要点梳理要点梳理1.1.三种增长型函数模型的图象与性质三种增长型函数模型的图象与性质§§2.8 2.8 函数模型及其应用函数模型及其应用 y y= =a ax x( (a a>1)>1)y y=log=loga ax x( (a a>1)>1)y y= =x xn n( (n n>0)>0)在在(0,+∞)(0,+∞)上上的增减性的增减性______________________________________________增长速度增长速度________________________________相对平稳相对平稳增函数增函数增函数增函数增函数增函数越来越快越来越快越来越慢越来越慢函函 数数性性 质质吱镀川徒巷另榴缕胞试举绦肖叹朽慌浸任父潍亢虱平阻与疹睫怕巨铅旧锚要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 2.2.三种增长型函数之间增长速度的比较三种增长型函数之间增长速度的比较 (1) (1)指数函数指数函数y y= =a ax x ( (a a>1)>1)与幂函数与幂函数y y= =x xn n ( (n n>0)>0) 在区间在区间(0,+∞)(0,+∞)，无论，无论n n比比a a大多少，尽管在大多少，尽管在x x的一定的一定 范围内范围内a ax x会小于会小于x xn n，但由于，但由于y y= =a ax x的增长速度的增长速度__________y y= =x xn n 的增长速度的增长速度, ,因而总存在一个因而总存在一个x x0 0, ,当当x x> >x x0 0时有时有_______._______.图象的变化图象的变化随随x x增大逐渐增大逐渐表现为与表现为与____________平行平行随随x x增大逐增大逐渐表现为与渐表现为与____________平行平行随随n n值变值变化而不同化而不同y y轴轴x x轴轴快于快于a ax x> >x xn n痞檬过烽冈定肇昭馋粒退侧潞嫡殊旺现葡性酋前汝盟黎抬八资惊办做衍逞要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 （（2 2）对数函数）对数函数y y=log=loga ax x ( (a a>1)>1)与幂函数与幂函数y y= =x xn n ( (n n>0)>0) 对数函数对数函数y y=log=loga ax x ( (a a>1)>1)的增长速度，不论的增长速度，不论a a与与n n值的值的 大小如何总会大小如何总会____________y y= =x xn n的增长速度的增长速度, ,因而在定义域因而在定义域 内总存在一个实数内总存在一个实数x x0 0, ,使使x x> >x x0 0时有时有____________.____________. 由由(1)(2)(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函可以看出三种增长型的函数尽管均为增函 数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上, , 因此在（因此在（0,+∞)0,+∞)上，总会存在一个上，总会存在一个x x0 0，使，使x x> >x x0 0时有时有 _____________. _____________. 慢于慢于logloga ax x< >x xn n>log>loga ax x写济笆诵接镭押贰涯掩私纸竿谩欺阐勃坠郸秃拘刺遍哄赛赐衔严湖墩蔗珍要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 3.3.常用的几类函数模型常用的几类函数模型 (1) (1)一次函数模型一次函数模型 f f( (x x)=)=kxkx+ +b b ( (k k、、b b为常数，为常数，k k≠0);≠0); (2) (2)反比例函数模型反比例函数模型 ( (k k、、b b为常数为常数, ,k k≠0);≠0); (3) (3)二次函数模型二次函数模型 f f( (x x)=)=axax2 2+ +bxbx+ +c c ( (a a、、b b、、c c为常数，为常数， a a≠0)≠0)；； (4) (4)指数函数模型指数函数模型 f f( (x x)=)=a a··b bx x+ +c c （（a a、、b b、、c c为常数，为常数， a a≠0,≠0,b b>0,>0,b b≠1≠1）；）； (5) (5)对数函数模型对数函数模型 f f（（x x））= =m mlogloga ax x+ +n n（（m m、、n n、、a a为常为常 数，数，m m ≠0,0, a a>0,>0,a a≠1≠1））; ; (6) (6)幂函数模型幂函数模型 f f( (x x)=)=axaxn n+ +b b( (a a、、b b、、n n为常数，为常数，a a≠0,≠0, n n≠1). ≠1). 锰逆祸谊芍共肺菏歌控淖敦何爱颖监婆自寡零蠢械馆奸弯讲悸铬圾马愉油要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 1.1.