移t22tf (t-)h()第第第第

76、157157 页页页页图解法计算卷积图解法计算卷积举例举例(2) (2) 0t1 t0f (t-)：yzs(t)=0f (t-)2th()(3) (3) 1t221h()t1h()tf(t)f(t)1t0 ,t0 ,h(h()=0)=0第第第第 158158 页页页页图解法计算卷积图解法计算卷积举例举例(4) (4) 2t3(5) (5) 3t+h()t323tt-1h()2第第第第 159159 页页页页例例2 2 f f1 1(t)(t)、f f2 2(t)(t)如图所示，求如图所示，求f(t)=ff(t)=f1 1(t)*f(t)*f2 2(t)(t)f f1 1(t)(t)t t-22

77、2解解f1(t)函数：换元为函数：换元为f1()f2(t)函数：换元为函数：换元为f2()、反折、移位、反折、移位t tf f2 2(t)(t)t t2 f f2 2(-(-) )-2f f1 1( () )2-22tf2(t-)第第第第 160160 页页页页卷积计算f f1 1( () )2-22（1）-t-2没有重叠，没有重叠，f(t)=0（2）-2t0tf2(t-)f1()f2(t-)-2 t（3）0t2f1()f2(t-)tt-2第第第第 161161 页页页页卷积计算（4）2t42f1()f2(t-)tt-2 2（5）4t没有重叠，没有重叠，f(t)=0f2(t-)f1()4第第第

78、第 162162 页页页页卷卷 积积 计计 算算例例3 3 f1(t)=3e-2t() ，f2(t)=2(t)求求 f(t)=f1(t)*f2(t)3e-2()2(t-)t解：解：分析：分析：（1）t t0即即0（4）积分限：积分限：0-3(t-5)：-3,t2(t+3)*(t-5)=(t-2)(t-2)1.(t+3)*(t-5)第第第第 174174 页页页页卷积性质例题(t+3)*(t-5)例例1 1解：解：方法二方法二.(t)*(t)=t(t)(t+3)*(t-5)=t t(t)*(t)*(t+3-5)(t+3-5)分析：分析：=t-（-3）-5)利用性质及结论利用性质及结论f1(t-t

79、1)*f2(t-t2)=f(t-t1-t2)=(t-2)(t-2)第第第第 175175 页页页页三、卷积的微积分性质三、卷积的微积分性质1.若若f(t)=f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(t)则则f（1）(t)=f1（1）(t)*f2(t)=f1(t)*f2（1）(t)证明：证明：f（1）(t)=同理：同理：f（1）(t)=第第第第 176176 页页页页卷积的积分性质卷积的积分性质若若f(t)=f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(t)2.则则证明：证明：f(-1)(t)=f1(t)*f2(1)(t)第第第第 177177 页页页页卷积的积分性质卷积的积分性质3.在在f1()=

80、0或或f2(1)()=0的前提下的前提下，同理：同理：f(-1)(t)=f2(t)*f1(-1)(t)=f1（-1）(t)*f2(t)f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(1)(t)f1(-)=f2(-)=0第第第第 178178 页页页页卷积性质的推广卷积性质的推广例例1 1杜阿密积分：杜阿密积分：LTI系统：系统：（1）利用定义式直接进行积分：利用定义式直接进行积分：对于容易求积分的函对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数、多项式函数等。数比较有效。如指数函数、多项式函数等。（2）图解法：图解法：特别适用于求某时刻点上的卷积值。特别适用于求某时刻点上的卷积值。（3）利用性质：利用性质

81、：比较灵活。比较灵活。卷积的求解：卷积的求解：重点、难点重点、难点求解卷积的方法可归纳为：求解卷积的方法可归纳为：推广：推广：f(i)(t)=f1(j)(t)*f2(i-j)(t)i、j可可+、-第第第第 179179 页页页页卷积性质例1例例1：f1(t)如图如图,f2(t)=et(t)，求，求f1(t)*f2(t)解：解：f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(1)(t)f1(t)=(t)(t2)f1(t)*f2(t)=(1-et)(t)1-e(t-2)(t-2)注意：当注意：当f1(t)=1，f2(t)=et(t)，套用套用f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(1)(t)=0*f2

82、(1)(t)=0显然是错误的显然是错误的。第第第第 180180 页页页页卷积性质例3例：例：f1(t),f2(t)如图，求如图，求f1(t)*f2(t)解：解：f1(t)=2(t)2(t1)f2(t)=(t+1)(t1)f1(t)*f2(t)=2(t)*(t+1)2(t)*(t1)2(t1)*(t+1)+2(t1)*(t1)由于由于(t)*(t)=t(t)据时移特性，有据时移特性，有f1(t)*f2(t)=2(t+1)(t+1)-2(t1)(t1)2t(t)+2(t2)(t2)第第第第 181181 页页页页五、相关函数五、相关函数 相关函数是鉴别信号的有力工具，被广泛应用于相关函数是鉴别信

83、号的有力工具，被广泛应用于雷达回波的识别，通信同步信号的识别等领域。雷达回波的识别，通信同步信号的识别等领域。 相关函数的定义相关函数的定义 项关于卷积的关系项关于卷积的关系 相关函数的图解相关函数的图解 相关是一种与卷积类似的运算。与卷积不同的是相关是一种与卷积类似的运算。与卷积不同的是没有一个函数的反转。没有一个函数的反转。 第第第第 182182 页页页页概述概述相关个概念：相关个概念：互相关是表示两个不同函数的相似性参数。互相关是表示两个不同函数的相似性参数。可证明，可证明，R12()=R21()。若若f1(t)=f2(t)=f(t)，则得自相关函数，则得自相关函数显然，显然，R(-

84、-)=R()偶函数。偶函数。注注第第第第 183183 页页页页1.定义定义实能量有限函数实能量有限函数f1(t)和和f2(t)的互相关函数的互相关函数互相关是表示两个不同函数的相似性参数。互相关是表示两个不同函数的相似性参数。可证明，可证明，R12()=R21()。若若f1(t)=f2(t)=f(t)，则得自相关函数，则得自相关函数显然，显然，R(- -)=R()偶函数。偶函数。注注第第第第 184184 页页页页实功率有限信号相关函数的定义实功率有限信号相关函数的定义f1(t)与f2(t)是功率有限信号相关函数：相关函数：自相关函数：自相关函数：例例第第第第 185185 页页页页解：解：

85、对此功率有限信号，由自相关函数的定义，有对此功率有限信号，由自相关函数的定义，有第第第第 186186 页页页页此例结论1.周期信号自相关函数仍为周期信号周期信号自相关函数仍为周期信号,且周期相同。且周期相同。2.自相关函数是一偶函数，自相关函数是一偶函数，R(0)为最大值。为最大值。3.余弦函数自相关函数仍为余弦余弦函数自相关函数仍为余弦;同理可证，任意相位的同理可证，任意相位的正弦，余弦之自相关函数仍为余弦。正弦，余弦之自相关函数仍为余弦。第第第第 187187 页页页页2.相关与卷积的关系相关与卷积的关系R12(t)=f1(t)*f2(t)R21(t)=f1(t)*f2(t)。可见，可见

86、，若若f1(t)和和f2(t)均为实偶函数，则卷积与均为实偶函数，则卷积与相关完全相同。相关完全相同。第第第第 188188 页页页页3.相关函数的图解相关函数的图解(0t12)第第第第 189189 页页页页系统级联系统级联，框图表示：系统级联，框图表示：结论：结论：子系统级联时，总的冲激响应等于子系统子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积冲激响应的卷积第第第第 190190 页页页页系统并联系统并联，框图表示：系统并联，框图表示：结论：结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于子系统并联时，总系统的冲激响应等于各子各子系统冲激响应之和系统冲激响应之和第第第第 191191 页页页

87、页第三章第三章 离散系统的时域分析离散系统的时域分析1.LTI1.LTI离散系统的时域离散系统的时域分析分析：2.2.特点：特点：比较直观、比较直观、物理概念物理概念清楚，是学习离散变换清楚，是学习离散变换时域时域分析法：序列分析法：序列的变量的变量-k k域域分析法的分析法的基础基础 3.3.时域分析法主要内容：时域分析法主要内容：概述：概述： 求出响应与激励关系求出响应与激励关系 经典法经典法 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应 冲击响应与卷积和冲击响应与卷积和 建立线性差分方程建立线性差分方程并并第第第第 192192 页页页页注意：离散系统与连续系统的分析注意：离散系统与连续

88、系统的分析方法方法并行相似并行相似连续系统连续系统离散系统离散系统微分方程微分方程差分方程差分方程卷积积分卷积积分卷积和卷积和变换域（傅氏、变换域（傅氏、s）变换域（离散傅氏、变换域（离散傅氏、z）系统函数系统函数系统函数系统函数系统描述系统描述分析方法分析方法离散与连续对比离散与连续对比第第第第 193193 页页页页1.1.著名的著名的斐波那契斐波那契数列问题：数列问题：假设每对大兔子每个月生一对小兔子，而假设每对大兔子每个月生一对小兔子，而每对小兔子一个月后长成大兔子，而且不会死每对小兔子一个月后长成大兔子，而且不会死亡亡。在最初一个月内有一对大兔子，问第。在最初一个月内有一对大兔子，问

89、第k k个月时个月时一共有几对兔子？一共有几对兔子？2.1LTI离散系统的响应离散系统的响应一、差分与差分方程一、差分与差分方程第第第第 194194 页页页页解：解：y(k)：第第k k个月兔子的对数个月兔子的对数第第k k个月个月老老小小y(k)对对第第k+1k+1个月个月老老小小y(k+1)对对第第k+2k+2个月个月老老小小y(k+2)对对老老老老y(y(k)k)y(k+y(k+1)1)y(y(k)k)y(k+2)=y(k+1)+ y(k) y(k+1)+ y(k) 差分方程差分方程 第第第第 195195 页页页页差分与差分方程差分与差分方程设有序列设有序列f(k)，则，则1.差分运

90、算差分运算离散信号的变化率有两种表示形式：离散信号的变化率有两种表示形式：，f(k+2)，f(k+1)，f(k- -1)，f(k- -2)等等称为称为f(k)的的移位序列。移位序列。仿照仿照微分微分运算，引出离散信号的运算，引出离散信号的差分差分运算的概念。运算的概念。第第第第 196196 页页页页定义差分定义差分（1）一阶一阶前向差分前向差分定义：定义： f(k)=f(k+1)f(k)（2）一阶后向差分一阶后向差分定义：定义： f(k)=f(k)f(k1)式中，式中， 和和 称为称为差分算子差分算子，无原则区别。本书主要用，无原则区别。本书主要用后向差分后向差分，简称为，简称为差分差分。（

91、3）差分的线性性质：差分的线性性质： af1(k)+bf2(k)=a f1(k)+b f2(k)（4）二阶二阶差分定义：差分定义： 2f(k)= f(k)= f(k)f(k-1)= f(k) f(k-1)=f(k)f(k-1)f(k-1)f(k-2)=f(k)2f(k-1)+f(k-2)（5）m阶阶差分差分: : mf(k)=f(k)+b1f(k-1)+bmf(k-m)第第第第 197197 页页页页2.差分方程差分方程包含未知序列包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为及其各阶差分的方程式称为差差分方程分方程。将将差分差分展开为展开为移位序列移位序列，得一般形式，得一般形式y(k)+an

92、-1y(k-1)+a0y(k-n)=bmf(k)+b0f(k-m) 差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。例例一般不易得到解析形式的一般不易得到解析形式的( (闭合闭合) )解。解。差分方程的迭代解法差分方程的迭代解法差分方程的差分方程的阶数：阶数：未知序列最高与最低序数的差未知序列最高与最低序数的差第第第第 198198 页页页页差分方程迭代解举例差分方程迭代解举例例：例：若描述某系统的差分方程为若描述某系统的差分方程为y(k)+3y(k1)+2y(k2)=f(k)已知初

93、始条件已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励激励f(k)=2k(k),求求y(k)。 解：解：y(k)=3y(k1)2y(k2)+f(k)k=2y(2)=3y(1)2y(0)+f(2)=2k=3y(3)=3y(2)2y(1)+f(3)=10k=4y(4)=3y(3)2y(2)+f(4)=10 第第第第 199199 页页页页二、差分方程的经典解二、差分方程的经典解1.齐次解：与微分方程经典解类似与微分方程经典解类似:y(k)=yh(k)+yp(k)y(k)+an-1y(k-1)+a0y(k-n)=bmf(k)+b0f(k-m)齐次方程齐次方程y(k)+an-1y(k-1)+a0y(k-n

94、)=01+an-11+a0n=0，特征方程特征方程即即n+an-1n1+a0=0其根其根i(i=1，2，n)称为差分方程的称为差分方程的特征根。特征根。第第第第 200200 页页页页根据特征根，齐次解的两种情况2.2.有重根有重根 特征根特征根为为r r重根重根时时例例第第第第 201201 页页页页差分方程齐次解重根例差分方程齐次解重根例求求差差分分方方程程y(k)+6y(k1)+12y(k2)+8y(k3)=0的解。的解。解：解：特征方程特征方程齐次解齐次解由初始条件定由初始条件定C1，C2，C3三重特征根三重特征根第第第第 202202 页页页页差分方程齐次解单根例差分方程齐次解单根例

95、求解二阶差分方程求解二阶差分方程y(k)5y(k1)+6y(k2)=0已知已知y(0)=2，y(1)=1，求求y(k)。解：解：特征方程特征方程齐次解齐次解定定C1，C2解出解出特征根特征根第第第第 203203 页页页页2.2.特解特解yp(k):激励激励f(k)响应响应y(k)的特解的特解yp(k)特解的形式与激励的形式类似特解的形式与激励的形式类似例例或或第第第第 204204 页页页页差分方程全解举例差分方程全解举例例：例：系统系统方程方程y(k)+4y(k1)+4y(k2)=f(k)已知初始条件已知初始条件y(0)=0，y(1)=1；激励；激励f(k)=2k，k0。求方程的全解。求方

96、程的全解。解：解： 特征方程特征方程2+4+4=0特征根特征根1=2=2齐次解齐次解yh(k)=(C1k+C2)(2)k特解特解yp(k)=P(2)k,k0代入差分方程代入差分方程P(2)k+4P(2)k1+4P(2)k2=f(k)=2k解得解得P=1/4所以特解所以特解yp(k)=2k2,k0故全解为故全解为y(k)=yh+yp=(C1k+C2)(2)k+2k2,k0代入初始条件解得代入初始条件解得C1=1,C2=1/4第第第第 205205 页页页页三三.零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应y(k) = yzi(k) + yzs(k) L LT TI I系统系统 响应响应第第1 1

97、种：自由响应种：自由响应+ +强迫响应强迫响应第第2 2种：零输入响应种：零输入响应+ +零状态响应零状态响应y yzizi(k): (k): 没有外加输入信号，只由起始状态所产生的响应没有外加输入信号，只由起始状态所产生的响应；y yzszs(k): (k): 不考虑起始储能的作用（起始状态不考虑起始储能的作用（起始状态=0=0），只由系），只由系统外加输入信号所产生的响应。统外加输入信号所产生的响应。全响应全响应 y(t) = yzi(k) + yzs(k)的求取方法：的求取方法：借助借助经典方法经典方法卷积和方法卷积和方法（后面学）（后面学）1.1.概概 述述y(k) = yh(k) +

98、 yp(k)第第第第 206206 页页页页零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应（1 1）. . y yzizi(k) (k) 零输入响应零输入响应差分方程：差分方程：齐次齐次y(k)+an-1y(k-1)+a0y(k-n)=0C Czijzij-待定系数待定系数（2 2）. . y yzszs(k) (k) 零状态响应零状态响应差分方程：差分方程：非齐次非齐次y(k)=yzi(k)+yzs(k)y(k)+an-1y(k-1)+a0y(k-n)=bmf(k)+b0f(k-m)2.2.借助经典法借助经典法第第第第 207207 页页页页零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应其中其中

99、：C Czsjzsj-待定系数待定系数y yp p(k)(k)-特解特解（3 3）. . y(k) y(k) 全响应全响应零输入响应零输入响应由由y yzizi(k)(k)起始条件起始条件由由y yzszs(k)(k)起始条件起始条件y(0)y(0)、y(1)- -y(1)- -起始条件起始条件待定系数代差分待定系数代差分方程方程待定系数代差分方程待定系数代差分方程零状态响应零状态响应强迫响应强迫响应自由响应自由响应第第第第 208208 页页页页起始条件的确定yzi (-1) = y(-1)yzi (-2) = y(-2)-yzi (-n) = y(-n)连续系统连续系统y yzizi(j)

100、(j)(0+)=y(0+)=yzizi(j)(j)(0-)=y(0-)=y(j)(j)(0-)(0-)（2 2） y yzszs(k)(k) 起始条件起始条件y yzszs(-1)=y(-1)=yzszs(-2)=-y(-2)=-yzszs(-n)=0(-n)=0连续系统连续系统y yzszs(j)(j)(0(0- -)=0)=0y yzszs(0)(0)、y yzszs(1)(1)、-y-yzszs(n)=(n)=？例例yzi (1) = ？yzi (2) = ？-yzi (n) = ？有必要吗？有必要吗？借助微分方程借助微分方程（4）.起始条件的确定（1 1） y yzizi(k)(k)

101、起始条件起始条件k0，h(k)满足齐次方程满足齐次方程h(k)h(k1)2h(k2)=0特征方程特征方程(+1)(2)=0 h(k)=C1(1)k+C2(2)k，k0 h(0)=C1+C2=1,h(1)=C1+2C2=1解得解得C1=1/3,C2=2/3h(k)=(1/3)(1)k+(2/3)(2)k,k0或写为或写为h(k)=(1/3)(1)k+(2/3)(2)k(k)第第第第 224224 页页页页单位序列响应例单位序列响应例2例例2系统方程为系统方程为y(k)- -y(k- -1)- -2y(k- -2)=f(k)- -f(k- -2)求单位序列响应求单位序列响应h(k)。解解h(k)满

102、足满足h(k)h(k1)2h(k2)=(k)(k2)令只有令只有(k)作用时，系统的单位序列响应作用时，系统的单位序列响应h1(k),它满足它满足h1(k)h1(k1)2h1(k2)=(k)根据线性时不变性根据线性时不变性h(k)=h1(k)h1(k2)=(1/3)(1)k+(2/3)(2)k(k)(1/3)(1)k2+(2/3)(2)k2(k2)第第第第 225225 页页页页二、阶跃响应二、阶跃响应g(k)=T(k),0由于由于(k)=(k)(k1)= (k)所以所以，h(k)= g(k)(k2k1)两个常用的两个常用的求和公式：求和公式：第第第第 226226 页页页页l 卷积和卷积和l

