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1、11.3.1 11.3.1 多边形多边形 多边形及其内角和多边形及其内角和 1问题问题1 1：你能从这些图形中找出几个由一些：你能从这些图形中找出几个由一些线段围成的平面图形吗？线段围成的平面图形吗？2三角形三角形 四边形四边形 六边形六边形 3 七边形七边形 六边形六边形4 类比三角形的定义，你能说出什么叫类比三角形的定义，你能说出什么叫四边形、五边形、多边形吗？四边形、五边形、多边形吗？ 由不在同一直线上的由不在同一直线上的 线线段首尾顺次相接组成的图形叫做段首尾顺次相接组成的图形叫做 边形边形. .五五四条四条问题问题2 2：思考：关于多边形的定义是否正确？思考：关于多边形的定义是否正确
2、？5问题问题3 3：你能类比三角形的组成要你能类比三角形的组成要素，说一说下面图形各部分的名称素，说一说下面图形各部分的名称是什么？是什么？边边内角内角顶点顶点外角外角对角线对角线6练习练习：画出五边形：画出五边形ABCDE的所有对角线的所有对角线.ABCED 连接多边形连接多边形不相邻不相邻的的两个顶点两个顶点的的线段线段叫做多边形的对角线叫做多边形的对角线. . 7 问题问题4 4：我们现在研究的是如图我们现在研究的是如图1 1所所示的多边形，是凸多边形；示的多边形，是凸多边形； 如图如图2 2所示所示的多边形，是凹多边形，但不在现在研的多边形，是凹多边形，但不在现在研究的范围中究的范围中
3、. .比较这两种多边形的区别是比较这两种多边形的区别是什么？什么？ 图图 2 图图 18问题问题5 5：观察正三角形、正方形的特观察正三角形、正方形的特征，征， 猜想满足什么条件的多边形是猜想满足什么条件的多边形是正多边形？正多边形？定义：定义： 如果多边形的如果多边形的各边都相等各边都相等，各各内角也都相等内角也都相等，那么就称它为正多边形，那么就称它为正多边形. .9 例例 你知道三角形、四边形、五边形、六边你知道三角形、四边形、五边形、六边形等多边形从一个顶点出发所画的对角线的条形等多边形从一个顶点出发所画的对角线的条数吗？试着画一画，并填下表：数吗？试着画一画，并填下表： n3多边形的
4、边数多边形的边数 3 3 4 45 56 6 n从一个顶点出发所有从一个顶点出发所有的对角线（条）的对角线（条） 从一个顶点出发分成从一个顶点出发分成三角形（个）三角形（个） 对角线总数（条）对角线总数（条）01231234n2025910练习测试练习测试 2 2、（、（1 1）一个多边形自一个顶点出发的）一个多边形自一个顶点出发的对角线把它分成对角线把它分成6 6个三角形，则它是边个三角形，则它是边形形. . 1 1、 课本课本81 81页练习第页练习第1 1、2 2题题. . （2 2）下列图形哪些是凸多边形，哪些）下列图形哪些是凸多边形，哪些不是？不是？11今天的收获今天的收获 2 2、
5、多边形为什么研究对角线？、多边形为什么研究对角线？ 你对多边形的对角线有哪些认识？你对多边形的对角线有哪些认识？ 1 1、 谈谈本节课你学会哪些知识？谈谈本节课你学会哪些知识？ 3 3、你还有哪些疑问和困惑？、你还有哪些疑问和困惑？12第第1 1题题 作业：作业：13 问题问题1 1 我们学校要建我们学校要建一个边长都是一个边长都是6 6 米，各角都相米，各角都相等的十边形的等的十边形的大花坛，请同大花坛，请同学们一起来学们一起来 设计图纸设计图纸14 【问题【问题2 2】 三角形的内角和等于三角形的内角和等于180180，正方，正方形的内角和等于形的内角和等于360360，那么任意四边形的内
6、角，那么任意四边形的内角和是否也等于和是否也等于360360呢？证明你的结论呢？证明你的结论ABCD结论：四边形的内角和等于结论：四边形的内角和等于360360. . 15多边形的边数多边形的边数 3 3 4 4 5 5 6 6 n从一个顶点出发引从一个顶点出发引对角线而分成的三对角线而分成的三角形个数角形个数 多边形的内角和多边形的内角和 【问题【问题3 3】类比四边形内角和的推导方法，你能求类比四边形内角和的推导方法，你能求五边形、六边形五边形、六边形n边形的内角和各是多少吗？边形的内角和各是多少吗？1 2 3 4n21800360054007200(n2)180016总结：总结：探索多边