求解函数应用题的一般方法求解函数应用题的一般方法““数学建模数学建模””是解决数学应用题的重要方法是解决数学应用题的重要方法, ,解应用解应用 题的一般程序是：题的一般程序是： (1) (1)审题审题: :弄清题意弄清题意, ,分清条件和结论分清条件和结论, ,理顺数量关系理顺数量关系; ; (2) (2)建模建模: :将文字语言转化成数学语言将文字语言转化成数学语言, ,用数学知识建用数学知识建 立相应的数学模型；立相应的数学模型； (3) (3)求模求模: :求解数学模型求解数学模型, ,得到数学结论；得到数学结论； (4) (4)还原还原: :将用数学方法得到的结论还原为实际问题将用数学方法得到的结论还原为实际问题 的意义的意义. . 方法与技巧方法与技巧思想方法思想方法 感悟提高感悟提高换冤擂聚穿豫寸券峭扮廖矿竟却瑟耍炬饵面夷骨卒辗尺乳汕闰巾樱摊卑住要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 4.4.求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意 图表示为图表示为5.5.实际问题中函数的定义域要特别注意实际问题中函数的定义域要特别注意, ,另外，结果另外，结果要回到实际问题中写答案要回到实际问题中写答案. . 怪入泥丰洁冒矽杰豆啦旬镜法痪槽衅谅粥毙害胚役鹰盗秋绍笺色菲热矿摄要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 基础自测基础自测1.1.我国为了加强对烟酒生产的宏观调控，除了应征税我国为了加强对烟酒生产的宏观调控，除了应征税 外还要征收附加税，已知某种酒每瓶售价为外还要征收附加税，已知某种酒每瓶售价为7070元，元， 不收附加税时不收附加税时, ,每年大约销售每年大约销售100100万瓶万瓶, ,若每销售若每销售100100 元国家要征附加税为元国家要征附加税为x x元（税率元（税率x x% %））, ,则每年销售量则每年销售量 减少减少1010x x万瓶，为了要使每年在此项经营中收取的附万瓶，为了要使每年在此项经营中收取的附 加税额不少于加税额不少于112112万元，则万元，则x x的最小值为的最小值为 （（ ）） A.2 B.6 C.8 D.10 A.2 B.6 C.8 D.10 解析解析 依题意依题意 解得解得2≤2≤x x≤8,≤8,则则x x的最小值为的最小值为2. 2. A舀颓粥冗桌拾荤浆争偷殖虫舔密羽兽碑坞兼况过生蓖咽蚕盟登瓦坐双伏委要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 2.2.从从19991999年年1111月月1 1日起日起, ,全国储蓄存款征收利息税全国储蓄存款征收利息税, ,利利 息税的税率为息税的税率为20%20%，由各银行储蓄点代扣代收，某人，由各银行储蓄点代扣代收，某人 2000 2000年年6 6月月1 1日存入若干万元人民币，年利率为日存入若干万元人民币，年利率为2%2%，， 到到20012001年年6 6月月1 1日取款时被银行扣除利息税日取款时被银行扣除利息税138.64138.64元元, , 则该存款人的本金介于则该存款人的本金介于 （（ ）） A.3 A.3万万~ ~4 4万元万元 B.4 B.4万万~ ~5 5万元万元 C.5 C.5万万~ ~6 6万元万元 D.2 D.2万万~ ~3 3万元万元 解析解析 设存入的本金为设存入的本金为x x，， 则则x x··2%2%··20%=138.6420%=138.64，，A恕淡籽写祁座骗硕保婆镜嫩阔欣惫坦肝氦结卵嘶涌伶瘩惶舶滥贤难舔屯督要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 3.3.在一定范围内，某种产品的购买量在一定范围内，某种产品的购买量y y 吨与单价吨与单价x x元之元之 间满足一次函数关系间满足一次函数关系, ,如果购买如果购买1 000 1 000 吨吨, ,每吨为每吨为800800 元；购买元；购买2 000 2 000 吨吨, ,每吨为每吨为700700元元; ;一客户购买一客户购买400 400 吨吨, , 单价应该是单价应该是 （（ ）） A.820 A.820元元 B.840 B.840元元 C.860 C.860元元 D.880 D.880元元 解析解析 依题意，可设依题意，可设y y与与x x的函数关系式为的函数关系式为 y y= =kxkx+ +b b, ,由由x x=800,=800,y y=1 000=1 000及及x x=700,=700,y y=2 000,=2 000, 可得可得k k=-10,=-10,b b=9 000,=9 000,即即y y=-10=-10x x+9 000,+9 000, 将将y y=400=400代入得代入得x x=860. =860. C翠惜肄恿匹台奖粪谤弊吩绎穗蓬仲蔚簇搞证宗棋攘算悼渐译磷凑寅鲸处葵要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 4.4.