103、 卷积和图解法卷积和图解法l 不进位乘法求卷积不进位乘法求卷积l 卷积和的性质卷积和的性质3.3卷积和卷积和第第第第 227227 页页页页一、卷积和一、卷积和1. .序列的时域分解序列的时域分解任意序列任意序列f(k)可表示为可表示为f(k)=+f(-1)(k+1)+f(0)(k)+f(1)(k-1)+f(2)(k-2)+f(i)(ki)+信号信号f(k)f(k)分解为分解为单位序列叠加单位序列叠加第第第第 228228 页页页页2.任意序列作用下的零状态响应任意序列作用下的零状态响应yzs(k)f (k)根据根据h(k)的定义：的定义： (k)h(k)由时不变性：由时不变性：(k- -i)

104、h(k - -i)f (i)(k- -i) 由齐次性：由齐次性：f (i) h(k- -i)由叠加性：由叠加性：f (k)yzs(k)卷积和卷积和第第第第 229229 页页页页3.卷积和的定义卷积和的定义已知定义在区间（已知定义在区间（，）上的两个函数）上的两个函数f1(k)为为f1(k)与与f2(k)的的卷积和卷积和，简称，简称卷积卷积；记为；记为举例举例f(k)=f1(k)*f2(k)注意注意：求和是在虚设的变量：求和是在虚设的变量i 下进行的，下进行的，i 为求和变为求和变和和f2(k)，则定义和，则定义和量，量，k为参变量，结果仍为为参变量，结果仍为k的函数。的函数。第第第第 230

105、230 页页页页用定义求卷积和用定义求卷积和例：例：f (k)=ak(k),h(k)=bk(k)，求求yzs(k)。解：解：yzs(k)=f (k)*h(k)当当ik时，时，(k-i)=0(k)*(k)=(k+1)(k)第第第第 231231 页页页页二、卷积的图解法二、卷积的图解法（1）换元换元：k换为换为i得得f1(i)、f2(i)举例举例卷积过程可分解为卷积过程可分解为四步四步：（2）反转平移反转平移：由：由f2(i)反转反转f2(i)平移平移kf2(ki)（3）乘积乘积：f1(i)f2(ki)（4）求和求和：i 从从到到对乘积项求和。对乘积项求和。注意：注意：k 为参变量。为参变量。第

106、第第第 232232 页页页页图解法求卷积和图解法求卷积和例：例：f1(k)、f2(k)如图所示，已如图所示，已知知f(k)=f1(k)*f2(k)，求，求f(2)=？解解：（1）换元）换元（2）f2(i)反转得反转得f2(i)（3）f2(i)右移右移2得得f2(2i)（4）f1(i)乘乘f2(2i)（5）求和，得）求和，得f(2)=4.5f2(i )f2(2i)f(2)=f2(0)f1(2)+f2(1)f1(1)+f2(2)f1(0)第第第第 233233 页页页页三、不进位乘法求卷积三、不进位乘法求卷积方法：方法： 将两序列样值以各自将两序列样值以各自k k的最高值按右端对齐，的最高值按右

107、端对齐，然后把逐个样值对应相乘，但不进位，最然后把逐个样值对应相乘，但不进位，最后后把同一列上的乘积值按对位求和。把同一列上的乘积值按对位求和。对有限长序列，卷积和的计算用：对有限长序列，卷积和的计算用：不进位乘法不进位乘法举例举例第第第第 234234 页页页页不进位乘法求卷积和不进位乘法求卷积和例例f1(k)=1，2，3，4k=0f2(k)=4，5，6k=01，2，3，45，6，7解解7，14，21，286，12,18,245,10，15,20+5,16,34,52,45，28求求f(k)=f1(k)*f2(k)f(k)=5，16，34，52，45，28k=0第第第第 235235 页页页

108、页四、卷积和的性质四、卷积和的性质1.满足乘法的三律：满足乘法的三律：(1)交换律交换律,(2)分配律分配律,(3)结合律结合律.2.f(k)*(k)=f(k)，f(k)*(kk0)=f(kk0)3.f(k)*(k)=4.f1(kk1)*f2(kk2)=f(kk1k2)5. f1(k)*f2(k)= f1(k)*f2(k)=f1(k)* f2(k)举例举例f1(t)*f2(t) = f(t)f1(t)*f2(t) = f(t)第第第第 236236 页页页页性质求卷积和性质求卷积和例例1复合系统中复合系统中h1(k)=(k)，h2(k)=(k5)，求复合系统，求复合系统的单位序列响应的单位序列

109、响应h(k)。解解根据根据h(k)的定义，有的定义，有h(k)=(k)*h1(k)(k)*h2(k)*h1(k)=h1(k)h2(k)*h1(k)=h1(k)*h1(k)h2(k)*h1(k)=(k)*(k)(k5)*(k)=(k+1)(k)(k+15)(k5)=(k+1)(k)(k4)(k5)(k)*(k)=(k+1)(k)第第第第 237237 页页页页3.4一、反卷积一、反卷积对连续系统不易写出明确的关系式，而对离散系统容易对连续系统不易写出明确的关系式，而对离散系统容易写出：写出：在在y(k)=f(k)*h(k)中，中，若已知若已知y(k)，h(k)，如何求，如何求f(k)（信号恢复信

110、号恢复）；）；如血压计传感器。如血压计传感器。若已知若已知y(k)，f(k)，如何求，如何求h(k)（系统辩识系统辩识）；）；如地震信号处理、地质勘探、考古、石油勘如地震信号处理、地质勘探、考古、石油勘探等问题。探等问题。这两类问题都是求反卷积的问题。这两类问题都是求反卷积的问题。第第第第 238238 页页页页写成矩阵形式写成矩阵形式目的反求目的反求f(k)同理同理第第第第 239239 页页页页二举例第第第第 240240 页页页页解：（1）求h(k)第第第第 241241 页页页页（2）即即第第第第 242242 页页页页系统框图系统框图以上两式相减得以上两式相减得第第第第 243243

111、 页页页页三、应用实例雷达探测系统雷达探测系统第第第第 244244 页页页页4.0 引言引言第四章第四章 傅里叶变换和系统的傅里叶变换和系统的 频域分析频域分析时域分析时域分析: : 以以冲激函数冲激函数为基本信号，任意输入信号为基本信号，任意输入信号本章本章: : 将以将以正弦信号正弦信号和和虚指数信号虚指数信号e ejtjt为基本信号，为基本信号，可分解为一系列冲激函数之和可分解为一系列冲激函数之和, ,即即 而任意信号作用下的零状态响应而任意信号作用下的零状态响应y yzszs(t)(t)yzs(t)=h(t)*f(t)任意输入信号可分解为一系列任意输入信号可分解为一系列不同频率不同频

112、率的正弦的正弦第第第第 245245 页页页页信或虚指数信号之和。信或虚指数信号之和。用于系统分析的独立变量是用于系统分析的独立变量是频率，频率，故称为故称为频域分析频域分析。变换域分析变换域分析1.学习学习3 3种变换域：频域、复频域、种变换域：频域、复频域、z z变换变换 频域：傅里叶表变换，频域：傅里叶表变换，tt；对象对象连续信号连续信号 复频域：拉普拉斯变换，复频域：拉普拉斯变换，tsts；对象对象连续信号连续信号 z z域：域：z z变换，变换，kzkz；对象对象离散序列离散序列第第第第 246246 页页页页变换域分析 是信号内在的频率特性是信号内在的频率特性2. 2. 频域分析

113、：频域分析： t t 时间特性与其频率特性之间关系时间特性与其频率特性之间关系 信号的频谱、带宽等重要概念信号的频谱、带宽等重要概念第第第第 247247 页页页页傅里叶变换发展历史1822年年，法国数学家傅里叶法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)(J.Fourier,1768-1830)在研究热传在研究热传导理论时发表了导理论时发表了“热的分析理论热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。泊松泊松(Poisson)(Poisson)、高斯、高斯(Gua

114、ss)(Guass)等人等人把这一成果应用到电学中去，把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。得到广泛应用。进入进入2020世纪以后世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。前景。在通信与控制系统在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的优点。具有很多的优点。“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。 第第

115、第第 248248 页页页页4.1信号分解为正交函数信号分解为正交函数 矢量正交与正交分解矢量正交与正交分解 信号正交与正交函数集信号正交与正交函数集 信号的正交分解信号的正交分解第四章第四章 傅里叶变换和系统的频域分析傅里叶变换和系统的频域分析第第第第 249249 页页页页一、矢量正交与正交分解一、矢量正交与正交分解矢量正交的定义：矢量正交的定义：指矢量指矢量Vx=(vx1,vx2,vx3)与与Vy=(vy1,vy2,vy3)的内积为的内积为0。即即正交矢量集：指正交矢量集：指由两两正交的矢量组成的矢量集合由两两正交的矢量组成的矢量集合如三维空间中，以矢量如三维空间中，以矢量vx=（2，0

116、，0）、）、vy=（0，2，0）、）、vz=（0，0，2)所组成的集合就是一个所组成的集合就是一个正交矢量集。正交矢量集。且完备且完备.矢量矢量A=(2，5，8)表示为表示为A=vx+2.5vy+4vz矢量空间矢量空间正交分解的概念可推广到正交分解的概念可推广到信号空间信号空间。第第第第 250250 页页页页二、信号正交与正交函数集二、信号正交与正交函数集1.信号正交：信号正交：定义在定义在(t1，t2)区间的区间的 1(t)和和 2(t)满足满足(两函数的内积为两函数的内积为0)则称则称 1(t)和和 2(t)在区间在区间(t1，t2)内内正交正交。2.正交函数集：正交函数集：若若n个函数

117、个函数 1(t)， 2(t)， n(t)构成一个函数构成一个函数集，这些函数在区间集，这些函数在区间(t1，t2)内满足内满足则称此函数集为在区间则称此函数集为在区间(t1，t2)的的正交函数集正交函数集。第第第第 251251 页页页页3.完备正交函数集：完备正交函数集：如果在正交函数集如果在正交函数集 1(t)， 2(t)， n(t)之外，不存在函数之外，不存在函数(t)(0）满足）满足例如：例如：三角函数集三角函数集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2,虚指数函数集虚指数函数集ejnt，n=0，1，2，是两组是两组典型典型的在区间的在区间(t0，t0+T)(T=2/)上的上的完

118、备正交完备正交函数集。函数集。则称此函数集为则称此函数集为完备正交函数集完备正交函数集。(i=1，2，n)第第第第 252252 页页页页三、信号的正交分解三、信号的正交分解设有设有n个函数个函数 1(t)， 2(t)， n(t)在区间在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这用这n个个正交函数的线性组合来近似，可表示为正交函数的线性组合来近似，可表示为f(t)C1 1+C2 2+Cn n如何选择各系数如何选择各系数Cj使使f(t)与近似函数之间误差在区与近似函数之间误差在区间间(t1，t2)内为最小。内为最小。通常使误差的方均值通常使误差

119、的方均值(称为称为均方误差均方误差)最小。均方误差最小。均方误差为为第第第第 253253 页页页页为使上式最小为使上式最小展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为为0，写为，写为即即所以系数所以系数第第第第 254254 页页页页代入，得最小均方误差（推导过程见教材）代入，得最小均方误差（推导过程见教材）在用正交函数去近似在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即时，所取得项数越多，即n越越大，则均方误差越小。当大，则均方误差越小。当n时（为完备正交函数集）时（为完备正交函数集），均方误差为，均方误差为零零。此时有。此时有上式称为上

120、式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式巴塞瓦尔公式，表明：在区间，表明：在区间(t1,t2)f(t)所含能量所含能量恒等于恒等于f(t)在完备正交函数集中分在完备正交函数集中分解的各解的各正交分量能量正交分量能量的的之和之和。函数函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和可分解为无穷多项正交函数之和第第第第 255255 页页页页小结函数函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和可分解为无穷多项正交函数之和巴塞瓦尔能量公式巴塞瓦尔能量公式第第第第 256256 页页页页4.2傅里叶级数傅里叶级数 傅里叶级数的三角式傅里叶级数的三角式 傅里叶级数的指数形式傅里叶级数的指数形式 周期信号的功率周期信号

121、的功率第第第第 257257 页页页页一、傅里叶级数的三角形式一、傅里叶级数的三角形式1.1.三角函数集三角函数集 在一个周期内在一个周期内是一个是一个完备的正交函数集完备的正交函数集。由积分可知由积分可知1,cos(nt)，sin(nt)，n=1,2,第第第第 258258 页页页页2级数形式系数系数an,bn称为称为傅里叶系数傅里叶系数注意：注意： a an n是是n n的偶函数，的偶函数， b bn n是是n n的奇函数的奇函数设设f(t)=f(t+mT)-周期信号、周期信号、m、T、 =2=2 /T/T满足满足狄里赫利狄里赫利Dirichlet条件，条件，称为称为f(t)的的傅里叶级数

122、傅里叶级数可分解为如下三角级数可分解为如下三角级数第第第第 259259 页页页页其他形式其他形式式中，式中，A0=a0上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 A0/2为为直流分量直流分量A1cos( t+ 1)称为称为基波或一次谐波基波或一次谐波，其角频率与原周，其角频率与原周期信号相同期信号相同A2cos(2 t+ 2)称为称为二次谐波，二次谐波，其频率是基波的其频率是基波的2倍倍可见：可见：An是是n的偶函数，的偶函数， n是是n的奇函数。的奇函数。an=Ancos n，bn=Ansin n，n=1,2,将上式同频率项合并，可写为将上

123、式同频率项合并，可写为式中，式中，A0=a0可见：可见：An是是n的偶函数，的偶函数， n是是n的奇函数。的奇函数。an=Ancos n，bn=Ansin n，n=1,2,一般而言：一般而言：Ancos(n t+ n)称为称为n次谐波。次谐波。第第第第 260260 页页页页二、波形的对称性与谐波特性二、波形的对称性与谐波特性1. .f f(t)(t)为偶函数为偶函数对称纵坐标对称纵坐标bn=0，展开为，展开为余弦级数。余弦级数。2. .f f(t)(t)为奇函数为奇函数对称于原点对称于原点an=0，展开为，展开为正弦级数。正弦级数。例例第第第第 261261 页页页页3.f(t)为奇谐函数为

124、奇谐函数f(t)=f(tT/2)此时此时其傅里叶级数中其傅里叶级数中只含奇次只含奇次谐波分量，而谐波分量，而不含偶次不含偶次谐波分量即谐波分量即a0=a2=b2=b4=04f(t)为偶谐函数为偶谐函数f(t)=f(tT/2)此时此时其傅里叶级数中其傅里叶级数中只含偶次只含偶次谐波分量，而谐波分量，而不含奇次不含奇次谐波分量即谐波分量即a1=a3=b1=b3=0第第第第 262262 页页页页三、傅里叶级数的指数形式三、傅里叶级数的指数形式三角形式三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算的傅里叶级数，含义比较明确，但运算系数系数Fn称为称为复傅里叶系数复傅里叶系数 利用利用cosx=(ejx+

125、ejx)/2可从三角形式推出：可从三角形式推出：推导推导虚指数函数集虚指数函数集ejnt，n=0，1，2，复杂复杂，因而经常采用，因而经常采用指数形式指数形式的傅里叶级数。的傅里叶级数。第第第第 263263 页页页页指数形式付氏级数推导指数形式付氏级数推导上式中第三项的上式中第三项的n用用n代换代换，An=An、 n= n令令A0=A0ej 0ej0 t， 0=0所以所以上式写为：上式写为：第第第第 264264 页页页页令复数令复数n=0,1,2，表明：表明：任意周期信号任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。数信号之和。F0=A0/2为直流分量

126、。为直流分量。第第第第 265265 页页页页傅里叶系数之间关系n的偶函数：的偶函数：an，An，|Fn|n的奇函数的奇函数:bn， n 第第第第 266266 页页页页四、周期信号的功率四、周期信号的功率Parseval等式等式ParsevalParseval定理定理证明证明直流功率直流功率各次谐波功率和各次谐波功率和直流和直流和n次谐波分量在次谐波分量在1 电阻上消耗的平均功率之和。电阻上消耗的平均功率之和。周期信号一般是功率信号，其平均功率为周期信号一般是功率信号，其平均功率为第第第第 267267 页页页页 信号频谱的概念信号频谱的概念 周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点 频谱带宽频

127、谱带宽4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱第第第第 268268 页页页页复复 习习1.1.三角函数集三角函数集 1,cos(nt)，sin(nt)，n=1,2,在一个周期内在一个周期内是一个是一个完备的正交函数集，完备的正交函数集，周期周期信号信号f f(t)(t)可分解为傅里叶级数的三角形式：可分解为傅里叶级数的三角形式：即：周期信号可分解为直流分量和即：周期信号可分解为直流分量和n n次谐波分量。次谐波分量。A0/2为为直流分量直流分量Ancos(n t+ n)称为称为n次谐波次谐波其中：其中：n:n:正值正值第第第第 269269 页页页页指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级

128、数2.2.虚指数函数集虚指数函数集 ejnt，n=0，1，2，在一个周期内在一个周期内是一个是一个完备的正交函数集，完备的正交函数集，周期周期信号信号f f(t)(t)可分解为傅里叶级数的指数形式：可分解为傅里叶级数的指数形式：推导：推导：第第第第 270270 页页页页上式中第三项：上式中第三项：n用用n代换，代换，An=An、 n= n令令A0=A0ej 0ej0 t， 0=0所以所以指数形式的傅里叶形式指数形式的傅里叶形式n:n:正负正负第第第第 271271 页页页页其中：其中：Fn称为称为复傅里叶系数复傅里叶系数/ /各频率分量的复数幅度各频率分量的复数幅度 表明：表明：任意周期信号

129、任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的可分解为许多不同频率的虚指数信号之和，虚指数信号之和，F F0 0 = =A0/2为直流分量。为直流分量。所以所以指数形式的傅里叶形式指数形式的傅里叶形式傅里叶级数的复指数形式傅里叶级数的复指数形式第第第第 272272 页页页页一、周期信号频谱的概念一、周期信号频谱的概念周期信号周期信号f(t)分解为：分解为：或或其中：其中：n:n:正值正值n:n:正负正负第第第第 273273 页页页页周期信号频谱的概念周期信号频谱的概念周期信号的频谱：周期信号的频谱：指各次谐波幅值指各次谐波幅值A An n或或F Fn n、相、相位位 n n振幅频谱图：振幅频谱

130、图： n的关系画在以的关系画在以为为横轴的平面横轴的平面随频率随频率（n）的变化关系。的变化关系。相位频谱图：相位频谱图：将将An或或Fn的关系分别画在以的关系分别画在以为横轴的为横轴的平面上得到的图。平面上得到的图。上得到的图。上得到的图。单边频谱图：单边频谱图：双边双边频谱图：频谱图：AnFn第第第第 274274 页页页页频谱图示（单边）频谱图示（单边）幅度频谱幅度频谱相位频谱相位频谱离散谱，谱线离散谱，谱线=n第第第第 275275 页页页页单边频谱图例单边频谱图例1例：例：周期信号周期信号f(t)=解解首先应用三角公式改写首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即的表达式，即显然显然1

