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1、理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义1函数的单调性(1)单调函数的定义(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间思考探究1：如果一个函数在定义域的几个区间上都是增(减)函数，能不能说这个函数在其定义域上是增(减)函数？思考探究2：函数的单调性、最大(小)值反映在其函数图象上有什么特征？提示：函数单调性反映在图象上是上升或下降的，而最大(小)值反映在图象上为其最高(低)点的纵坐标的值2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意xI，都有_f(x)M；存在x0I
2、，使得f(x0)M.对于任意xI，都有_f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M.结论M为最大值M为最小值解析：依题意可得函数应在x(0，)上单调递减，故由选项可得A正确答案：A4(2010年广东省深圳市联考)定义在R上的函数f(x)满足：f(x)f(x4)，且x2时，f(x)递增，x1x24，(x12)(x22)0，则f(x1)f(x2)的值是()A恒为正数 B恒为负数C等于0 D正、负都有可能解析：解法一：由(x12)(x22)0，不妨设x1x2，则x12x2，又x24x1,2x24x1，f(x1)f(x2)2时f(x)递增，则f(x)在R上单调递增，由x1x24得x14x2，故f(x1)
3、f(4x2)，由已知得f(4x)f(x)，f(x1)f(x2)f(4x2)f(x2)f(x2)f(x2)0.答案：B考点一函数单调性的判断与证明用定义证明函数单调性的一般步骤1取值：即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x10时，f(x)1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)5，解不等式f(3m2m2)3.【分析】问题(1)是抽象函数单调性的证明，所以要用单调性的定义问题(2)将函数不等式中抽象的函数符号“f”运用单调性“去掉”，为此需将右边常数3看成某个变量的函数值【解】(1)证明：设x1，x2R，且x10，f(x2x1)1.f(x2)f(x1)f(x2x1)x1)f(x
4、1)f(x2x1)f(x1)1f(x1)f(x2x1)10.f(x2)f(x1)即f(x)是R上的增函数函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有求单调区间，判断函数的单调性，利用函数单调性比较数的大小辽宁卷、陕西卷都涉及到利用函数单调性解决数的大小问题(2010年广东高考)已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)kf(x2)，其中常数k为负数，且f(x)在区间0,2上有表达式f(x)x(x2)(1)求f(1)，f(2.5)的值；(2)写出f(x)在3,3上的表达式，并讨论函数f(x)在3,3上的单调性；(3)求出f(x)在3,3上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值答案:B