某物体一天中的温度某物体一天中的温度T T( (单位单位:℃):℃)是时间是时间t t( (单位单位: :h h) ) 的函数的函数: :T T( (t t)=)=t t3 3-3-3t t+60,+60,t t=0=0表示中午表示中午12∶0012∶00，其后，其后t t 取正值取正值, ,则下午则下午3 3时温度为时温度为 （（ ）） A.8℃ B.78℃ C.112℃ D.18℃ A.8℃ B.78℃ C.112℃ D.18℃ 解析解析 由题意，下午由题意，下午3 3时，时，t t=3=3，，∴∴T T(3)=78℃. (3)=78℃. 晃宙治帖制疤昭洱实啮忘弦棉摇术叛捷渤推攫仅绚禽攘吓刘仆菇耸航摄沪要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 5.5.为了保证信息安全，传输必须使用加密方式为了保证信息安全，传输必须使用加密方式, ,有一有一 种方式其加密、解密原理如下：种方式其加密、解密原理如下： 明文明文 密文密文 密文密文 明文明文 已知加密为已知加密为y y= =a ax x-2 -2 （（x x为明文为明文, ,y y为密文）为密文）, ,如果明文如果明文 ““3 3””通过加密后得到密文为通过加密后得到密文为““6 6””，再发送，接受，再发送，接受 方通过解密得到明文方通过解密得到明文““3 3””，若接受方接到密文为，若接受方接到密文为 ““1414””，则原发的明文是，则原发的明文是______.______. 解析解析 依题意依题意y y= =a ax x-2-2中，当中，当x x=3=3时，时，y y=6,=6,故故6=6=a a3 3-2-2，， 解得解得a a=2.=2.所以加密为所以加密为y y=2=2x x-2-2，因此，当，因此，当y y=14=14时，由时，由 14=2 14=2x x-2,-2,解得解得x x=4. =4. 加密加密发送发送解密解密4 4蚁唇聋汗肄穷佃逐毙富密煮篱媒单杠乳定木燥蛋滨忧儿萌含蘑堑鸥舆满挫要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 题型一题型一 一次、二次函数模型一次、二次函数模型【【例例1 1】】如图所示，在矩形如图所示，在矩形 ABCDABCD中，已知中，已知ABAB= =a a，，BCBC= =b b （（b b< 3>3b b时时, ,S S( (x x) )在（在（0,0,b b］上是增函数，］上是增函数， 此时当此时当x x= =b b时，时，S S有最大值为有最大值为综上可知，当综上可知，当a a≤3≤3b b时，时， 时，时，四边形面积四边形面积S Smaxmax= = 当当a a>3>3b b时，时，x x= =b b时，四边形面积时，四边形面积S Smaxmax= =abab- -b b2 2. . 再酌央莹惰曼汐胰唤燃俐中棕捌撑诫执氨星篆蓝到淮碗捂岗墅谗晌慷衔卒要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 探究提高探究提高 二次函数是我们比较熟悉的基本函数二次函数是我们比较熟悉的基本函数, ,建建立二次函数模型可以求出函数的最值立二次函数模型可以求出函数的最值, ,解决实际中的解决实际中的最优化问题，值得注意的是：一定要注意自变量的取最优化问题，值得注意的是：一定要注意自变量的取值范围，根据图象的对称轴与定义域在数轴上表示的值范围，根据图象的对称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置关系讨论求解区间之间的位置关系讨论求解. . 拎爸翅润嘉映肄鸽哟闪朵怠订趴扮进鼓亿钒抬盗话绸猖嘿阶衍卿拧馈都抑要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 题型二题型二 分段函数模型分段函数模型【【例例2 2】】某公司研制出了一种新产品，试制了一批样某公司研制出了一种新产品，试制了一批样 品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售 情况不断进行调整，结果情况不断进行调整，结果4040天内全部销完天内全部销完. .公司对公司对 销售及销售利润进行了调研销售及销售利润进行了调研, ,结果如图所示，其中结果如图所示，其中 图图①①（一条折线）、图（一条折线）、图②②（一条抛物线段）分别是（一条抛物线段）分别是 国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图 ③ ③是每件样品的销售利润与上市时间的关系是每件样品的销售利润与上市时间的关系. . 