131、是该信号的直流分量。是该信号的直流分量。的周期的周期T1=8的周期的周期T2=6所以所以f(t)的周期的周期T=24，基波角频率，基波角频率=2/T=/12试求该周期信号的基波周期试求该周期信号的基波周期T，基波角频率，基波角频率，画，画出它的单边频谱图，并求出它的单边频谱图，并求f(t)的平均功率的平均功率P。第第第第 276276 页页页页是是f(t)的的(/4)/(/12)=3次谐波分量；次谐波分量；是是f(t)的的(/3)/(/12)=4次谐波分量；次谐波分量；画出画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图：的单边振幅频谱图、相位频谱图如图：第第第第 277277 页页页页例例2 2

132、 请画出其幅度谱和相位谱请画出其幅度谱和相位谱解：解：化为余弦形式化为余弦形式单边频谱图单边频谱图三角函数形式的傅里叶级数的谱系数三角函数形式的傅里叶级数的谱系数 第第第第 278278 页页页页双边频谱图双边频谱图整理整理第第第第 279279 页页页页二、周期信号频谱的特点二、周期信号频谱的特点举例：举例：有一幅度为有一幅度为1，脉冲宽，脉冲宽度为度为 的周期矩形脉冲，其周的周期矩形脉冲，其周期为期为T，如图所示，如图所示,求频谱。求频谱。令令Sa(x)=sin(x)/x(取样函数）取样函数）第第第第 280280 页页页页,n=0,1，2，(1)(1)包络线形状：包络线形状：取样函数取样

133、函数(3)(3)离散谱（谐波性）离散谱（谐波性）第第第第 281281 页页页页周期信号频谱的周期信号频谱的特点特点T一定一定， 变小，变小，此时此时 = =2 2 /T(/T(谱线间隔谱线间隔)不变不变,两零点之的两零点之的间间谱线数目：谱线数目： 1/ =（2 / ）/(2 /T)=T/ 增多。增多。(1)周期信号的频谱具有周期信号的频谱具有谐波谐波(离散离散)性性，谱线位置是基，谱线位置是基频频 的整数倍；的整数倍； 一定，T增大增大，间隔，间隔 减小，频谱变密，幅度减小。减小，频谱变密，幅度减小。如果如果周期周期T无限增长（这时就成为无限增长（这时就成为非周期信号非周期信号），），那么

134、，那么，谱线间隔将趋近于零谱线间隔将趋近于零，周期信号的，周期信号的离散频谱离散频谱就过就过渡到非周期信号的渡到非周期信号的连续频谱，连续频谱，各频率分量的幅度也趋近各频率分量的幅度也趋近于无穷小。于无穷小。(2)一般具有一般具有收敛性收敛性，总趋势减小。，总趋势减小。谱线的谱线的结构结构与波形参数的关系与波形参数的关系: :第第第第 282282 页页页页三频带宽度1.问题提出第一个零点集中了信号第一个零点集中了信号绝大部分能量绝大部分能量（平均功率）（平均功率）由频谱的由频谱的收敛性收敛性可知，信号的功率集中在低频段。可知，信号的功率集中在低频段。 第第第第 283283 页页页页周期矩形

135、脉冲信号的功率而总功率而总功率二者比值二者比值第第第第 284284 页页页页2频带宽度在满足在满足一定失真条件一定失真条件下，信号可以用某段频率范围下，信号可以用某段频率范围对于一般周期信号，将幅度下降为对于一般周期信号，将幅度下降为0.1|0.1|F Fn n| |maxmax 的频的频率区间定义为频带宽度。率区间定义为频带宽度。矩形：一般把矩形：一般把第一个零点第一个零点作为信号的频带宽度。作为信号的频带宽度。语音信号语音信号 频率大约为频率大约为 3003400Hz音乐信号音乐信号 5015,000Hz扩音器与扬声器扩音器与扬声器 有效带宽约为有效带宽约为 1520,000Hz3.系统

136、的通频带信号的带宽，才能不失真带宽与脉宽成反比带宽与脉宽成反比内的内的信号来表示，此频率范围称为信号来表示，此频率范围称为频带宽度。频带宽度。记为：记为：第第第第 285285 页页页页4.4 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱 傅里叶变化傅里叶变化 常用函数的傅里叶变化常用函数的傅里叶变化第第第第 286286 页页页页一傅里叶变换1. 引出周期信号周期信号f(t)，其，其指数形式指数形式傅里叶级数：傅里叶级数：其频谱其频谱F Fn n：T频谱强度频谱强度F Fn n无穷小无穷小对非周期信号对非周期信号：再用再用F Fn n表示频谱就不合适了。表示频谱就不合适了。第第第第 287287

137、 页页页页傅里叶变换2. 频谱密度的概念知道：知道：F(jF(j) )：称为称为频谱密度函数频谱密度函数（含义）（含义）。T频率频率= =谱线谱线间隔间隔(n(n) )无穷小无穷小离散频率离散频率n n连续频率连续频率表示表示无穷小无穷小T频谱强度频谱强度F Fn n00，但但F Fn n0 0且连续且连续定义定义： F(j)=)=F(n)T)T= =: :频率量纲频率量纲F(j) )表示单位频率上频谱值表示单位频率上频谱值第第第第 288288 页页页页傅里叶变换3. 傅里叶变换对的推导谱线间隔谱线间隔(n(n）= =F(jF(j)=)=F(jF(j)=)=f(t)f(t)f(t)f(t)=

138、 =f(t)f(t)= =F(jF(j)=)=FnT T函数函数f(t)f(t)的傅里叶变换的傅里叶变换第第第第 289289 页页页页傅里叶变换(n(n）变换：变换：f(t)f(t)= =n ne ejnjnt teej jt tf(t)f(t)= =F(jF(j)=)=FnT T函数函数F F（j j) )的傅里叶逆变换的傅里叶逆变换第第第第 290290 页页页页也可简记为也可简记为f(t)F(j)F(j)一般是复函数，写为一般是复函数，写为F(j)=|F(j)|ej ()=R()+jX()说明说明(1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。前面推导并未遵循严格的数学步骤。(2)用下列关系还可

139、方便计算一些积分用下列关系还可方便计算一些积分或或F(j)=Ff(t)f(t)=F1F(j)f(t)傅里叶变换存在的傅里叶变换存在的充分条件充分条件:第第第第 291291 页页页页复习一、周期信号：一、周期信号：1.1.傅里叶的三角函数形式傅里叶的三角函数形式2.2.傅里叶的复指数形式傅里叶的复指数形式第第第第 292292 页页页页复习3.3.频谱的概念频谱的概念振幅频谱图：振幅频谱图：相位频谱图：相位频谱图：An或或Fn n单边频谱图：单边频谱图：双边双边频谱图：频谱图：AnFn一、非周期信号：一、非周期信号：1.1.傅里叶变换傅里叶变换第第第第 293293 页页页页复习F(jF(j)

140、=)=f(t)f(t)= =第第第第 294294 页页页页二、常用函数的傅里叶变换二、常用函数的傅里叶变换1.1.矩形脉冲 (门函数）记为记为g g(t)(t)(t10tg)2t-2t第第第第 295295 页页页页频谱图幅度频谱幅度频谱相位频谱相位频谱频宽：频宽：F(j)一般是复函数：一般是复函数：F(j)=|F(j)|ej ()第第第第 296296 页页页页2单边指数函数f(t)=e t(t)， 0第第第第 297297 页页页页频谱图幅度频谱：幅度频谱：相位频谱：相位频谱：第第第第 298298 页页页页3双边指数函数f(t)=e | |t| | ， 0F(j)=|F(j)|ej (

141、)第第第第 299299 页页页页4冲激函数冲激函数 (t)、 (t)第第第第 300300 页页页页5直流信号1有一些函数有一些函数不满足绝对可积不满足绝对可积这一充分条件，如这一充分条件，如1， (t)等，但傅里叶变换却存在，直接用定义式不好求解。等，但傅里叶变换却存在，直接用定义式不好求解。可构造一函数序列可构造一函数序列f(t)逼近逼近f(t)，即，即而而f(t)满足绝对可积条件，并且满足绝对可积条件，并且f(t)的傅里叶变的傅里叶变换所形成的序列换所形成的序列F(j )是极限收敛的，则可定义是极限收敛的，则可定义f(t)的傅里叶变换的傅里叶变换F(j )为为这样定义的傅里叶变换也称为

142、这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换。广义傅里叶变换。讨论：讨论：第第第第 301301 页页页页推导1?构造构造f (t)=e- -t ， 0所以所以又又因此，因此， 1212 ( ( ) )双边指数函数双边指数函数0 0=0=0第第第第 302302 页页页页求F 1另一种方法将将 (t)1(t)1代入反变换定义式，有代入反变换定义式，有将将 =-u=-u，有，有再根据傅里叶变换定义式，得再根据傅里叶变换定义式，得将将t=t=，有，有将将u=tu=t，有，有直流直流/ /常数傅里叶常数傅里叶变换是冲击函数变换是冲击函数第第第第 303303 页页页页6.符号函数符号函数不满足不满足绝对

143、可绝对可积条件积条件f(t)=e t(t)， 0第第第第 304304 页页页页频谱图第第第第 305305 页页页页7.阶跃函数阶跃函数1212 ( ( ) )第第第第 306306 页页页页归纳记忆：1.F 变换对变换对2.常用函数常用函数F 变换对：变换对：(t)(t)e- - t(t)g(t)sgn (t)e |t|112()第第第第 307307 页页页页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 线性线性 奇偶性奇偶性 对称性对称性 尺度变换尺度变换 时移特性时移特性 频移特性频移特性 卷积定理卷积定理 时域微分和积分时域微分和积分 频域积分和微分频域积分和微分 相关定理相关

144、定理第第第第 308308 页页页页一线性性质Iff1(t)F1(j)，f2(t)F2(j)thenaf1(t)+bf2(t)aF1(j)+bF2(j)Proof:F af1(t)+bf2(t)=aF1(j)+bF2(j)例例1第第第第 309309 页页页页线性性质例线性性质例ForexampleF(j)=?Ans:f(t)=f1(t)g2(t)f1(t)=12()g2(t)2Sa() F(j)=2()- -2Sa()=- -第第第第 310310 页页页页二奇偶虚实性Iff(t)isrealfunction,andf (t)F(j)=|F(j)|ej ()=R()+jX()then R()

145、=R()，X()=X()Proof-3|F(j)|=|F(j)|， ()= () f (t)F(j)=F*(j)Iff (t)=f (t)thenX()=0，F(j)=R()Iff (t)=f (t)thenR()=0，F(j)=jX()第第第第 311311 页页页页奇偶虚实性证明奇偶虚实性证明设设f f( (t t) )是实函数是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略）（为虚函数或复函数情况相似，略） 变换：变换：t=-u即：即：第第第第 312312 页页页页三三*、对称性、对称性Iff (t)F()thenProof:上式：上式：t ，t变化：变化：- -F(t)2f ()F(t )2f

146、 ()例题例题-3第第第第 313313 页页页页对称性举例对称性举例1Forexamplef1 (t)F1 ()F2 ()f 2 (t)121f (t)F()F(t )2f ()1第第第第 314314 页页页页对称性举例对称性举例2ForexampleF(j)=?Ans:if=1f (t)F()F(t )2f ()第第第第 315315 页页页页四、尺度变换性质四、尺度变换性质Iff (t)F(j)thenwhere“a”isanonzerorealconstant.ProofAlso,lettinga=- -1,f (- t )F(- -j)奇偶虚实性奇偶虚实性第第第第 316316 页

147、页页页尺度变换证明尺度变换证明Proof:Ff (a t )=a 0: Ff (a t )a 0: F f (a t )f (at )Thatis第第第第 317317 页页页页尺度变换例尺度变换例Forexample1f(t)=F(j)=?Ans:Usingsymmetrysothatf (t)F()F(t )2f ()f (- t )F(- -j)第第第第 318318 页页页页尺度变换意义尺度变换意义(1)f(at)f(at) 0 0a a1a1 1 时域压缩，频域扩展时域压缩，频域扩展a a倍倍(3)a=- -1时域反转，频域也反转时域反转，频域也反转脉冲持续脉冲持续时间短时间短，变化

148、快；变化快；尺度变换意义尺度变换意义f (at )在频域在频域高频分量增加，频带展宽，各分量的幅度下降高频分量增加，频带展宽，各分量的幅度下降a a倍。倍。f (- t )F(- -j)第第第第 320320 页页页页五、时移特性五、时移特性Iff (t)F(j)thenwhere“t0”isrealconstant.Proof:F f (tt0)Example第第第第 321321 页页页页时移特性举例时移特性举例1ForexampleF(j)=?Ans:f1(t)=g6(t-5),f2(t)=g2(t-5)g6(t-5)g2(t-5) F(j)=+第第第第 322322 页页页页时移特性举

149、例时移特性举例2求图求图(a)(a)所示三脉冲信号的频谱。所示三脉冲信号的频谱。解：解： 第第第第 323323 页页页页时移特性举例时移特性举例2 2因为因为脉冲个数增多，频谱脉冲个数增多，频谱包络不变，带宽不变。包络不变，带宽不变。 第第第第 324324 页页页页时移尺度举例时移尺度举例3Forexample2Giventhatf (t)F(j),findf (atb)?Ans:f (tb)e- -jbF(j)orf (at)f (atb)=f (atb)第第第第 325325 页页页页六、频移性质六、频移性质Iff (t)F(j)thenProof:where“0”isrealcons

150、tant.F ej0tf(t)= Fj(- -0)Forexample1f(t)=ej3tF(j)=?Ans:12()ej3t12(- -3)Example2第第第第 326326 页页页页频移（调制）特性例频移（调制）特性例例：例：已知矩形调幅信号已知矩形调幅信号 解：解：因为因为其中其中g g(t)(t)为矩形脉冲，脉宽为为矩形脉冲，脉宽为 ，求频谱函数。，求频谱函数。矩形脉冲矩形脉冲g g(t)(t)的频谱的频谱G G (j(j):):由频移特性：由频移特性：第第第第 327327 页页页页频移（调制）特性例频移（调制）特性例意义意义将频谱的包络线一分为二，向左、向右各平移将频谱的包络线

151、一分为二，向左、向右各平移0 0第第第第 328328 页页页页七、卷积性质七、卷积性质Convolutionintimedomain：Iff1(t)F1(j)，f2(t)F2(j)Thenf1(t)*f2(t)F1(j)F2(j)Convolutioninfrequencydomain：Iff1(t)F1(j)，f2(t)F2(j)Thenf1(t)f2(t)F1(j)*F2(j)ProofExample第第第第 329329 页页页页时域卷积定理的证明Ff1(t)*f2(t)Sothat,InterchangingtheorderofintegrationUsingtimeshifting

152、f1(t)*f2(t)F1(j)F2(j)第第第第 330330 页页页页卷积定理举例ForexampleAns:Usingsymmetry,第第第第 331331 页页页页八、时域的微分和积分八、时域的微分和积分Iff (t)F(j)thenProof:f(n)(t)= (n)(t)*f(t)f(t)= (t)*f(t)f(n)(t)= (n)(t)*f(t)F ( (n)n)( (t t)*)*f f( (t t)F ( (n)n)( (t t)*)*f f( (t t)=)=第第第第 332332 页页页页时域的微分和积分时域的微分和积分Iff (t)F(j)Proof:时域微分定理：时

153、域微分定理：时域微分定理：时域微分定理：两边对两边对t求导：求导：所以：所以：反复：反复：第第第第 333333 页页页页时域的微分和积分时域的微分和积分Examplef(- -1)(t)= (t)*f(t)时域积分定理：时域积分定理：Proof:第第第第 334334 页页页页时域微分特性例1f(t)=1/t2?Forexample1Ans:f (t)F()F(t )2f ()第第第第 335335 页页页页Forexample2Determinef(t)F(j)Ans:f” ”(t)= (t+2) 2 (t)+ (t 2)F2(j)=F f” ”(t)=ej22+ej2=2cos(2)2F

154、(j)=Notice:d(t)/dt= (t)1(t)1/(j)f ，(t)=u(t+2)2u(t)+u(t2)第第第第 336336 页页页页Summary:Iff(n)(t)Fn(j)，andf f(-)+ (-)+ f f() = () = 0 0thenf (t)F(j)=Fn(j)/(j)n第第第第 337337 页页页页九、频域的微分和积分九、频域的微分和积分Iff (t)F(j)then(jt)nf (t)F(n)(j)whereExample1频域的微分定理：频域的微分定理：频域的积分定理：频域的积分定理：第第第第 338338 页页页页例1Forexample1Determi

155、nef (t)= t(t)F(j)=?Ans:Notice:t(t)=(t)*(t)Itswrong.Because ( ) ( )and(1/j ) ( )isnotdefined.(jt)nf (t)F(n)(j)第第第第 339339 页页页页例2Forexample2DetermineAns:第第第第 340340 页页页页十、相关定理十、相关定理Iff1(t)F1(j)，f2(t)F2(j)，f(t)F(j)thenF R12()=F1(j)F2*(j) F R21()=F1*(j)F2(j)F R()=|F(j)|2Proof第第第第 341341 页页页页相关定理证明利用相关函数

156、与卷积积分的关系利用相关函数与卷积积分的关系R12()=f1()*f2() F R12()=F f1()*f2()=F f1()F f2()由于由于F f2()=F2(j)=F2*(j)故故F R12()=F1(j)F2*(j)第第第第 342342 页页页页4.6 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱帕斯瓦尔关系帕斯瓦尔关系ParsevalsRelation能量谱能量谱功率谱功率谱能量谱和功率谱分析能量谱和功率谱分析第第第第 343343 页页页页一帕塞瓦尔关系帕塞瓦尔关系ParsevalsRelationExampleProof第第第第 344344 页页页页帕塞瓦尔能量关系证明帕塞瓦尔能

157、量关系证明证法一：证法一：证法二证法二第第第第 345345 页页页页证明方法二证明方法二由相关定理知由相关定理知所以所以又能量有限信号的自相关函数是又能量有限信号的自相关函数是因此，得因此，得第第第第 346346 页页页页帕塞瓦尔能量关系例帕塞瓦尔能量关系例ForexampleDeterminetheenergyofAns:第第第第 347347 页页页页二能量谱密度（能量谱）能量谱密度（能量谱） 定义定义能量谱能量谱指单位频率的信号能量，记为指单位频率的信号能量，记为E()()在在频带频带df内信号的能量为内信号的能量为E()df，因而信号，因而信号在整个频率范围的在整个频率范围的总能量

158、总能量E()E()由由帕塞瓦尔关系帕塞瓦尔关系可得可得E()=|F(j)|2R()E()能量谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换对。能量谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换对。第第第第 348348 页页页页三、三、功率谱是功率有限信号是功率有限信号则则的的平均功率平均功率为：为：第第第第 349349 页页页页定义定义功率谱功率谱指单位频率的信号功率，记为指单位频率的信号功率，记为P()()在在频带频带df内信号的功率为内信号的功率为P()df，因而信号，因而信号在整个频率范围的在整个频率范围的总功率总功率P()P()P()=因此因此R()P()功率有限信号的功率谱与自相关函数是一对傅里叶变换。