7、形的内角和关键是探索多边形的内角和关键是 把多边形分成几个三角形，再利用三把多边形分成几个三角形，再利用三角形的内角和求得角形的内角和求得.n180o360o（n1）180o180o思考：思考：把一个多边形分成几个三角形，把一个多边形分成几个三角形， 还有其他分法吗？还有其他分法吗？ 17例例1 1 如果一个四边形的一组对角互补，那么如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？另一组对角有什么关系？ABCD解：四边形解：四边形ABCDABCD中，中， A A+C C=180=180. .A A+B B+C C+D D=360=360，B B+D D=360=360(A A+C C
8、) =360) =360180180=180=180. .结论：如果四边形的一组对角互结论：如果四边形的一组对角互 补，那么另一组对角也互补补，那么另一组对角也互补. .18例例2 2 如图，在六边形的每个顶点处各取一如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和六边形的外角和等于多少？和六边形的外角和等于多少？123456ABCDEF分析：分析：（1 1）回忆三角形的外角和的求法；）回忆三角形的外角和的求法；（2 2）任何一个外角同与它相邻的）任何一个外角同与它相邻的内角有什么关系？内角有什么关系？（3 3）六边形的）六边形的6 6
9、个外角加上与它们相邻的内角，所得个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少？总和是多少？（4 4）上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关）上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？系？19例例3 3 三角形、六边形的外角和都是三角形、六边形的外角和都是360360，那么，那么n n边形的外角和（边形的外角和（n是不小于是不小于3 3的任意整数）还的任意整数）还是是360360吗？若是，证明你的结论；若不是，吗？若是，证明你的结论；若不是，请说明你的理由请说明你的理由结论：多边形的外角和等于结论：多边形的外角和等于360360归纳：多边形的外角和的推导方法归纳：多边形的外角和的推导方法 多边
10、形的内角和多边形的内角和+ +外角和外角和=边数边数18018020练习：1 1练习练习1 1、2 2、3 3题题. .2 2一个多边形的内角和是外角和的一个多边形的内角和是外角和的3 3倍，它倍，它是几边形？是几边形？解：设这个多边形的边数为解：设这个多边形的边数为n， 根据题意，得（根据题意，得（n2 2）180=3180=3360.360.解这个方程，得解这个方程，得n= 8 . = 8 . 答：这个多边形是八边形答：这个多边形是八边形. .感悟：方程思想解决几何问题的优越性感悟：方程思想解决几何问题的优越性21（1 1）十二边形的内角和是）十二边形的内角和是 ，外角和，外角和是是 （2
11、 2）一个多边形的每个内角都是）一个多边形的每个内角都是160160，这是几边形？这是几边形？ 18001800o o360360o o解：设这个多边形的边数为解：设这个多边形的边数为n， 根据题意，得根据题意，得（n2）180=160n.解这个方程，得解这个方程，得 n = 18. = 18. 答：这个多边形是十八边形答：这个多边形是十八边形. .思考：还有其他解法吗？比较两种解法，思考：还有其他解法吗？比较两种解法， 哪个更好？哪个更好？3达标测评达标测评22今天的收获今天的收获 1 1、n边形的内角和等于边形的内角和等于（n2 2）180180. . 3 3、利用类比归纳、转化的学习方法
12、，可以、利用类比归纳、转化的学习方法，可以把多边形问题转化为三角形问题来解决把多边形问题转化为三角形问题来解决; ; 外角外角问题转化为内角来解决问题转化为内角来解决. . 4 4、方程的数学思想在几何中有重要的作用、方程的数学思想在几何中有重要的作用. . 【问题【问题4 4】本节课你学会哪些知识？学会了哪些解决问本节课你学会哪些知识？学会了哪些解决问题的方法？你还有哪些疑问？题的方法？你还有哪些疑问？ 2 2、n边形的外角和等于边形的外角和等于360360. . 23第第2 2、3 3、4 4、5 5、6 6题题. .已知一个多边形除了一个内已知一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和是角外，其余各内角的和是27502750，求这个多边形的，求这个多边形的边数边数. .作作业业24