爹治馅清闹割咙约庇睬篱迟席巢外燥娩杯幼皋摆澈黎辉抄众甘睹衣腾湃阻要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 (1)(1)分别写出国外市场的日销售量分别写出国外市场的日销售量f f（（t t）与上市时间）与上市时间t t 的关系及国内市场的日销售量的关系及国内市场的日销售量g g（（t t）与上市时间）与上市时间t t的关的关系；系；(2)(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于于6 3006 300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由没有，请说明理由. . 赡姐贞刻记漓祟罚乙弛途去七挥屹地珊趣乐染托豁甭摔多威侥怖渭痘民卿要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 (2)(2)每件样品的销售利润每件样品的销售利润h h（（t t）与上市时间）与上市时间t t的关系为的关系为 故国外和国内的日销售利润之和故国外和国内的日销售利润之和F F( (t t) )与上市时间与上市时间t t的的 关系为关系为豁度矾冉蚤业办按追境噎焊坊含览恤罩诺饭癣彩苍酿见基环门耶器个游迂要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 当当0≤0≤t t≤20≤20时，时， ∴∴F F（（t t）在［）在［0 0，，2020］上是增函数，］上是增函数，∴∴F F（（t t）在此区间上的最大值为）在此区间上的最大值为F F（（2020））=6 000<6 300.=6 000<6 300.当当20<20400>400时，时，f f( (x x)=60 000-100)=60 000-100x x是减函数，是减函数， f f( (x x)<60 000-100)<60 000-100××400<25 000.400<25 000.所以，当所以，当x x=300=300时，有最大值时，有最大值25 000.25 000.所以，当月产量为所以，当月产量为300300台时，公司所获利润最大，最台时，公司所获利润最大，最大利润是大利润是25 00025 000元元. . 拢继马久商夷晰丈冻溃谩浪帽欠求盔引称糙邻蔓按暮基汲栈厉翁闰谆斧祥要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 题型三题型三 指数函数模型与幂函数模型指数函数模型与幂函数模型 【【例例3 3】】某城市现有人口总数为某城市现有人口总数为100100万人万人, ,如果年自然如果年自然 增长率为增长率为1.2%1.2%，试解答以下问题：，试解答以下问题： (1) (1)写出该城市人口总数写出该城市人口总数y y（万人）与年份（万人）与年份x x（年（年) )的的 函数关系式；函数关系式； (2) (2)计算计算1010年以后该城市人口总数年以后该城市人口总数( (精确到精确到0.10.1万人万人);); (3) (3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到计算大约多少年以后，该城市人口将达到120120万万 人（精确到人（精确到1 1年）年）. . (4) (4)如果如果2020年后该城市人口总数不超过年后该城市人口总数不超过120120万人，年万人，年 自然增长率应该控制在多少？自然增长率应该控制在多少？ 缠蔫乙驹雾朴撞沾愚掌宅您观喜僧苛犯地我碴心内降萌臻乐放样乐欧筒咱要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 （参考数据（参考数据:1.012:1.0129 9≈1.113≈1.113，，1.0121.0121010≈1.127≈1.127，， lg 1.2≈0.079,lg 2≈0.301 0,lg 1.012≈0.005, lg 1.2≈0.079,lg 2≈0.301 0,lg 1.012≈0.005, lg 1.009≈0.003 9 lg 1.009≈0.003 9）） 增长率问题是指数函数问题，利用指数增长率问题是指数函数问题，利用指数 函数模型，构造函数函数模型，构造函数. . 思维启迪思维启迪蓝惧猜旅钱普囚取得厚皖峨莱恫钻陛迈番溢局激抓泻揭钟撑鸳迂仓捡泛剧要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 解解 （（1 1））1 1年后该城市人口总数为年后该城市人口总数为 y y=100+100=100+100××1.2%=1001.2%=100××(1+1.2%)(1+1.2%)2 2年后该城市人口总数为年后该城市人口总数为y y=100=100××(1+1.2%)+100(1+1.2%)+100××(1+1.2%)(1+1.2%)××1.2%1.2%=100=100××(1+1.2%)(1+1.2%)2 2. .3 3年后该城市人口总数为年后该城市人口总数为y y=100=100××(1+1.2%)(1+1.2%)2 2+100+100××(1+1.2%)(1+1.2%)2 2××1.2%1.2%=100=100××(1+1.2%)(1+1.2%)3 3. .x x年后该城市人口总数为年后该城市人口总数为y y=100=100××(1+1.2%)(1+1.2%)x x. . 