159、功率有限信号的功率谱与自相关函数是一对傅里叶变换。维纳维纳- -欣钦关系欣钦关系式式例例1 1例例2 2第第第第 350350 页页页页功率谱例功率谱例1求余弦信号求余弦信号的自相关函数和功率谱。的自相关函数和功率谱。解：解：对此功率有限信号，由自相关函数的定义，有对此功率有限信号，由自相关函数的定义，有第第第第 351351 页页页页求功率谱因为功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是一对因为功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换傅里叶变换, ,所以功率谱为所以功率谱为: :P()()第第第第 352352 页页页页功率谱例功率谱例2白噪声，其功率谱密度为白噪声，其功率谱密度为P

160、N()=N(常量常量)，- -解：解：利用维纳利用维纳-欣钦关系式，得自相关函数欣钦关系式，得自相关函数由于白噪声的功率谱密度为常数，所以白噪声的自相由于白噪声的功率谱密度为常数，所以白噪声的自相关函数为关函数为冲激函数冲激函数，表明白噪声在各时刻的取值杂乱，表明白噪声在各时刻的取值杂乱无章，没有任何相关性。无章，没有任何相关性。求自相关函数。求自相关函数。第第第第 353353 页页页页四、能量谱和功率谱分析时域时域 频域频域因此因此显然显然物理意义：物理意义：响应的能谱等于激励的能谱与响应的能谱等于激励的能谱与|H(j)|2的乘积。的乘积。同样，对功率信号有同样，对功率信号有Py()=|H

161、(j)|2Pf()例例第第第第 354354 页页页页功率谱分析例功率谱分析例解：解：系统函数为系统函数为输出功率谱：输出功率谱：第第第第 355355 页页页页自相关函数考虑到考虑到由由得得平均功率第第第第 356356 页页页页4.7 4.7 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 正余弦函数的傅里叶变换正余弦函数的傅里叶变换 一般周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换 傅里叶系属于傅里叶变换傅里叶系属于傅里叶变换周期信号：周期信号：f f( (t t)傅里叶级数傅里叶级数F Fn n 离散谱离散谱周期信号的傅里叶变换如何求？与傅里叶级数的关系？周期信号的傅里叶变换如何求？与傅里叶

162、级数的关系？非周期信号：非周期信号：f f( (t t)傅里叶变换傅里叶变换F F(j)(j) 连续谱连续谱第第第第 357357 页页页页一正、余弦的傅里叶变换正、余弦的傅里叶变换已知已知 12()12()同理同理ej0t2(+0)ej0t2(0)频移特性频移特性第第第第 358358 页页页页频谱图第第第第 359359 页页页页二、一般周期信号的傅里叶变换二、一般周期信号的傅里叶变换说明：说明：(1)离散谱离散谱-周期信号周期信号f fT T(t)(t)的傅氏变换由冲激序列的傅氏变换由冲激序列(2)谱线的幅度不是有限值，谱线的幅度不是有限值，而是冲击函数；而是冲击函数；组成，且冲激函数组

163、成，且冲激函数仅存在于谐波频率处；仅存在于谐波频率处；eint2(n)(3)含义含义频谱密度，频谱密度，在频谱点取得无限大的频谱值。在频谱点取得无限大的频谱值。第第第第 360360 页页页页周期信号傅氏变换例周期信号傅氏变换例例例1：周期信号如图，求其傅里叶变换。周期信号如图，求其傅里叶变换。解：解：1tT 2T 3T-T 00 2 3-表达式：表达式：傅里叶系数：傅里叶系数：周期信号的周期信号的傅里叶变换：傅里叶变换：在积分曲卷内只有在积分曲卷内只有(t)第第第第 361361 页页页页周期信号傅氏变换例周期信号傅氏变换例第第第第 362362 页页页页例例2：周期信号如图，求其傅里叶变换

164、。周期信号如图，求其傅里叶变换。解：解：周期信号周期信号f(t)也可看作也可看作一时限非周期信号一时限非周期信号f0(t)的的周期拓展。即周期拓展。即f(t)= T(t)*f0(t)F(j)= ()F0(j)F(j)f0(t)=g2(t)第第第第 363363 页页页页周期信号周期信号fT(t)求其傅里叶变换求其傅里叶变换：,即单脉冲信号即单脉冲信号f0(t)，则，则一般：从一般：从周期信号周期信号fT(t)中截取一个周期如中截取一个周期如fT(t)= T(t)*f0(t)其中其中F(j)= ()F0(j)=F0(j) ()时域卷积定理时域卷积定理第第第第 364364 页页页页三、傅里叶系数

165、与傅里叶变换关系三、傅里叶系数与傅里叶变换关系截取：截取：一个单脉冲一个单脉冲f0(t)，其傅氏变换，其傅氏变换F0(j)推导推导：傅氏变换傅氏变换F0(j)傅氏系数傅氏系数Fn的关系：的关系：第第第第 365365 页页页页4.8 LTI4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析 基本信号基本信号e e j j t t作用于作用于LTILTI系统的响应系统的响应 一般信号一般信号f f(t)(t)作用于作用于LTILTI系统的响应系统的响应 频率响应频率响应H H(j(j ) )的求法的求法 无失真传输与滤波无失真传输与滤波傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频傅里叶分析是将任意信号分解

166、为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。率的虚指数函数之和。对周期信号：对周期信号：对非周期信号：对非周期信号：其其基本信号基本信号为为ej t第第第第 366366 页页页页一虚指数函数虚指数函数ej t作用于作用于LTI系统的响应系统的响应设设LTI系统的冲激响应为系统的冲激响应为h(t)，当激励是角频率，当激励是角频率上式积分上式积分正好是正好是h(t)的傅里叶变换，的傅里叶变换，y(t)=H(j )ej t表明：表明：激励为幅度为激励为幅度为1的虚指数函数的虚指数函数ejt t时，系统时，系统y(t)=h(t)*ej t由卷积定义：由卷积定义：的虚指数信号的虚指数信号ej t时，其零状态响

167、应时，其零状态响应记为记为H(j )，称为系统的，称为系统的频率响应函数频率响应函数。H(j )反映了响应反映了响应y(t)的幅度和相位随频率变化情况的幅度和相位随频率变化情况。的响应是系数为的响应是系数为H H(j (j ) )的同频率虚指数函数。的同频率虚指数函数。第第第第 367367 页页页页二、一般信号二、一般信号f(t)作用于作用于LTI系统的响应系统的响应ej tH(j )ej tF(j )ej td F(j )H(j )ej td 齐次齐次性性可加可加性性f(t)y(t)=F1F(j )H(j )Y(j )=F(j )H(j )第第第第 368368 页页页页频域分析法步骤：频

168、域分析法步骤：频率响应频率响应H(j )可定义为系统零状态响应的傅里叶变可定义为系统零状态响应的傅里叶变 H(j ) 称为称为幅频特性幅频特性（或（或幅频响应幅频响应）；）；( ( ) )称为称为相相傅里叶变换法傅里叶变换法换换Y(j )与激励与激励f(t)的傅里叶变换的傅里叶变换F(j )之比，即之比，即频特性频特性（或（或相频响应相频响应）。）。 H(j ) 是是 的偶函数，的偶函数，( )是是 的奇函数。的奇函数。第第第第 369369 页页页页频域分析例频域分析例例：例：某某LTI系统的系统的 H(j ) 和和( ( ) )如图，如图，若若f(t)=2+4cos(5t)+4cos(10

169、t)，求系统的响应。，求系统的响应。解法一：解法一：用傅里叶变换用傅里叶变换F(j )=4()+4(5)+(+5)+4(10)+(+10)Y(j )=F(j )H(j )=4()H(0)+4(5)H(j5 5)+(+5)H(-j5 5)+4(10)H(j1010)+(+10)H(-j1010)H(j )= = H(j ) e ej(j( ) )=4()+4-j0.5(5)+j0.5(+5)y(t)=F-1Y(j )=2+2sin(5t)第第第第 370370 页页页页解法二：用三角傅里叶级数解法二：用三角傅里叶级数f(t)的基波角频率的基波角频率=5rad/sf(t)=2+4cos(t)+4c

170、os(2t)H(0)=1，H(j)=0.5e-j0.5，H(j2)=0y(t)=2+40.5cos(t0.5)=2+2sin(5t)第第第第 371371 页页页页三、频率响应三、频率响应H(j )的求法的求法1.H(j )=Fh(t)2.H(j )=Y(j )/F(j )（1）由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。）由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。（2）由电路直接求出。）由电路直接求出。例例第第第第 372372 页页页页频率响应例频率响应例1例例1：某系统的微分方程为某系统的微分方程为解：解：微分方程两边取傅里叶变换微分方程两边取傅里叶变换j Y(j )+2Y(j )=F(j

171、 )f(t)=e-t(t)Y(j )=H(j )F(j )y(t)=(e- -te- -2t)(t)求求f(t)=e-t(t)时的响应时的响应y(t)。y(t)+2y(t)=f(t)第第第第 373373 页页页页频率响应例频率响应例2例：例：如图电路，如图电路，R=1，C=1F，以，以uC(t)为输出，求其为输出，求其h(t)。若若uS(t)=2cos(t)，求，求uC(t)=？解：解：画电路频域模型画电路频域模型h(t)=e- -t(t)由于由于第第第第 374374 页页页页四、无失真传输与滤波四、无失真传输与滤波系统对于信号的作用大体可分为两类：系统对于信号的作用大体可分为两类：信号的

172、传输信号的传输滤波滤波传输传输要求信号尽量要求信号尽量不失真不失真，而，而滤波滤波则滤去或削弱则滤去或削弱不需要有的成分，必然伴随着不需要有的成分，必然伴随着失真失真。1 1、无失真传输、无失真传输 （1）定义：定义：信号信号无失真传输无失真传输是指系统的输出信号与是指系统的输出信号与输入信号相比，只有输入信号相比，只有幅度的大小幅度的大小和和出现时间的先后不出现时间的先后不同，同，而没有波形上的变化。即而没有波形上的变化。即输入信号为输入信号为f(t)，经过无失真传输后，输出信号应为，经过无失真传输后，输出信号应为y(t)=Kf(ttd)其频谱关系为其频谱关系为Y(j )=Kej tdF(j

173、 )第第第第 375375 页页页页(2)无失真传输条件：无失真传输条件：系统要实现无失真传输，对系统系统要实现无失真传输，对系统h(t)，H(j )的要求是：的要求是：(a)对对h(t)的要求：的要求：h(t)=K (ttd)(b)对对H(j )的要求：的要求：H(j )=Y(j )/F(j )=Ke- -j td即即 H(j ) =K,( )= td上述是信号无失真传输的上述是信号无失真传输的理想理想条件。当传输有限带宽条件。当传输有限带宽的信号时，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、的信号时，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、相频特性满足以上条件即可。相频特性满足以上条件即可。例例

174、第第第第 376376 页页页页无失真例无失真例例：例：系统的幅频特性系统的幅频特性|H(j)|和相频特性如图和相频特性如图(a)(b)所示，则下列所示，则下列信号通过该系统时，信号通过该系统时，不产生失真的是不产生失真的是(A)f(t)=cos(t)+cos(8t)(B)f(t)=sin(2t)+sin(4t)(C)f(t)=sin(2t)sin(4t)(D)f(t)=cos2(4t)第第第第 377377 页页页页相位特性为什么与频率成正比关系？只有只有相位相位与频率与频率成正比，成正比，方能保证各谐波有相同的方能保证各谐波有相同的延延迟时间，迟时间，在延迟后各次谐波叠加方能不失真。在延迟

175、后各次谐波叠加方能不失真。延迟时间延迟时间td是相位特性的斜率：是相位特性的斜率：群时延群时延或称群延时或称群延时在满足信号传输不产生相位失真的情在满足信号传输不产生相位失真的情况下，系统的群时延特性应为常数。况下，系统的群时延特性应为常数。 第第第第 378378 页页页页例第第第第 379379 页页页页失真的有关概念失真的有关概念线性系统引起的信号失真由两方面的因素造成线性系统引起的信号失真由两方面的因素造成幅度失真：幅度失真：各频率分量幅度产生不同程度的衰减；各频率分量幅度产生不同程度的衰减；相位失真：相位失真：各频率分量产生的相移不与频率成正比，各频率分量产生的相移不与频率成正比，使

176、响应的各频率分量在时间轴上的相对位置产生变化。使响应的各频率分量在时间轴上的相对位置产生变化。 线性系统的失真线性系统的失真幅度，相位变化，不产生新的频幅度，相位变化，不产生新的频率成分；率成分；非线性系统产生非线性失真非线性系统产生非线性失真产生新的频率成分产生新的频率成分。 对系统的不同用途有不同的要求：对系统的不同用途有不同的要求：无失真传输；无失真传输；利用失真利用失真波形变换。波形变换。第第第第 380380 页页页页2、理想低通滤波器、理想低通滤波器具有如图所示幅频、相频特性的具有如图所示幅频、相频特性的系统称为系统称为理想低通滤波器。理想低通滤波器。 c称称为为截止角频率。截止角

177、频率。理想低通滤波器的频率响应可理想低通滤波器的频率响应可写为：写为： 的低频段内，传输信号无失真的低频段内，传输信号无失真。第第第第 381381 页页页页理想低通的冲激响应h(t)= -1g2 c( )e-j td=可见，它实际上是可见，它实际上是不可实现的非因果不可实现的非因果系统。系统。第第第第 382382 页页页页理想低通的阶跃响应g(t)=h(t)* (t)=经推导，可得经推导，可得称为正弦积分称为正弦积分第第第第 383383 页页页页阶跃响应波形第第第第 384384 页页页页说明（1 1）上升时间：输出由最小值到最大值所经历的时间，上升时间：输出由最小值到最大值所经历的时间

178、， ： （2）有明显失真，只要有明显失真，只要 c，则必有振荡，其过冲比，则必有振荡，其过冲比稳态值高约稳态值高约9%。这一由频率截断效应引起的振荡现象。这一由频率截断效应引起的振荡现象称为称为吉布斯现象。吉布斯现象。gmax=0.5+Si()/=1.0895第第第第 385385 页页页页一种可实现的低通理想低通滤波器在物理上是理想低通滤波器在物理上是不可实现不可实现的，近似理想的，近似理想低通滤波器的实例低通滤波器的实例第第第第 386386 页页页页3、物理可实现系统的条件、物理可实现系统的条件就就时域特性时域特性而言，一个而言，一个物理可实现的系统，物理可实现的系统，其冲激其冲激响应在

179、响应在t0时必须为时必须为0，即，即h(t)=0,t0即即响应不应在激励作用之前出现。响应不应在激励作用之前出现。就就频域特性频域特性来说，佩利（来说，佩利（Paley)和维纳（和维纳（Wiener)证证明了物理可实现的幅频特性必须满足明了物理可实现的幅频特性必须满足并且并且称为称为佩利佩利-维纳准则。维纳准则。（必要条件）（必要条件）从该准则可看出，对于物理可实现系统，其幅频从该准则可看出，对于物理可实现系统，其幅频特性可在某些孤立频率点上为特性可在某些孤立频率点上为0，但不能在某个有限，但不能在某个有限频带内为频带内为0。第第第第 387387 页页页页4.9 4.9 4.9 4.9 取样

180、定理取样定理取样定理取样定理 信号的取样信号的取样 取样定理取样定理取样定理取样定理论述了在一定条件下，一个连续信号完论述了在一定条件下，一个连续信号完全可以用全可以用离散样本值离散样本值表示。这些样本值包含了该连续表示。这些样本值包含了该连续信号的全部信息，信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。利用这些样本值可以恢复原信号。可以说，取样定理可以说，取样定理在连续信号与离散信号之间架起了在连续信号与离散信号之间架起了一座桥梁。一座桥梁。为其互为转换提供了理论依据。为其互为转换提供了理论依据。第第第第 388388 页页页页一一信号的取样信号的取样信号的取样信号的取样所谓所谓“取样取样”

181、就是利用就是利用取样脉冲序列取样脉冲序列s(t)从连续信从连续信号号f(t)中中“抽取抽取”一系列离散样本值的过程。一系列离散样本值的过程。这样得到的离散信号称为这样得到的离散信号称为取样信号取样信号fs(t)。 它是对信号进行它是对信号进行数字处理数字处理的第一个环节。的第一个环节。 脉冲序列脉冲序列数字处理过程：数字处理过程：需要解决的问题：需要解决的问题：Fs(j)与与F(j)的关系的关系由由fs(t)能否恢复能否恢复f(t)?第第第第 389389 页页页页1理想取样（周期单位冲激取样）f(t)F(j)(m 时，其拉氏变换存时，其拉氏变换存在。在。收敛域如图所示。收敛域如图所示。收敛域

182、收敛域收敛边界收敛边界第第第第 429429 页页页页例例2反因果信号反因果信号f2(t)=e t (-t)，求拉，求拉氏氏变换。变换。解解可见，对于反因果信号，仅当可见，对于反因果信号，仅当Res= 时，其收敛域时，其收敛域为为 Res2Res= 33 2可见，象函数相同，但收敛域不同。可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必双边拉氏变换必须标出收敛域。须标出收敛域。第第第第 432432 页页页页通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时称为称为单边拉氏变换单边拉氏变换，简称，简称拉氏变换拉氏变换。刻为坐标原点。这样，刻为坐标原点。这样，t

183、，可以省略。可以省略。本课程主要讨论本课程主要讨论单边拉氏变换单边拉氏变换。第第第第 433433 页页页页三、单边拉氏变换三、单边拉氏变换简记为简记为F F( (s s)=)= f f( (t t)f f( (t t)=)=-1-1 F F( (s s) ) f f( (t t) ) F F( (s s) )第第第第 434434 页页页页四、常见函数的拉普拉斯变换四、常见函数的拉普拉斯变换1、 (t)1， - (t)2、指数函数、指数函数e-s0t(t) -Res03、指数函数、指数函数es0t Res0第第第第 435435 页页页页常见函数的拉普拉斯变换常见函数的拉普拉斯变换5、若、若

184、s0为实数，且为实数，且s0=a(a0),则则4、 (t)或或11/s， 06、若、若s0为虚数，且为虚数，且s0=j，则则第第第第 436436 页页页页常见函数的拉普拉斯变换常见函数的拉普拉斯变换cos 0t=(ej 0t+e e-j-j 0t)/2sin 0t=(ej 0te e-j-j 0t)/2j第第第第 437437 页页页页常见函数的拉普拉斯变换常见函数的拉普拉斯变换8、周期信号、周期信号fT(t)特例：特例： T(t)1/(1e-sT)第第第第 438438 页页页页五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系Res 0要讨论其关系，要讨论其关系，f(t

185、)必须为因果信号。必须为因果信号。根据收敛坐标根据收敛坐标 0 0的值可分为以下三种情况的值可分为以下三种情况：（1） 0-2；则则F(j )=1/(j +2)第第第第 439439 页页页页单边拉氏变换与傅里叶变换的关系单边拉氏变换与傅里叶变换的关系（2） 0=0，即即F(s)的收敛边界为的收敛边界为j 轴，轴，如如f(t)= (t)F(s)=1/s=( )+1/j （3） 00，F(j )不存在。不存在。例例f(t)=e2t (t)F(s)=1/(s2), 2；其傅里叶；其傅里叶变换不存在。变换不存在。第第第第 440440 页页页页5.2 拉普拉斯变换性拉普拉斯变换性质质 线性性质线性性

186、质 尺度变换尺度变换 时移特性时移特性 复频域特性复频域特性 时域微分时域微分 时域积分时域积分 卷积定理卷积定理 S S域微分域微分 S S域积分域积分 初值定理初值定理 终值定理终值定理第第第第 441441 页页页页一、线性性质一、线性性质若若f1(t)F1(s)Res 1,f2(t)F2(s)Res 2例例1 1f(t)= (t)+ (t)1+1/s， 0则则a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(s)+a2F2(s)Resmax( 1, 2)第第第第 442442 页页页页二、尺度变换二、尺度变换若若f(t)F(s),Res 0，且有实数，且有实数a0，证明：证明：则则f(at)第第

187、第第 443443 页页页页三、时移特性三、时移特性若若f(t)F(s),Res 0,且有实常数且有实常数t00,则则f(t-t0) (t-t0)e-st0F(s),Res 0与尺度变换相结合与尺度变换相结合f(at-t0) (at-t0)例例1:求如图信号的单边拉氏变换。求如图信号的单边拉氏变换。解：解：f1(t)= (t) (t-1)，f2(t)= (t+1) (t-1)F1(s)=F2(s)=F1(s)第第第第 444444 页页页页例例2:已知已知f1(t)F1(s),求求f2(t)F2(s)解：解：f2(t)=f1(0.5t)f10.5(t-2)f1(0.5t)2F1(2s)f10.

