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1、二、二、 导数应用导数应用洛比塔法则、泰洛比塔法则、泰勒公式、求极大极小、求最大最小、勒公式、求极大极小、求最大最小、函数作图函数作图习题课一、一、 微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用中值定理及导数的应用 第三三章 拉格朗日中值定理 一、一、 微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用1. 微分中值定理及其相互关系微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 柯西中值定理 泰勒公式 2. 微分中值定理的主要应用微分中值定理的主要应用(1) 研究函数或导数的性态(2) 证明恒等式或不等式(3) 证明有关中值问题的结论3. 有关中值问题的解题方法有关中值问题的解题方法利用逆向思维逆向思维 , 设辅助函数
2、 .一般解题方法:(1)证明含一个中值的等式或根的存在 ,(2) 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 ,(3) 若结论中含两个或两个以上的中值 ,或拉格朗日中值定理，或拉格朗日中值定理，可用原函数法找辅助函数 .多用罗尔定理罗尔定理,可考虑用柯西中值定理柯西中值定理 .必须多次应用多次应用中值定理中值定理 .(4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式泰勒公式 ,(5) 若结论为不等式 , 要注意适当适当放大放大或缩小缩小的技巧.有时也可考虑对导数用中值定理对导数用中值定理 .例例1.设函数在内可导, 且证明在内有界. 证证: 取点再取异于的点对为端点的区间上用拉氏中值定理, 得(定数
3、)可见对任意即得所证 .例例2.设在内可导, 且证明至少存在一点使上连续, 在证证: 问题转化为证设辅助函数显然在 0 , 1 上满足罗尔定理条件, 故至使即有少存在一点例例3.设函数在上二阶可导,且证明证证:由泰勒公式得两式相减得二、二、 导数应用导数应用1. 研究函数的性态:增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 , 曲率2. 解决最值问题 目标函数的建立与简化 最值的判别问题3. 其他应用 :求不定式极限 ;几何应用 ;相关变化率;证明不等式 ;研究方程实根等.求下列极限 :解解:例例4令则原式 =解解:(用洛必达法则)(继续用洛必达法则)解解:原式 =例例5.讨论在上的单调性.解解:令利用拉氏中值定理,故当 x 0 时,从而在上单调增.得例例6.证明证证: 设, 则故时, 单调增加 , 从而即例例7.求解法解法1 利用中值定理求极限原式解法解法2 利用泰勒公式令则原式例例8 8解解列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点:不存在不存在拐点拐点极值点极值点间间断断点点作图作图例例9.证证: 只要证利用一阶泰勒公式, 得故原不等式成立.