188、5(t-2)2F1(2s)e-2sf2(t)2F1(2s)(1e-2s)例例3:求求f(t)=e-2(t-1)(t)F(s)=?第第第第 445445 页页页页四、复频移（四、复频移（s域平移）特性域平移）特性若若f(t)F(s),Res 0,且有复常数且有复常数sa= a+j a,则则f(t)esatF(s-sa),Res 0+ a例例1:已知因果信号已知因果信号f(t)的象函数的象函数F(s)=求求e-tf(3t-2)的象函数。的象函数。解：解：f(t-t0) (t-t0)e-st0F(s),Res 0顺序问题？顺序问题？时移特性：时移特性：尺度特性：尺度特性：复频域特性：复频域特性：e-

189、tf(3t-2)第第第第 446446 页页页页复频移（复频移（s域平移）特性域平移）特性若若f(t)F(s),Res 0,且有复常数且有复常数sa= a+j a,则则f(t)esatF(s-sa),Res 0+ a例例2:f(t)=cos(2t/4)F(s)=?解：解：cos(2t/4)=cos(2t)cos(/4)+sin(2t)sin(/4)第第第第 447447 页页页页五、时域的微分特性（微分定理）五、时域的微分特性（微分定理）若若f(t)F(s),Res 0,则则f (t)sF(s)f(0-)推广：推广：证明：证明：第第第第 448448 页页页页举例若若f(t)为因果信号，则为因

190、果信号，则f(n)(t)snF(s)例例1:例例2:解解:第第第第 449449 页页页页六、时域积分特性（积分定理）六、时域积分特性（积分定理）证明：证明：第第第第 450450 页页页页时域积分特性（积分定理）时域积分特性（积分定理）证明：证明：第第第第 451451 页页页页时域积分特性（积分定理）时域积分特性（积分定理）例例1:t2 (t)?若若f(t)为因果信号，为因果信号，f(n)(0-)=0,则则 (t)或或11/s， 0第第第第 452452 页页页页例例2:已知因果信号已知因果信号f(t)如图如图,求求F(s)解：解：对对f(t)求导得求导得f(t)，如图，如图由于由于f(t

191、)为因果信号，故为因果信号，故f(0-)=0f(t)=(t)(t2)(t2)F1(s)结论：若结论：若f(t)为因果信号，已知为因果信号，已知f(n)(t)Fn(s)则则f(t)Fn(s)/sn第第第第 453453 页页页页七、卷积定理七、卷积定理时域卷积定理时域卷积定理若因果函数若因果函数f1(t)F1(s),Res 1,f2(t)F2(s),Res 2则则f1(t)*f2(t)F1(s)F2(s)复频域（复频域（s域）卷积定理域）卷积定理第第第第 454454 页页页页八、八、s域微分和积分域微分和积分若若f(t)F(s),Res 0,则则例例1：t2e-2t (t)?t2e-2t (t

192、)e-2t (t)1/(s+2)第第第第 455455 页页页页复习一：常见函数拉普拉斯变换复习一：常见函数拉普拉斯变换1、 (t)1， - (t)2、指数函数、指数函数e-s0t(t) -Res03、指数函数、指数函数es0t Res0第第第第 456456 页页页页常见函数的拉普拉斯变换常见函数的拉普拉斯变换5、若、若s0为实数，且为实数，且s0=a(a0),则则4、 (t)或或11/s， 06、若、若s0为虚数，且为虚数，且s0=j，则则第第第第 457457 页页页页复习二：拉普拉斯变换性质复习二：拉普拉斯变换性质cos 0t=(ej 0t+e e-j-j 0t)/2sin 0t=(e

193、j 0te e-j-j 0t)/2j1.线性性质：线性性质：a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(s)+a2F2(s)Resmax( 1, 2)2.尺度变换尺度变换拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质则则f(at)第第第第 458458 页页页页3.时移特性时移特性拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质f(t-t0) (t-t0)e-st0F(s),Res 04.复频移特性复频移特性f(t)esatF(s-sa),Res 0+ a5.时移微分特性时移微分特性f (t)sF(s)f(0-)若若f(t)为因果信号为因果信号 f(n)(t)snF(s)6.时移微分特性时移微分特性第第第第 459459 页页

194、页页拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质7.卷积定理卷积定理若若f(t)为因果信号为因果信号f(n)(0-)=0,时域卷积定理时域卷积定理f f1(t)*1(t)*f f2(t) 2(t) F F1(s)1(s)F F2(s)2(s) 复频域（复频域（s域）卷积定理域）卷积定理8.频域微分积分性质频域微分积分性质第第第第 460460 页页页页九、初值定理和终值定理九、初值定理和终值定理初值定理用于由初值定理用于由F(s)直接求直接求f(0+)初值定理初值定理设函数设函数f(t)不含不含 (t)及其各阶导数（即及其各阶导数（即F(s)为真分式，为真分式，终值定理终值定理若若f(t)当当t时存在，并

195、且时存在，并且f(t)F(s),Res 0,不必求出原函数不必求出原函数f(t)终值定理用于由终值定理用于由F(s)直接求直接求f(）若若F(s)为假分式化为真分式）为假分式化为真分式） 00，则，则第第第第 461461 页页页页举例例例1：例例2：第第第第 462462 页页页页5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换直接利用定义式求反变换直接利用定义式求反变换-复变函数积分，比较困难。复变函数积分，比较困难。通常的方法通常的方法:（1）查表）查表（2）利用性质）利用性质（3）部分分式展开部分分式展开-结合结合若象函数若象函数F(s)是是s的有理分式，可写为的有理分式，可写为若若mn（假分式）

196、（假分式）,可用多项式除法将象函数可用多项式除法将象函数F(s)分分解为有理多项式解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。与有理真分式之和。第第第第 463463 页页页页拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换由于由于L-11= (t)， L-1sn= (n)(t)，故多项式，故多项式P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。下面主要讨论有理真分式的情形。下面主要讨论有理真分式的情形。第第第第 464464 页页页页一、零、极点的概念一、零、极点的概念若若F(s)是是s的实系数有理真分式（的实系数有理真分式（mn)，则可写为，则可写为分解分解零点零点极点极点第第第第 465

197、465 页页页页二、拉氏逆变换的过程求求F(S)极点极点将将F(S)F(S)展开为部分分式展开为部分分式查变换表求出原函数查变换表求出原函数第第第第 466466 页页页页部分分式展开部分分式展开1.第一种情况：单阶实数极点第第第第 467467 页页页页单阶实极点举例单阶实极点举例(1)(1)求极点求极点(2)(2)展为部分分式展为部分分式(3)(3)逆变换逆变换求系数求系数第第第第 468468 页页页页假分式情况：假分式情况：作长除法作长除法第第第第 469469 页页页页第二种情况：极点为共轭复数第二种情况：极点为共轭复数共轭极点出现在共轭极点出现在第第第第 470470 页页页页求f

198、(t)=2|K1|e- tcos( t+ ) (t)第第第第 471471 页页页页共轭极点举例共轭极点举例第第第第 472472 页页页页另一种方法另一种方法F(s)具有共轭极点，不必用部分分式展开法具有共轭极点，不必用部分分式展开法求得求得第第第第 473473 页页页页第三种情况：有重根存在如何求如何求K2?第第第第 474474 页页页页K2的求法的求法第第第第 475475 页页页页逆变换第第第第 476476 页页页页一般情况一般情况求求K11，方法同第一种情况，方法同第一种情况：求其他系数，要用下式求其他系数，要用下式第第第第 477477 页页页页举例举例第第第第 478478

199、 页页页页第第第第 479479 页页页页5.4 复频域分析复频域分析一、微分方程的变换解一、微分方程的变换解描述描述n阶系统的微分方程的一般形式为阶系统的微分方程的一般形式为系统的初始状态为系统的初始状态为y(0-),y(1)(0-),，y(n-1)(0-)。思路思路：用拉普拉斯变换用拉普拉斯变换微分微分特性特性若若f (t)在在t=0时接入系统时接入系统，则，则f (j)(t)sjF(s)第第第第 480480 页页页页y(t)，yzi(t)，yzs(t)s域的域的代数方程代数方程第第第第 481481 页页页页举例举例例例1描述某描述某LTI系统的微分方程为系统的微分方程为y(t)+5y

200、(t)+6y(t)=2f (t)+6f (t)已知初始状态已知初始状态y(0-)=1，y(0-)=-1，激励，激励f (t)=5cost (t)，求系统的全响应求系统的全响应y(t)解：解：方程取拉氏变换，并整理得方程取拉氏变换，并整理得Yzi(s)Yzs(s)第第第第 482482 页页页页y(t)=2e2t (t)e3t (t)- -4e2t (t)+yzi(t)yzs (t)暂态分量暂态分量yt (t)稳态分量稳态分量ys (t)第第第第 483483 页页页页二、系统函数二、系统函数系统函数系统函数H(s)定义为定义为它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始它只与系统的结构、元件

201、参数有关，而与激励、初始状态无关。状态无关。yzs(t)=h(t)*f (t)H(s)=L h(t)Yzs(s)=L h(t)F(s)第第第第 484484 页页页页例例2已知当输入已知当输入f (t)=e-t (t)时，某时，某LTILTI因果系统的因果系统的yzs(t)=(3e-t- -4e-2t+e-3t) (t)解解h(t)=(4e-2t- -2e-3t) (t)微分方程微分方程为为y(t)+5y(t)+6y(t)=2f (t)+8f (t)s2Yzs(s)+5sYzs(s)+6Yzs(s)=2sF(s)+8F(s)取逆变换取逆变换yzs(t)+5yzs(t)+6yzs(t)=2f (

202、t)+8f (t)零状态响应零状态响应求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。第第第第 485485 页页页页三、系统的三、系统的s域框图域框图时域框图基本单元时域框图基本单元f(t)ay(t) = af(t)s域框图基本单元域框图基本单元(零状态零状态)s1F(s)Y(s)=s1F(s)aF(s)Y(s) = aF(s)f1(t)f2(t)y(t) = f1(t)+f2(t)+F1(s)Y(s) = F1(s)+F2(s)F2(s)+f(t)第第第第 486486 页页页页例例3如图框图，列出其微分方程如图框图，列出其微分方程X(s)s-1X(s)s

203、-2X(s)解解画出画出s域框图域框图,s-1s-1F(s)Y(s)X(s)=F(s)3s-1X(s)2s-2X(s)s域的代数方程域的代数方程Y(s)=X(s)+4s-2X(s)微分方程为微分方程为y(t)+3y(t)+2y(t)=f (t)+4f (t)再求再求h(t)?设左边加法器输出为设左边加法器输出为X(s)，如图，如图第第第第 487487 页页页页四、用拉氏变换法分析电路的步骤四、用拉氏变换法分析电路的步骤:列列s域方程（可从两方面入手）域方程（可从两方面入手）求解求解s域方程域方程。，得到时域解答得到时域解答。l 列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换；列时域微分方程，用微积分

204、性质求拉氏变换；l 直接按电路的直接按电路的s域模型建立代数方程。域模型建立代数方程。什么是电路的什么是电路的s s域模型？域模型？第第第第 488488 页页页页五、电路的五、电路的s域模型域模型对时域电路取拉氏变换对时域电路取拉氏变换 1、电阻元件的、电阻元件的s域模型域模型U(s)=RI(s)u(t)=Ri(t)电阻元件的s域模型第第第第 489489 页页页页2、电感元件的、电感元件的s域模型域模型U(s)=sLIL(s)LiL(0-)电感元件的电感元件的s域模型域模型第第第第 490490 页页页页3、电容元件的、电容元件的s域模型域模型I(s)=sCUC(s)CuC(0-)电容元件

205、的电容元件的s域模型域模型第第第第 491491 页页页页4、KCL、KVL方程方程求响应的步骤求响应的步骤画画0- -等效电路，求初始状态；等效电路，求初始状态；画画s域等效模型；域等效模型；列列s域方程（代数方程）；域方程（代数方程）；解解s域方程，求出响应的拉氏变换域方程，求出响应的拉氏变换U(s)或或I(s)；拉氏反变换求拉氏反变换求u(t)或或i(t)。第第第第 492492 页页页页例1(1)(2)(3) 列方程列方程解：解：如图电路，初始状态为如图电路，初始状态为0，t=0时开关时开关S闭合，求电流闭合，求电流i(t)。第第第第 493493 页页页页故故第第第第 494494

206、页页页页例例2如图所示电路，已知如图所示电路，已知uS(t)= (t)V，iS(t)=(t)，起始状态起始状态uC(0-)=1V，iL(0-)=2A，求电压，求电压u(t)。解解画出电路的画出电路的s域模型域模型Us(s)=1/s，Is(s)=1u(t)=et (t)3tet (t)V若求若求uzi(t)和和uzs(t)第第第第 495495 页页页页第六章第六章 离散系统的离散系统的z域分析域分析在连续系统中，为了避免解微分方程，我们通过在连续系统中，为了避免解微分方程，我们通过拉氏变换（数学方法）把微分方程转换为代数方程。拉氏变换（数学方法）把微分方程转换为代数方程。出于同样的目的，也可以

207、通过另外一种数学工具出于同样的目的，也可以通过另外一种数学工具-z变换，把差分方程转换为代数方程。变换，把差分方程转换为代数方程。6.1 6.1 z 变换变换 从拉普拉斯变换到从拉普拉斯变换到Z Z变换变换 Z Z变换定义变换定义 收敛域收敛域第第第第 496496 页页页页一、从拉普拉斯变换到一、从拉普拉斯变换到z变换变换对连续信号进行均匀冲激取样，就得到离散信号对连续信号进行均匀冲激取样，就得到离散信号:令令z=esT，上式将成为复变量，上式将成为复变量z的函数，用的函数，用F(z)表示；表示；f(kT)f(k)，得，得取双边拉普拉斯变换取双边拉普拉斯变换:第第第第 497497 页页页页

208、二、二、z变换定义变换定义称为序列称为序列f(k)的的双边双边z变换变换称为序列称为序列f( (k) )的的单单边边z z变换变换若若f(k)为为因果序列因果序列，则单边、双边，则单边、双边z变换相等，否则不变换相等，否则不等。今后在不致混淆的情况下，统称它们为等。今后在不致混淆的情况下，统称它们为z变换变换。F(z)=Zf(k),f(k)=Z-1F(z)；f(k)F(z)第第第第 498498 页页页页三、收敛域三、收敛域z变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该时，其时，其z变换才存在。上式称为变换才存在。上式称为绝对可和条件绝对可和条件，它是，它是

209、收敛域的定义：收敛域的定义：对于序列对于序列f(k)，满足，满足组成的集合称为组成的集合称为z变换变换F(z)的收敛域。的收敛域。幂幂级数收敛，即级数收敛，即序列序列f(k)的的z变换存在的变换存在的充分必要条件充分必要条件。所有所有z值值第第第第 499499 页页页页例例1求以下有限序列的求以下有限序列的z变换变换(1)f1(k)= (k)k=0(2)f2(k)=1,2,3,2,1解解（1）可见，其单边、双边可见，其单边、双边z变换相等，与变换相等，与z无关，无关，所所(2) f2(k)的双边的双边z变换为变换为F2(z)=z2+2z+3+2z-1+z-2收敛域收敛域为为0 z 0对有限序

210、列的对有限序列的z变换的收敛域一般为变换的收敛域一般为0 z ，以以其收敛域为其收敛域为整个整个z平面。平面。有时有时它在它在0或或/和和也收敛。也收敛。第第第第 500500 页页页页例例2求求因果序列因果序列解：解：根据定义根据定义的的z z变换变换可见：仅当可见：仅当 az-1 |a| z a 时，其时，其z变换存在。变换存在。第第第第 501501 页页页页例例3求求反因果序列反因果序列解解的的z z变换变换可见：可见： b-1z 1,即即 z b 时，其时，其z变换存在，变换存在，收敛域收敛域为为|z|z|b|第第第第 502502 页页页页例例4双边序列双边序列f(k)=fy(k)

211、+ff(k)=解解的的z z变换变换可见，其收敛域为可见，其收敛域为 a z b （显然要求（显然要求 a 2f2(k)=2k (k1)F2(z)=, z 0 (k)， z 1（单边因果）（单边因果）， z 1 (k1) (k)圆以外的区域。圆以外的区域。可以省略可以省略第第第第 504504 页页页页6.2 z z变换的性质变换的性质 线性性质线性性质 移位性质移位性质 Z Z域尺度变换域尺度变换 卷积定理卷积定理 Z Z域微分域微分 Z Z域积分域积分 K K域反转域反转 部分和部分和 初值定理初值定理 终值定理终值定理本节讨论本节讨论z变换的性质，若无特殊说明，它既适变换的性质，若无特殊

212、说明，它既适用于单边也适用于双边用于单边也适用于双边z变换。变换。第第第第 505505 页页页页一、线性性质一、线性性质若若f1(k)F1(z) 1 z 1,f2(k)F2(z) 2 z 12+第第第第 506506 页页页页二、移位特性二、移位特性单边、双边单边、双边Z变换差别大！变换差别大！例例1f(k)55f(k)(k)kkf(k+2)f(k+2)(k)kk3f(k-2)(k)f(k-2)kk3右移：右移：双：双：信息信息全全单：单：信息信息丢丢左移：左移：双：双：信息信息全全单：单：信息信息丢丢K:下限不同下限不同第第第第 507507 页页页页移移位位特特性性1.双边双边z变换的移

213、位：变换的移位：若若f(k)F(z), z 0，则，则f(k m)z mF(z), z 证明：证明：Zf(k+m)=2.单边单边z变换的移位：变换的移位：向右移位向右移位丢失丢失K0K ，且有整数，且有整数m0,则则f(k-1)z-1F(z)+f(-1)f(k-2)z-2F(z)+f(-2)+f(-1)z-1第第第第 508508 页页页页证明：证明：右移位特性右移位特性Zf(k-m)=上式第上式第2项：令项：令k-m=nZf(k-m)=即：即：f(k-2)(k)k1 2特例：特例：若若f(k)为因果序列，则为因果序列，则f(km)z-mF(z)把把k:0-分成分成2 2部分部分单边单边第第第

214、第 509509 页页页页证明：证明：左移位特性左移位特性丢失丢失K1解解=f(k)+(k)(k)f(km)z-mF(z) z zN N 11=(k+1)(k)单边单边z z变换变换f(k+1)zF(z)f(0)z, , z 1第第第第 511511 页页页页三、序列乘三、序列乘ak(z域尺度变换域尺度变换)则则akf(k)F(z/a),a z a 证明：证明：Zakf(k)=例例1：例例2：cos( k)(k)?cos( k)(k)=0.5(ej k+e-j k)(k)函数乘以指数序列函数乘以指数序列等同于等同于z z 域尺度展缩域尺度展缩推广：推广：a-kf(k)F(az), / a z

215、/ a ak(k)若若f(k)F(z), z ，且有常数且有常数a 0第第第第 512512 页页页页四、卷积定理四、卷积定理若若f1(k)F1(z) 1 z 1,f2(k)F2(z) 2 z 2则则f1(k)*f2(k)F1(z)F2(z)对单边z变换，要求f1(k)、f2(k)为因果序列其收敛域一般为其收敛域一般为F1(z)与与F2(z)收敛域的相交部分。收敛域的相交部分。例：例：求求f(k)=k(k)的的z变换变换F(z).解：解：f(k)=k(k)=(k)*(k-1)f f(k)(k)为因果序列，则为因果序列，则f(km)z-mF(z)第第第第 513513 页页页页复习：复习：z z

216、变换的性质变换的性质一、线性性质：一、线性性质：若若f1(k)F1(z) 1 z 1,f2(k)F2(z) 2 z 2对任意常数对任意常数a1、a2，则，则a1f1(k)+a2f2(k)a1F1(z)+a2F2(z)其其收敛域是收敛域是F1(z)与与F2(z)收敛域的公共部分。收敛域的公共部分。二、移位特性：二、移位特性：1. 1. 双边双边z z变换移位特性变换移位特性若若f(k)F(z), z 0，则，则 f(k m)z mF(z), z ，且有整数，且有整数m0,则则f(k-1)z-1F(z)+f(-1)f(k-2)z-2F(z)+f(-2)+f(-1)z-1特例：特例：若若f(k)为因

217、果序列，则为因果序列，则f(km)z-mF(z) f(k+1)zF(z)f(0)zf(k+2)z2F(z)f(0)z2f(1)z 3. 3. 单边单边z z变换右移位特性变换右移位特性思考：思考：若若f(k)为因果序列，则为因果序列，则f(k+m)zmF(z)？第第第第 515515 页页页页若若f(k)为因果序列，则为因果序列，则f(km)z-mF(z)若若f(k)为因果序列，则为因果序列，则f(k)f(k-2)f(k+2)第第第第 516516 页页页页三、三、序列乘序列乘ak(zak(z域尺度变换域尺度变换) ) z变换的性质变换的性质若若f(k)F(z), z ，且有常数且有常数a 0

218、则则akf(k)F(z/a),a z a 若若f1(k)F1(z) 1 z 1,f2(k)F2(z) 2 z 2则则f1(k)*f2(k)F1(z)F2(z)其收敛域一般为其收敛域一般为F1(z)与与F2(z)收敛域的相交部分。收敛域的相交部分。四、四、卷积定理卷积定理 第第第第 517517 页页页页五、序列乘五、序列乘k（z域微分域微分）若若f(k)F(z), z , z 证明：证明：则则第第第第 518518 页页页页序列乘序列乘k k（z z域微分域微分）证明：证明：重复重复结果结果第第第第 519519 页页页页序列乘序列乘k k（z z域微分域微分）若若f(k)F(z), z ,

219、z 例：例：求求f(k)=k(k)的的z变换变换F(z).解：解：则则第第第第 520520 页页页页六、序列除六、序列除(k+m)(k+m)(z z域积分域积分）若若f(k)F(z), z 0，则则, z 0，则，则例：例：求序列求序列的的z变换。变换。解解第第第第 521521 页页页页七、七、 k k域反转域反转 ( (仅适用双边仅适用双边z z变换）变换）若若f(k)F(z), z a求求ak (k1)的的z变换。变换。解解，|z|1/a则则f(k)F(z-1),1/ z 1/ ，|z|1/ak左移左移1（k+1)同乘同乘a双边双边z z变换变换 f(k m)z mF(z), z 第第

220、第第 522522 页页页页k域反转域反转(仅适用双边仅适用双边z变换）变换）若若f(-k)为为“反反”因果序列，则因果序列，则f(-k-m)zmF(z-1)第第第第 523523 页页页页八、部分和八、部分和若若f(k)F(z), z ,max( ,1) z max(|a|,1)则则第第第第 524524 页页页页九、初值定理和终值定理九、初值定理和终值定理初值定理适用于初值定理适用于右边序列右边序列，即适用于，即适用于kM(M为整数为整数)时时f(k)=0的序列。它用于由象函数直接求得序列的初值的序列。它用于由象函数直接求得序列的初值f(M),f(M+1),，而不必求得原序列。，而不必求得

221、原序列。初值定理初值定理：如果序列在如果序列在kM时，时，f(k)=0，它与象函数的关系为，它与象函数的关系为对因果序列对因果序列f(k)，f(k)F(z)， z 则序列的初值则序列的初值第第第第 525525 页页页页初初值值定定理理两边乘两边乘zM得得zMF(z)=f(M)+f(M+1)z-1+f(M+2)z-2+证明证明对因果序列对因果序列f(k)，第第第第 526526 页页页页终终值值定定理理终值定理适用于右边序列，用于由象函数直接求得序终值定理适用于右边序列，用于由象函数直接求得序列的终值，而不必求得原序列。列的终值，而不必求得原序列。如果序列在如果序列在kM时，时，f(k)=0，

222、它与象函数的关系为，它与象函数的关系为含单位圆含单位圆f(k)F(z)， z 且且01则序列的终值则序列的终值k时时f(k)收敛收敛第第第第 527527 页页页页终终值值定定理理证明证明求求f(k)差分的差分的z变换变换即：即：上式取上式取z11（在收敛域内）的极限：（在收敛域内）的极限：交换极限循序：交换极限循序：差分相加差分相加第第第第 528528 页页页页初（终）值定理初（终）值定理例题例题例例1.某因果序列的某因果序列的z变换为（变换为（a为实数）为实数）求求f(0)和和f()解：解：解：解：第第第第 529529 页页页页6.3 逆逆z z变换变换求逆求逆z变换的常用方法有：变换

223、的常用方法有：一般而言，双边序列一般而言，双边序列f(k)可分解为因果序列可分解为因果序列f1(k)和反和反因果序列因果序列f2(k)两部分，即两部分，即f(k)=f1(k)+f2(k)=f(k) (k)(k)+f(k) ( (k k1)1)相应地，其相应地，其z变换也分两部分变换也分两部分F(z)=F1(z)+F2(z)， |z| F2(z)=Zf(k) (k1)=，|z|2(2)|z|1(3)1|z|2其其系数系数就是相应的就是相应的序列值序列值。反因果序列的反因果序列的F F2 2(z)(z)是是z的幂级数；的幂级数；第第第第 531531 页页页页解解（1）由于由于F(z)的收敛域在半

224、径为的收敛域在半径为2的圆外，故的圆外，故f(k)为因果序列。用长除法将为因果序列。用长除法将F(z)展开为展开为z-1的幂级数：的幂级数：z2/ /(z2-z-2)=1+z-1+3z-2+5z-3+f(k)=1，1，3，5，k=0（2）由于由于F(z)的收敛域为的收敛域为 z 2；(2)(2) |z|1；(3)1|z|2F2(z)=Zf(k) (k1)=第第第第 532532 页页页页(3)F(z)的收敛域为的收敛域为1 z 1， z ) )和和F F2 2(z)(z)( z z 2(2) z 1(3)1 z 2，故，故f(k)为因果序列为因果序列(2)当当 z 1，故，故f(k)为反因果序

225、列为反因果序列(3)当当1 z 2，第第第第 535535 页页页页例例2：已知象函数已知象函数,1 z 1，后两，后两项满足项满足 z , f(k)=2 K1kcos( k+ ) (k)若若 z 1)，则逆变换为，则逆变换为若若 z ,对应原序列为对应原序列为以以 z 为例：为例：可这样可这样推导记忆：推导记忆：Zak (k)=两边对两边对a求导得求导得Zkak-1 (k)=再对再对a求导得求导得Zk(k-1)ak-2 (k)=当当r=2时，为时，为kak-1 (k)；当；当r=3时，为时，为第第第第 538538 页页页页例：例：已知象函数已知象函数， z 1的原函数。的原函数。解解f(k

226、)=k(k-1)+3k+1 (k)第第第第 539539 页页页页6.4 z z域分析域分析方程中，可求得零输入、零状态响应和全响应。方程中，可求得零输入、零状态响应和全响应。一、差分方程的变换解一、差分方程的变换解 设设f(k)在在k=0时接入时接入，系统初始状态为，系统初始状态为y(-1),y(-2),y(-n)。取单边取单边z变换得变换得单边单边z变换将系统的初始条件自然地变换将系统的初始条件自然地包含包含于其代数于其代数A(z)A(z)单边右移特性单边右移特性 B(z)B(z)-M(z)-M(z)第第第第 540540 页页页页单边右移特性单边右移特性单边右移特性单边右移特性 即：若即

227、：若f(k)F(z),|z| ，且有整数，且有整数m0,则则f(k-1)z-1F(z)+f(-1)f(k-2)z-2F(z)+f(-2)+f(-1)z-1特例：特例：若若f(k)为因果序列，则为因果序列，则f(km)z-mF(z)第第第第 541541 页页页页即：若即：若f(k)F(z),|z| ，且有整数，且有整数m0,则则f(k+1)zF(z)f(0)zf(k+2)z2F(z)f(0)z2f(1)z思考：思考：若若f(k)为因果序列，则为因果序列，则f(k+m)zmF(z)单边左移特性单边左移特性 单边左移特性单边左移特性第第第第 542542 页页页页令令称为系统函数称为系统函数h(k

228、)H(z)例例1：若某系统的差分方程为若某系统的差分方程为y(k)y(k1)2y(k2)=f(k)+2f(k2)已知已知y(1)=2，y(2)=1/2，f(k)= (k)。求系统的求系统的yzi(k)、yzs(k)、y(k)。A(z)A(z)-M(z)-M(z)B(z)B(z)第第第第 543543 页页页页Y(z)-z-1Y(z)+y(-1)-2z-2Y(z)+y(-2)+y(-1)z-1=F(z)+2z-2F(z)方程取单边方程取单边z变换变换解解y(k)y(k1)2y(k2)=f(k)+2f(k2)单边右移特性单边右移特性 因果信号因果信号第第第第 544544 页页页页例例2：某系统，

229、已知当输入某系统，已知当输入f(k)=(1/2)k (k)时，其零时，其零求系统的单位序列响应求系统的单位序列响应h(k)和描述系统的差分方程。和描述系统的差分方程。解解h(k)=3(1/2)k2(1/3)k (k)状态响应状态响应第第第第 545545 页页页页二、系统的二、系统的z域框图域框图另外两个基本单元：数乘器和加法器，另外两个基本单元：数乘器和加法器，k域和域和z域框图域框图相同。相同。由由k域框图域框图差分方程差分方程求解求解由由z域框图域框图代数方程代数方程1.k域、域、z域运算部件关系域运算部件关系 f(k)为因果序列为因果序列f(km)z-mF(z)第第第第 546546

230、页页页页例例3：某系统的某系统的k域框图如图，已知输入域框图如图，已知输入f(k)= (k)。(1)求系统的单位序列响应求系统的单位序列响应h(k)和零状态响应和零状态响应yf(k)。(2)若若y(-1)=0，y(-2)=0.5，求零输入响应，求零输入响应yx(k)解解:(1)画画z域框图域框图z-1z-1F(z)Y f(z)设中间变量设中间变量X(z)X(z)z-1X(z)z-2X(z)X(z)=3z-1X(z)2z-2X(z)+F(z)Yf(z)=X(z)3z-1X(z)=(13z-1)X(z)第第第第 547547 页页页页h(k)=2(2)k (k)当当f(k)= (k)时，时，F(z

231、)=z/(z-1)Yf(k)=2k+32(2)k (k)第第第第 548548 页页页页yzi(k)=Cx1+Cx2(2)k由由y(-1)=0，y(-2)=0.5，有，有Cx1+Cx2(2)-1=0Cx1+Cx2(2)-2=0.5Cx1=1,Cx2=-2yzi(k)=12(2)k(2)由由H(z)可知，差分方程的特征根为可知，差分方程的特征根为 1=1， 2=2第第第第 549549 页页页页三、利用三、利用z变换求卷积和变换求卷积和例：例：求求2k (k)*2-k (k)解：解：原式象函数为原式象函数为原式原式=1*2-k (k)？第第第第 550550 页页页页四、四、s域与域与z域的关系

232、域的关系z=esT式中式中T为取样周期为取样周期如果将如果将s表示为直角坐标形式表示为直角坐标形式s= +j ，将将z表示为表示为极坐标形式极坐标形式z= ej =e(+j)Tr=e T， = T由上式可看出：由上式可看出：s平面的平面的左半平面左半平面（ z平面的平面的单单位圆内部（位圆内部（ z = 0)-z平面的平面的单位圆外部单位圆外部（ z = 1)s平面的平面的j 轴轴（ =0)-z平面中的平面中的单位圆上单位圆上（ z = =1)s平面上平面上实轴实轴（ =0)-z平面的平面的正实轴正实轴（ =0)s平面上的平面上的原点原点（ =0， =0）-z平面上平面上z=1的点的点（ =1

233、， =0）第第第第 551551 页页页页五、离散系统的频率响应五、离散系统的频率响应由于由于z=esT，s= +j ，若离散系统，若离散系统H(z)收敛域含单收敛域含单位园，则位园，则若连续系统的若连续系统的H(s)收敛域含虚轴，则连续系统频率响应收敛域含虚轴，则连续系统频率响应离散系统频率响应定义为离散系统频率响应定义为存在。存在。令令 T= ，称为数字角频率。，称为数字角频率。式中式中 H(ej ) 称为称为幅频响应幅频响应,偶函数；偶函数； ( )称为称为相频响应相频响应,奇函数。奇函数。只有只有H(z)收敛域收敛域含单位园才存在含单位园才存在频率响应频率响应第第第第 552552 页

234、页页页设设LTI离散系统的单位序列响应为离散系统的单位序列响应为h(k),系统函数为系统函数为H(z)，其收敛域含单位园，则系统的零状态响应，其收敛域含单位园，则系统的零状态响应yzs(k)=h(k)*f(k)当当f(k)=ej k时时若输入若输入f(k)=Acos( k+ )则其正弦稳态响应为则其正弦稳态响应为ys(k)=0.5Aej ej kH(ej )+ + 0.5Ae-j e-j kH(e-j )=0.5Aej ej k|H(ej )|ej ( )+ + 0.5Ae-j e-j k|H(e-j )|e-j ( )=A|H(ej )|cos k+ + + ( )=0.5Aej kej +

235、 + 0.5Ae-j ke-j 第第第第 553553 页页页页由由z z变换定义、变换定义、DTFTDTFT定义，有定义，有例例图示为一横向数字滤波器。图示为一横向数字滤波器。（1）求滤波器的频率响应；）求滤波器的频率响应；（2）若输入信号为连续信号）若输入信号为连续信号f(t)=1+2cos( 0t)+3cos(2 0t)经取样得到的离散经取样得到的离散序列序列f(k)，已知信号频率，已知信号频率f0=100Hz，取样，取样fs=600Hz，求滤波器的稳态，求滤波器的稳态输出输出yss(k)第第第第 554554 页页页页解解（1）求系统函数）求系统函数Y(z)=F(z)+2z-1F(z)

236、+2z-2F(z)+z-3F(z)H(z)=1+2z-1+2z-2+z-3，|z|0令令 = TS，z取取ej H(ej )=1+2e-j +2e-j2 +e-j3 =e-j1.5 2cos(1.5 ) )+4cos(0.5 )(2)连续信号连续信号f(t)=1+2cos( 0t)+3cos(2 0t)经取样后的离散信号为经取样后的离散信号为(f0=100Hz,fs=600Hz)f(k)=f(kTs)=1+2cos(k 0Ts)+3cosk(2 0Ts)令令 1=0, 2= 0Ts= /3, 3=2 0Ts=2 /3所以所以H(ej 1)=6，H(ej 2)=3.46e-j /2,H(ej 3

237、)=0第第第第 555555 页页页页稳态响应为稳态响应为yss(t)=H(ej 1)+2 H(ej 2) cosk 0Ts+ ( 2)+3 H(ej 3) cos2k 0Ts+ ( 3)=6+6.92cos(k /3- /2)可见消除了输入序列的二次谐波。可见消除了输入序列的二次谐波。第第第第 556556 页页页页第七章第七章 系统函数系统函数7.1 7.1 系统函数与系统特性系统函数与系统特性 系统函数的零、极点分布图系统函数的零、极点分布图 系统函数系统函数H(H() )与系统的因果性与系统的因果性 系统函数与时域响应系统函数与时域响应 系统函数与频率响应系统函数与频率响应第第第第 5

238、57557 页页页页一、系统函数的零、极点分布图一、系统函数的零、极点分布图LTI系统的系统函数是复变量系统的系统函数是复变量s或或z的有理分式，即的有理分式，即A(.)=0的根的根p1，p2，pn称为系统函数称为系统函数H(.)的极点；的极点；B(.)=0的根的根 1， 2， m称为系统函数称为系统函数H(.)的零点。的零点。将零极点画在复平面上将零极点画在复平面上得得零、极点分布图零、极点分布图。例例第第第第 558558 页页页页例：例：已知已知H(s)的零、极点分布图如图示，并且的零、极点分布图如图示，并且h(0+)=2。解：解：由分布图可得由分布图可得根据初值定理，有根据初值定理，有

239、求：求：H(s)的表达式。的表达式。第第第第 559559 页页页页二、系统函数二、系统函数H H( () )与系统的因果性与系统的因果性因果系统因果系统是指：系统的零状态响应是指：系统的零状态响应yzs(.)不会出现于不会出现于f(.)连续因果系统连续因果系统的充分必要条件是：的充分必要条件是：冲激响应冲激响应h(t)=0,t0离散因果系统离散因果系统的充分必要条件是：的充分必要条件是：单位响应单位响应h(k)=0,k0之前的系统。之前的系统。第第第第 560560 页页页页三、系统函数三、系统函数H H( () )与时域响应与时域响应h h( () )冲激响应或单位序列响应冲激响应或单位序

240、列响应h h( () )的函数形式的函数形式: :由由H ()的的下面讨论下面讨论H H( () )极点的位置与其时域响应的函数形式极点的位置与其时域响应的函数形式:所讨论系统均为因果系统。所讨论系统均为因果系统。1连续因果系统连续因果系统H(s)按其按其极点极点在在s平面上的位置可分为平面上的位置可分为:在左半开平在左半开平面、虚轴和右半开平面面、虚轴和右半开平面三类。三类。（1）在左半平面）在左半平面(a)若系统函数有若系统函数有负实单极点负实单极点p=(0)，则，则A(s)中有因中有因子子(s+)，其所对应的响应函数为，其所对应的响应函数为Ke-t(t)极点确定。极点确定。第第第第 56

241、1561 页页页页(b)若有一对若有一对共轭复极点共轭复极点p12=-j，则，则A(s)中有因中有因子子(s+)2+2Ke-tcos(t+)(t)(c)若有若有r重极点，重极点，则则A(s)中有因子中有因子(s+)r或或(s+)2+2r，其响应为，其响应为Kitie-t(t)或或Kitie-tcos(t+)(t)(i=0,1,2,r-1)以上三种情况：以上三种情况：当当t时，响应均趋于时，响应均趋于0暂态分量。暂态分量。系统函数系统函数H H( () )与时域响应与时域响应h h( () )系统的稳定性如何？系统的稳定性如何？第第第第 562562 页页页页系统稳定性问题？系统稳定性问题？系统

242、的稳定性如何？系统的稳定性如何？系统稳定：系统稳定：若系统对所有的激励若系统对所有的激励|f(.)|Mf，其零状态，其零状态响应响应|yzs(.)|My(M为有限常数），则称该为有限常数），则称该系统稳定。系统稳定。（2）在虚轴上）在虚轴上(a)单极点单极点p=0或或p12=j，则响应为则响应为K(t)或或Kcos(t+)(t)稳态分量稳态分量(b)r重极点重极点，相应，相应A(s)中有中有sr或或(s2+2)r，其响应函数，其响应函数为为第第第第 563563 页页页页LTI连续因果系统的连续因果系统的h(t)的函数形式由的函数形式由H(s)的极的极H(s)在左半平面的极点所对应的响应函数为

243、衰减在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减H(s)在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数为稳在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数为稳H(s)在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其（3）在右半开平面在右半开平面：均为递增函数。均为递增函数。Kiti(t)或或Kiticos(t+)(t)(i=0,1,2,r-1)递增函数递增函数的。即当的。即当t时，响应均趋于时，响应均趋于0。系统稳定？系统稳定？态分量。态分量。系统稳定？系统稳定？H(s)在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其所对应的响应函数都是递增的。所对应的响应函数

244、都是递增的。即当即当t时，响应均趋于时，响应均趋于。系统稳定？系统稳定？极点确定。极点确定。结结论论第第第第 564564 页页页页复习：复习：s域与域与z域的关系域的关系z=esT式中式中T为取样周期为取样周期如果将如果将s表示为直角坐标形式表示为直角坐标形式s= +j ，将将z表示为表示为极坐标形式极坐标形式z= ej r=e T， = T由上式可看出：由上式可看出：s平面的左半平面（平面的左半平面（ z平面的单平面的单位圆内部（位圆内部（ z = 0)-z平面的单位圆外部平面的单位圆外部（ z = 1)s平面的平面的j 轴（轴（ =0)-z平面中的单位圆上平面中的单位圆上（ z = =1

245、)s平面上实轴（平面上实轴（ =0)-z平面的正实轴（平面的正实轴（ =0)s平面上的原点（平面上的原点（ =0， =0）-z平面上平面上z=1的点的点（ =1， =0）第第第第 565565 页页页页2离散因果系统离散因果系统H(z)按其极点在按其极点在z平面上的位置可分为平面上的位置可分为:在单位圆内、在单位圆内、在单位圆上和在单位圆外在单位圆上和在单位圆外三类。三类。根据根据z平面与平面与s平面的影射关系，得结论：平面的影射关系，得结论：H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列为衰减的。在单位圆内的极点所对应的响应序列为衰减的。即当即当k时，响应均趋于时，响应均趋于0。系统稳定性？系统稳

246、定性？H(z)在单位圆上的一阶极点所对应的响应函数为稳在单位圆上的一阶极点所对应的响应函数为稳态响应。态响应。系统稳定性？系统稳定性？ H(z)在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点，其在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点，其所对应的响应序列都是递增的。即当所对应的响应序列都是递增的。即当k时，响应均时，响应均趋于趋于。系统稳定性？系统稳定性？ 第第第第 566566 页页页页四、系统函数与频率响应四、系统函数与频率响应1 1、连续系统、连续系统 若系统函数若系统函数H(s)的收敛域包含虚轴（对于因果系统，的收敛域包含虚轴（对于因果系统，H(s)的极点均在左半平面）的极点均在左半平面），则系统存

247、在频率响应，则系统存在频率响应，频率响应与系统函数之间的关系为频率响应与系统函数之间的关系为H(j)=H(s)|s=j下面介绍两种常见的系统。下面介绍两种常见的系统。（1）全通函数）全通函数若系统的幅频响应若系统的幅频响应|H(j)|为常数，则称为为常数，则称为全通系统全通系统，其相应的其相应的H(s)称为称为全通函数全通函数。凡极点位于左半开平面，零点位于右半开平面，凡极点位于左半开平面，零点位于右半开平面，并且所有零点与极点对于虚轴为一一镜像对称的系统并且所有零点与极点对于虚轴为一一镜像对称的系统函数即为函数即为全通函数。全通函数。第第第第 567567 页页页页（2 2）最小相移函数）最

248、小相移函数对于具有相同幅频特性的系统函数而言，右半开对于具有相同幅频特性的系统函数而言，右半开平面没有零点的系统函数称为平面没有零点的系统函数称为最小相移函数。最小相移函数。2 2、离散系统、离散系统 若系统函数若系统函数H(z)的收敛域包含单位圆（的收敛域包含单位圆（对于因果对于因果系统，系统，H(z)的极点均在单位圆内的极点均在单位圆内），则系统存在频率，则系统存在频率响应，频率响应与系统函数之间的关系为响应，频率响应与系统函数之间的关系为H(ej)=H(z)|z=ej，式中式中=Ts，为角频率，为角频率，Ts为取样周期。为取样周期。第第第第 568568 页页页页举例例：例：某离散系统的

249、系统函数某离散系统的系统函数(1)若系统为因果系统，求单位序列响应若系统为因果系统，求单位序列响应h(k);(2)若系统为反因果系统，求单位序列响应若系统为反因果系统，求单位序列响应h(k);(3)若系统存在频率响应，求单位序列响应若系统存在频率响应，求单位序列响应h(k);解解(1)|z|3，h(k)=(-0.5)k+(3)k (k)(2)|z|0.5，h(k)=-(-0.5)k-(3)k (-k-1)(3)0.5|z|2，所以，所以h(k)=0.40.5k-(-2)k(k)，不稳定。，不稳定。(2)若为稳定系统，故收敛域为若为稳定系统，故收敛域为0.5|z|2，所以，所以h(k)=0.4(

250、0.5)k(k)+0.4(-2)k(-k-1)第第第第 573573 页页页页例例2：如图离散因果系统框图如图离散因果系统框图，为使系统稳，为使系统稳定，求常量定，求常量a的取值范围的取值范围解：解：设设加法器输出信号加法器输出信号X(z)X(z)z-1X(z)X(z)=F(z)+z-1aX(z)Y(z)=(2+z-1)X(z)=(2+z-1)/(1-az-1)F(z)H(z)=(2+z-1)/(1-az-1)=(2z+1)/(z-a)为使系统稳定，为使系统稳定，H(z)的极点必须在单位园内，的极点必须在单位园内，故故|a|1第第第第 574574 页页页页二、连续因果系统稳定性判断准则二、连

251、续因果系统稳定性判断准则罗斯罗斯-霍尔维兹准则霍尔维兹准则对因果系统，只要判断对因果系统，只要判断H(s)的极点，即的极点，即A(s)=0的根（称的根（称为系统特征根）是否都在左半平面上，即可判定系统是否为系统特征根）是否都在左半平面上，即可判定系统是否稳定，不必知道极点的确切值。稳定，不必知道极点的确切值。所有的根均在左半平面的多项式称为霍尔维兹多项式。所有的根均在左半平面的多项式称为霍尔维兹多项式。1 1、必要条件、必要条件简单方法简单方法 一实系数多项式一实系数多项式A(s)=ansn+a0=0的所有根位于的所有根位于左半开左半开平面的必要条件平面的必要条件是：是：（1）所有系数都必须非

252、）所有系数都必须非0，即不缺，即不缺项；（项；（2）系数的符号相同。）系数的符号相同。例例1A(s)=s3+4s2-3s+2符号相异，不稳定符号相异，不稳定例例2A(s)=3s3+s2+2，a1=0，不稳定，不稳定例例3A(s)=3s3+s2+2s+8需进一步判断，非充分条件。需进一步判断，非充分条件。第第第第 575575 页页页页2、罗斯列表、罗斯列表将多项式将多项式A(s)的系数排列为如下阵列的系数排列为如下阵列罗斯阵列罗斯阵列第第1行行anan-2an-4第第2行行an-1an-3an-5第第3行行cn-1cn-3cn-5它由第它由第1，2行，按下列规则计算得到：行，按下列规则计算得到

253、：第第4行由行由2，3行同样方法得到。一直排到第行同样方法得到。一直排到第n+1行。行。罗斯准则指出：罗斯准则指出：若若第一列元素具有相同的符号第一列元素具有相同的符号，则，则A(s)=0所有的根均在左半开平面。若第一列元素出现符所有的根均在左半开平面。若第一列元素出现符号改变，则符号改变的总次数就是右半平面根的个数。号改变，则符号改变的总次数就是右半平面根的个数。第第第第 576576 页页页页举例例例1A(s)=2s4+s3+12s2+8s+2罗斯阵列：罗斯阵列：212218028.502第第1列元素符号改变列元素符号改变2次，因此，有次，因此，有2个根位于右半平面。个根位于右半平面。注意

254、：在排罗斯阵列注意：在排罗斯阵列时，可能遇到一些特时，可能遇到一些特殊情况，如第一列的殊情况，如第一列的某个元素为某个元素为0或某一行或某一行元素全为元素全为0，这时可断，这时可断言：该多项式不是霍言：该多项式不是霍尔维兹多项式。尔维兹多项式。第第第第 577577 页页页页例例2已知某因果系统函数已知某因果系统函数为使系统稳定，为使系统稳定，k应满足什么条件？应满足什么条件？解解列罗斯阵列列罗斯阵列1331+k(8-k)/31+k所以，所以，1k0，不难得，不难得出，出，A(s)为霍尔维兹多项式的条件为：为霍尔维兹多项式的条件为：a10，a00第第第第 578578 页页页页三、离散因果系统

255、稳定性判断准则三、离散因果系统稳定性判断准则朱里准则朱里准则为判断离散因果系统的稳定性，要判断为判断离散因果系统的稳定性，要判断A(z)=0的的所有根的绝对值是否都小于所有根的绝对值是否都小于1。朱里提出一种列表的检。朱里提出一种列表的检验方法，称为验方法，称为朱里准则。朱里准则。朱里列表：朱里列表：第第1行行anan-1an-2a2a1a0第第2行行a0a1a2an-2an-1an第第3行行cn-1cn-2cn-3c1c0第第4行行c0c1c2cn-2cn-1第第5行行dn-2dn-3dn-4d0第第6行行d0d1d2dn-2第第2n-3行行r2r1r0第第第第 579579 页页页页第第3

256、行按下列规则计算：行按下列规则计算：一直到第一直到第2n-3行，该行有行，该行有3个元素。个元素。朱里准则朱里准则指出：指出：A(z)=0的所有根都在单位圆内的充分必要的条件是的所有根都在单位圆内的充分必要的条件是:(1)A(1)0(2)(-1)nA(-1)0(3)an|a0|cn-1|c0|dn-2|d0|r2|r0|即，奇数行，其第即，奇数行，其第1个元素必大于最后一个元素的绝对值。个元素必大于最后一个元素的绝对值。特例：特例：对二阶系统。对二阶系统。A(z)=a2z2+a1z+a0,易得易得A(1)0A(-1)0a2|a0|第第第第 580580 页页页页举例例例A(z)=4z4-4z3

257、+2z-1解解排朱里列表排朱里列表4-402-1-120-4415-140440-1415209-21056A(1)=10(-1)4A(-1)=5041，154，20956所以系统稳定。所以系统稳定。第第第第 581581 页页页页7.3 信号流图信号流图描述系统的功能描述系统的功能:信号流图就是用一些点和有向线段来描述系统，信号流图就是用一些点和有向线段来描述系统，信号流图首先由信号流图首先由Mason于于1953年提出的，应用非年提出的，应用非常广泛。常广泛。微分（差分）方程微分（差分）方程传输函数传输函数信号流图信号流图方框图方框图与框图本质是一样的，但更加简便。与框图本质是一样的，但更

258、加简便。第第第第 582582 页页页页一、信号流图一、信号流图1、定义：、定义：2、信号流图中常用术语、信号流图中常用术语(1)结点结点：表示系统中表示系统中的变量或信号的点，如起始的变量或信号的点，如起始F(z)。(2)支路和支路增益：支路和支路增益：连接两个结点之间的有向线段称为连接两个结点之间的有向线段称为支路支路。每条支路上的权值（支路增益）就是该两结点间的每条支路上的权值（支路增益）就是该两结点间的系统函数（转移函数系统函数（转移函数)。F(s)H(s)Y(s)即用一条有向线段表示一个子系统即用一条有向线段表示一个子系统信号流图是由结点和有向线段组成的几何图形。信号流图是由结点和有

259、向线段组成的几何图形。它可以简化系统的表示，并便于计算系统函数。它可以简化系统的表示，并便于计算系统函数。x3x2第第第第 583583 页页页页(3)源点与汇点，混合结点源点与汇点，混合结点仅有出支路的结点称为仅有出支路的结点称为源点源点（或输入结点或输入结点）如）如F(z)。仅有入支路的结点称为仅有入支路的结点称为汇点汇点（或输出结点或输出结点）如）如Y(z)。有入有出的结点为有入有出的结点为混合结点混合结点x3x2第第第第 584584 页页页页沿箭头方向从一个结点到其他结点的路径沿箭头方向从一个结点到其他结点的路径(多个支路）多个支路）称为称为通路通路。(4)通路、开通路、闭通路（回路

260、、环）、不接触回路、自回路：通路、开通路、闭通路（回路、环）、不接触回路、自回路：(5)前向通路：前向通路：从源点到汇点的开通路称为从源点到汇点的开通路称为前向通路。前向通路。(6)前向通路增益，回路增益：前向通路增益，回路增益：通路中各支路增益的乘积通路中各支路增益的乘积x3x2如果通路与任一结点相遇不多于一次，则称为如果通路与任一结点相遇不多于一次，则称为开通路开通路。闭合的路径称为闭合的路径称为闭通路（回路、环）闭通路（回路、环）。相互没有公共相互没有公共结点结点的回路，称为的回路，称为不接触回路不接触回路。只有一个结点和一条支路的回路称为只有一个结点和一条支路的回路称为自回路自回路。第

261、第第第 585585 页页页页3、信号流图的基本性质、信号流图的基本性质（2）当结点有多个输入时，该结点将所有输入支路）当结点有多个输入时，该结点将所有输入支路的信号相加，并将的信号相加，并将和和信号传输给所有与该结点相连的信号传输给所有与该结点相连的输出支路。输出支路。如：如：x4=ax1+bx2+cx3x5=dx4x6=ex4（3）混合结点可通过增加一个增益为）混合结点可通过增加一个增益为1的出支路而变的出支路而变为汇点。为汇点。x3x2支路的输出支路的输出=该支路的输入与支路增益的乘积。该支路的输入与支路增益的乘积。（1）信号只能沿支路箭头方向传输。）信号只能沿支路箭头方向传输。第第第第

262、 586586 页页页页4、方框图、方框图流图流图注意：加法器前引入增益为注意：加法器前引入增益为1的支路的支路例例第第第第 587587 页页页页5、流图简化的基本规则：、流图简化的基本规则：（1）支路串联：）支路串联：支路增益相乘。支路增益相乘。X2=H2X3=H2H1X1（2）支路并联：支路增益相加。）支路并联：支路增益相加。X2=H1X1+H2X1=(H1+H2)X1第第第第 588588 页页页页（3）混联：）混联：X4=H3X3=H3(H1X1+H2X2)=H1H3X1+H2H3X2第第第第 589589 页页页页（4）自环的消除：）自环的消除：X3=H1X1+H2X2+H3X3所

263、有来向支路除所有来向支路除1H3第第第第 590590 页页页页例：例：化简下列流图，求传输函数。化简下列流图，求传输函数。注意化简具体过程可能不同，但最注意化简具体过程可能不同，但最终结果一定相同。终结果一定相同。解：解：消消x3消消x2消消x4消自环消自环第第第第 591591 页页页页二、梅森公式二、梅森公式前方法求前方法求H复杂，利用复杂，利用Mason公式方便公式方便系统函数系统函数H(.)记为记为H。梅森公式梅森公式为：为：为信号流图的特征行列式为信号流图的特征行列式为所有不同回路的增益之和；为所有不同回路的增益之和；为所有两两不接触回路的增益乘积之和；为所有两两不接触回路的增益乘

264、积之和；为所有三三不接触回路的增益乘积之和；为所有三三不接触回路的增益乘积之和；i表示由源点到汇点的第表示由源点到汇点的第i条前向通路的标号条前向通路的标号Pi是由源点到汇点的第是由源点到汇点的第i条前向通路增益；条前向通路增益；i称为第称为第i条前向通路特征行列式的余因子条前向通路特征行列式的余因子即与第即与第i条向前通路不相接触的子图的特征行列式条向前通路不相接触的子图的特征行列式。x3x2第第第第 592592 页页页页例例求下列信号流图的系统函数求下列信号流图的系统函数解解(1)首先找出所有回路：首先找出所有回路：L1=H3GL2=2H1H2H3H5L3=H1H4H5(2)求特征行列式

265、求特征行列式=1-（H3G+2H1H2H3H5+H1H4H5）+H3GH1H4H5(4)求各前向通路的余因子求各前向通路的余因子：1=1，2=1-GH3(3)然后找出所有的前向通路：然后找出所有的前向通路：p1=2H1H2H3p2=H1H4框图也可用梅森公式求系统函数。框图也可用梅森公式求系统函数。第第第第 593593 页页页页7.4 系统的结构系统的结构Mason公式是由流图公式是由流图H(s)或或H(z)下面讨论下面讨论，由，由H(s)或或H(z)流图或方框图流图或方框图关注：关注：MasonMason公式公式i表示由源点到汇点的第表示由源点到汇点的第i条前向通路的标号条前向通路的标号P

266、i是由源点到汇点的第是由源点到汇点的第i条前向通路增益；条前向通路增益；i与第与第i条向前通路不相接触的子图的特征行列式条向前通路不相接触的子图的特征行列式。第第第第 594594 页页页页7.4 系统的结构系统的结构H H(s)(s)或或H H(z) (z) 流图或方框图流图或方框图一、直接实现一、直接实现-利用利用Mason公式来实现公式来实现例例分子中每项看成是一条前向通路。分子中每项看成是一条前向通路。i i=1=1分母中，除分母中，除1之外，其余每项看成一个回路。之外，其余每项看成一个回路。画流图时，所有前向通路与全部回路相接触。画流图时，所有前向通路与全部回路相接触。所有回路均相接

267、触。所有回路均相接触。第第第第 595595 页页页页二、级联实现二、级联实现将将H分解为若干简单（一阶或二阶子系统）的系统分解为若干简单（一阶或二阶子系统）的系统函数的乘积，即函数的乘积，即H=H1H2Hn一、二阶子系统函数一、二阶子系统函数三、并联实现三、并联实现将将H展开成部分分式，将每个分式分别进行模拟，然展开成部分分式，将每个分式分别进行模拟，然后将它们并联起来。后将它们并联起来。第第第第 596596 页页页页举例H(s)=第第第第 597597 页页页页第八章第八章 系统的状态变量分析系统的状态变量分析前面几章的分析方法称为前面几章的分析方法称为外部法外部法，它强调用系统，它强调

268、用系统的输入、输出之间的关系来描述系统的特性。的输入、输出之间的关系来描述系统的特性。其其特点特点：（1）适用于单输入单输出系统，对于多输入多输出系）适用于单输入单输出系统，对于多输入多输出系统，将增加复杂性；统，将增加复杂性；（2）只研究系统输出与输入的外部特性，而对系统的）只研究系统输出与输入的外部特性，而对系统的内部情况一无所知，也无法控制。内部情况一无所知，也无法控制。第第第第 598598 页页页页本章将介绍的本章将介绍的内部法内部法状态变量法状态变量法是用是用n个状态个状态变量的一阶微分或差分方程组（状态方程）来描述系变量的一阶微分或差分方程组（状态方程）来描述系统。统。优点优点有

269、：有：（1）提供系统的内部特性以便研究。）提供系统的内部特性以便研究。（2）便于分析多输入多输出系统；）便于分析多输入多输出系统；（3）一阶方程组便于计算机数值求解。并容易推广用）一阶方程组便于计算机数值求解。并容易推广用于时变系统和非线性系统。于时变系统和非线性系统。内部法内部法状态变量法状态变量法第第第第 599599 页页页页8.1状态变量与状态方程状态变量与状态方程一、状态与状态变量的概念一、状态与状态变量的概念从一个电路系统实例引入从一个电路系统实例引入以以u(t)和和iC(t)为输出为输出若还想了解内部三个若还想了解内部三个变量变量uC(t),iL1(t),iL2(t)的变化情况。

270、的变化情况。这时可列出方程这时可列出方程a第第第第 600600 页页页页这是由三个内部变量这是由三个内部变量uC(t)、iL1(t)和和iL2(t)构成构成的一阶微分方程组。的一阶微分方程组。若初始值若初始值uC(t0)、iL1(t0)和和iL2(t0)已知，则根据已知，则根据tt0时的给定激励时的给定激励uS1(t)和和uS2(t)就可惟一地确定在就可惟一地确定在tt0时时的解的解uC(t)、iL1(t)和和iL2(t)。第第第第 601601 页页页页系统的输出容易地由三系统的输出容易地由三个内部变量和激励求出：个内部变量和激励求出：一组代数方程一组代数方程状态与状态变量的定义状态与状态

271、变量的定义系统在某一时刻系统在某一时刻t0的的状态状态是指表示该系统所必需是指表示该系统所必需最最少的一组数值少的一组数值，已知这组数值和，已知这组数值和tt0时系统的激励，就时系统的激励，就能完全确定能完全确定tt0时系统的全部工作情况。时系统的全部工作情况。状态变量状态变量是描述状态随时间是描述状态随时间t 变化的一组变量，变化的一组变量，它们在某时刻的值就组成了系统在该时刻的它们在某时刻的值就组成了系统在该时刻的状态状态。第第第第 602602 页页页页对对n阶动态系统需有阶动态系统需有n个独立的状态变量，通常用个独立的状态变量，通常用x1(t)、x2(t)、xn(t)表示。表示。说明说

272、明：（1）系统中任何响应均可表示成状态变量及输入）系统中任何响应均可表示成状态变量及输入的线性组合；的线性组合；（2）状态变量应线性独立；）状态变量应线性独立；（3）状态变量的选择并不是唯一的）状态变量的选择并不是唯一的。在初始时刻的值称为在初始时刻的值称为初始状态初始状态。第第第第 603603 页页页页二、状态方程和输出方程二、状态方程和输出方程在选定状态变量的情况下在选定状态变量的情况下，用状态变量分析系统时，用状态变量分析系统时，一般分一般分两步两步进行：进行：（1）第一步第一步是根据系统的初始状态求出状态变量；是根据系统的初始状态求出状态变量；（2）第二步第二步是用这些状态变量来确定

273、初始时刻以后的是用这些状态变量来确定初始时刻以后的系统输出。系统输出。状态变量状态变量是通过求解由状态变量构成的一阶微分方是通过求解由状态变量构成的一阶微分方程组来得到，该程组来得到，该一阶微分方程组一阶微分方程组称为称为状态方程状态方程。状态方程状态方程描述了描述了状态变量的一阶导数状态变量的一阶导数与与状态变量和状态变量和激励激励之间的关系之间的关系。而描述而描述输出输出与状态变量和激励之与状态变量和激励之间关系的一组间关系的一组代数方程代数方程称为称为输出方程输出方程。通常将状态方程和输出方程总称为通常将状态方程和输出方程总称为动态方程或系统方程动态方程或系统方程。第第第第 604604

274、 页页页页动态方程的一般形式 n阶多输入阶多输入-多输出多输出LTI连续系统，如图连续系统，如图。其状态方程和输出方程为其状态方程和输出方程为第第第第 605605 页页页页矩阵形式矩阵形式状态方程状态方程输出方程输出方程其中其中A为为nn方阵，称为方阵，称为系统矩阵系统矩阵，B为为np矩阵，称为矩阵，称为控制矩阵控制矩阵，C为为qn矩阵，称为矩阵，称为输出矩阵输出矩阵，D为为qp矩阵矩阵对离散系统，类似有对离散系统，类似有状态方程状态方程输出方程输出方程状态变量分析的关键在于状态变量的选取以及状态方程的建立。状态变量分析的关键在于状态变量的选取以及状态方程的建立。第第第第 606606 页页

275、页页8.2 连续系统状态方程的建立连续系统状态方程的建立一、一、由电路图直接建立状态方程由电路图直接建立状态方程 首先选择状态变量首先选择状态变量。通常选通常选电容电压电容电压和和电电感电流感电流为为状态变量状态变量。必须保证所选状态变必须保证所选状态变量为量为独立独立的电容电压的电容电压和独立的电感电流。和独立的电感电流。四种非独立的电路结构四种非独立的电路结构第第第第 607607 页页页页状态方程的建立：状态方程的建立：根据电路列出各状态变量的一阶微分方程。根据电路列出各状态变量的一阶微分方程。由于由于为使方程中含有状态变量为使方程中含有状态变量uC的一阶导数的一阶导数，可对接有该可对接

276、有该电容的独立结点电容的独立结点列写列写KCL电流方程；电流方程；为使方程中含有状态变量为使方程中含有状态变量iL的一阶导数的一阶导数，可对含有该可对含有该电感的独立回路电感的独立回路列写列写KVL电压方程。电压方程。对列出的方程，只保留对列出的方程，只保留状态变量和输入激励状态变量和输入激励，设法，设法消消去去其它其它中间的变量中间的变量，经整理即可给出标准的状态方程。，经整理即可给出标准的状态方程。对于对于输出输出方程，通常可用方程，通常可用观察法观察法由电路直接列出。由电路直接列出。第第第第 608608 页页页页由电路图直接列写状态方程和输出方程的步骤：由电路图直接列写状态方程和输出方

277、程的步骤：（1）选电路中所有）选电路中所有独立的电容电压和电感电流作为独立的电容电压和电感电流作为状态变量状态变量；（2）对接有所选）对接有所选电容的独立结点电容的独立结点列出列出KCL电流方程，电流方程，对含有所选对含有所选电感的独立回路电感的独立回路列写列写KVL电压方程；电压方程；（3）若上一步所列的方程中含有除激励以外的非状）若上一步所列的方程中含有除激励以外的非状态变量，则利用适当的态变量，则利用适当的KCL、KVL方程将它们方程将它们消去消去，然后整理给出然后整理给出标准的状态方程标准的状态方程形式；形式；（4）用）用观察法观察法由电路或前面已推导出的一些关系直由电路或前面已推导出

278、的一些关系直接接列写输出方程列写输出方程，并整理成标准形式。，并整理成标准形式。第第第第 609609 页页页页例例：电路如图，以电阻电路如图，以电阻R1上的电压上的电压uR1和电阻和电阻R2上的电上的电流流iR2为输出，列写电路的状态方程和输出方程。为输出，列写电路的状态方程和输出方程。解解 选状态变量选状态变量x1(t)=iL(t),x2(t)=uC(t)L1(t)+R1x1(t)+x2(t)=uS1(t)aC2(t)+iR2(t)=x1(t)消去消去iR2(t),列右网孔列右网孔KVL方程：方程：R2iR2(t)+uS2(t)-x2(t)=0代入整理得代入整理得输出方程：输出方程：uR1

279、(t)=R1x1(t)第第第第 610610 页页页页二、由输入二、由输入-输出方程建立状态方程输出方程建立状态方程这里需要解决的问题是这里需要解决的问题是：已知系统的外部描述（已知系统的外部描述（输入输入-输出方程、系统函数、输出方程、系统函数、模拟框图、信号流图等模拟框图、信号流图等）；如何写出其）；如何写出其状态方程状态方程及输及输出方程。出方程。具体方法具体方法：（1）由系统的输入）由系统的输入-输出方程或系统函数，首先画出输出方程或系统函数，首先画出其其信号流图或框图信号流图或框图；（2）选）选一阶子系统一阶子系统(积分器）的输出积分器）的输出作为作为状态变量状态变量；（3）根据每个

280、一阶子系统的）根据每个一阶子系统的输入输出关系输入输出关系列状态方列状态方程；程；（4）在）在系统的输出端系统的输出端列输出方程。列输出方程。第第第第 611611 页页页页例例1某系统的微分方程为某系统的微分方程为y (t)+3y (t)+2y(t)=2 f (t)+8f(t)试求该系统的状态方程和输出方程。试求该系统的状态方程和输出方程。解：解：由微分方程不难写出其系统函数由微分方程不难写出其系统函数方法一方法一：画出直接形式的信号流图：画出直接形式的信号流图设状态变量设状态变量x1(t)、x2(t)x1x2由后一个积分器，有由后一个积分器，有由前一个积分器，有由前一个积分器，有系统输出端

281、，有系统输出端，有y(t)=8x1+2x2第第第第 612612 页页页页方法二：方法二：画出串联形式的信号流图画出串联形式的信号流图设状态变量设状态变量x1(t)、x2(t)x2x1设中间变量设中间变量 y1(t)y1系统输出端，有系统输出端，有y(t)=2x2第第第第 613613 页页页页方法三方法三画出并联形式的信号流图画出并联形式的信号流图f(t)y(t)设状态变量设状态变量x1(t)、x2(t)x1x2系统输出端，有系统输出端，有y(t)=6x1-4x2可见可见H(s)相同的系统，相同的系统，状态变量的选择并不状态变量的选择并不唯一。唯一。第第第第 614614 页页页页例例2某系

282、统框图如图，状态变量如图标示，试列某系统框图如图，状态变量如图标示，试列出其状态方程和输出方程。出其状态方程和输出方程。解解对三个一阶系统对三个一阶系统其中，其中，y2=f-x3输出方程输出方程y1(t)=x2y2(t)=-x3+f第第第第 615615 页页页页三、由状态方程列输入三、由状态方程列输入- -输出方程输出方程例例3已知某系统的动态已知某系统的动态方程如下，列出描述方程如下，列出描述y(t)与与f(t)之间的微分方程。之间的微分方程。解法一解法一由输出方程得由输出方程得 y(t)=x1(t)y (t)=x1 (t)=4x1(t)+x2(t)+f(t)y (t)=4x1 (t)+x

283、2 (t)+f (t)=44x1(t)+x2(t)+f (t)+3x1(t)+f (t)+f (t)=13x1(t)4x2(t)3f (t)+f (t)y +ay +by=(134a+b)x1+(4+a)x2+f (t)+(a3)f (t)a=4，b=3y +4y +3y=f (t)+f (t)第第第第 616616 页页页页解法二解法二对方程取拉氏变换，零状态。对方程取拉氏变换，零状态。第第第第 617617 页页页页y +4y +3y=f (t)+f (t)第第第第 618618 页页页页8.3 离散系统状态方程的建立离散系统状态方程的建立与连续系统类似，具体方法为：与连续系统类似，具体方

284、法为：（1）由系统的）由系统的输入输入-输出方程输出方程或或系统函数系统函数，首先首先画出其画出其信信号流图号流图或或框图；框图；（2）选）选一阶子系统一阶子系统(迟延器）的迟延器）的输出输出作为作为状态变量状态变量；（3）根据每个）根据每个一阶子系统一阶子系统的的输入输出关系输入输出关系列状态方程；列状态方程；（4）在）在系统的输出端系统的输出端列输出方程。列输出方程。第第第第 619619 页页页页例例1某离散系统的差分方程为某离散系统的差分方程为y(k)+2y(k1)y(k2)=f(k1)f(k2)列出其动态方程。列出其动态方程。解：解：不难写出系统函数不难写出系统函数画信号流图：画信号

285、流图：设状态变量设状态变量x1(k)，x2(k)：x1x2x1(k+1)=x2(k)：x2(k+1)x2(k+1)=x1(k)2x2(k)+f(k)：输出方程输出方程y(k)=x1(k)+x2(k)第第第第 620620 页页页页例例2某离散系统有两个输入某离散系统有两个输入f1(k)、f2(k)和两个输出和两个输出y1(k)、y2(k)，其信号流图如图示。列写该系统的状态方程和，其信号流图如图示。列写该系统的状态方程和输出方程。输出方程。解解p1(k)=2x1(k)+2x3(k)p2(k)=3p1(k)-x3(k)+f2(k)=6x1(k)+5x3(k)+f2(k)第第第第 621621 页

286、页页页第第第第 622622 页页页页二、由状态方程进行系统模拟二、由状态方程进行系统模拟例：例：某离散系统的状态方程和输出方程为某离散系统的状态方程和输出方程为 画出该系统的信号流图画出该系统的信号流图 第第第第 623623 页页页页结果第第第第 624624 页页页页8.4 连续系统状态方程的求解连续系统状态方程的求解状态方程和输出方程的一般形式为状态方程和输出方程的一般形式为用拉普拉斯变换法求解状态方程用拉普拉斯变换法求解状态方程sX(s)-x(0-)=A X(s)+BF(s)(sI -A )X(s)=x(0-)+BF(s)X(s)=(sI -A )-1x(0-)+(sI -A )-1

287、BF(s)=(s)x(0-)+(s)BF(s)式中式中(s)=(sI -A )-1常称为常称为预解矩阵预解矩阵。Y(s)=CX(s)+DF(s)Yzi(s)= C(s)x(0-)Yzs(s)=C(s)B +DF(s)H(s)=C(s)B +D(s)的极点就是的极点就是H(s)的极点的极点.即即|sI-A|=0的根。的根。=C(s)x(0-)+C(s)B +DF(s)第第第第 625625 页页页页例例1描述描述LTI因果系统的状态方程和输出方程为因果系统的状态方程和输出方程为解解X(s)=(s)x(0-)+BF(s)起始状态起始状态x1(0-)=3，x2(0-)=2，输入，输入f(t)=(t)

288、。求状态变。求状态变量和输出。并判断该系统是否稳定。量和输出。并判断该系统是否稳定。第第第第 626626 页页页页y(t)=11x(t)+f(t)=(t)+6e-2t(t)由于由于H(s)的极点均在左半平面，故该因果系统稳定。的极点均在左半平面，故该因果系统稳定。H(s)的极点就是的极点就是|sI-A|=0的根。的根。|sI-A|=(s+2)(s+3)第第第第 627627 页页页页8.5 离散系统状态方程的求解离散系统状态方程的求解状态方程和输出方程的一般形式为状态方程和输出方程的一般形式为用用z变换法求解状态方程变换法求解状态方程zX(z)-zx(0)=AX(z)+BF(z)Y(z)=C

289、X(z)+DF(z)X(z)=(zI-A)-1zx(0)+(zI-A)-1BF(z)设设(z)=(zI-A)-1zX(z)=(z)x(0)+z-1(z)BF(z)Y(z)=C(z)x(0)+Cz-1(z)B+DF(z)yzi(k)=Z-1C(z)x(0)，yzs(k)=Z -1(Cz-1(z)B+D)F(z)H(z)=Cz-1(z)B+D(z)的极点就是的极点就是H(z)的极点的极点.即即|zI-A|=0的根。的根。第第第第 628628 页页页页例例1描述描述LTI因果系统的状态方程和输出方程为因果系统的状态方程和输出方程为初始状态为初始状态为，激励，激励f(k)=(k)。求状态方程的解。求状态方程的解和系统的输出。和系统的输出。解解(z)=zI-A-1z=X(z)=(z)x(0)+z-1BF(z)=第第第第 629629 页页页页