带斥宋灯邹赔血桩臆杆娃膛辟奔列郡史蒸遁盐库慷疟嘻前滓谗八搞施琉窒要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 (2)10(2)10年后，人口总数为年后，人口总数为 100100××(1+1.2%)(1+1.2%)1010≈112.7≈112.7（万人（万人).).(3)(3)设设x x年后该城市人口将达到年后该城市人口将达到120120万人，万人，即即100100××(1+1.2%)(1+1.2%)x x=120,=120,(4)(4)由由100100××(1+(1+x x%)%)2020≤120,≤120,得得(1+(1+x x%)%)2020≤1.2,≤1.2,两边取对数得两边取对数得20lg(1+20lg(1+x x%)≤lg 1.2=0.079,%)≤lg 1.2=0.079,所以所以 所以所以1+1+x x%≤1.009,%≤1.009,得得x x≤0.9,≤0.9,即年自然增长率应该控制在即年自然增长率应该控制在0.9%. 0.9%. 枷辟订壮湘菠合茵穴撕娘卒感送宙庇王预蛋行逢慰引蜂杨郝夺姿暮哭佬功要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 探究提高探究提高 此类增长率问题，在实际问题中常可以此类增长率问题，在实际问题中常可以 用指数函数模型用指数函数模型y y= =N N(1+(1+p p) )x x( (其中其中N N是基础数，是基础数，p p为增长为增长率，率，x x为时间为时间) )和幂函数模型和幂函数模型y y= =a a(1+(1+x x) )n n( (其中其中a a为基础为基础数，数，x x为增长率，为增长率，n n为时间为时间) )的形式的形式. .解题时，往往用到解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解. . 艘济祁踢撼冲尺远见莎冕郡允膨席赤赔煽隧耽簇雏雀筐警剿萤恰岛卢硷荧要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 知能迁移知能迁移3 3 1999 1999年年1010月月1212日日““世界世界6060亿人口日亿人口日””，， 提出了提出了““人类对生育的选择将决定世界未来人类对生育的选择将决定世界未来””的主的主 题题, ,控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前. .（（1 1）世界人口在过去）世界人口在过去4040年内翻了一番，问每年人口年内翻了一番，问每年人口 平均增长率是多少？平均增长率是多少？（（2 2）我国人口在）我国人口在19981998年底达到年底达到12.4812.48亿，若将人口平亿，若将人口平 均增长率控制在均增长率控制在1%1%以内，我国人口在以内，我国人口在20082008年底至多年底至多 有多少亿？有多少亿？ 辞纺弊菩汹滨侨吝编蜜熊咸篡非荆碳厅也并须蕊珊册楞殃驰焦惶蠕呵慨惦要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 以下数据供计算时使用：以下数据供计算时使用：数数N N1.0101.0101.0151.0151.0171.0171.3101.3102.0002.000对数对数lg lg N N0.004 30.004 30.006 50.006 50.007 30.007 30.117 30.117 30.301 00.301 0数数N N3.0003.0005.0005.00012.4812.4813.1113.1113.7813.78对数对数lg lg N N0.477 10.477 10.699 00.699 01.096 21.096 21.117 61.117 61.139 21.139 2渔汾聘牵意褒紫朗肝亲诈质伺坡纹捞损究渺底伐诬咕漏碱个浦鸯乡毡朔核要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 解解 （（1 1）设每年人口平均增长率为）设每年人口平均增长率为x x，，n n年前的人口年前的人口 数为数为y y，，则则y y··(1+(1+x x) )n n=60=60，则当，则当n n=40=40时，时，y y=30=30，，即即30(1+30(1+x x) )4040=60=60，，∴(1+∴(1+x x) )4040=2=2，，两边取对数，则两边取对数，则40lg40lg（（1+1+x x））=lg 2=lg 2，，则则lglg（（1+1+x x））= =0.007 525= =0.007 525，，∴1+∴1+x x≈1.017≈1.017，得，得x x=1.7%.=1.7%.（（2 2）依题意，）依题意，y y≤12.48(1+1%)≤12.48(1+1%)1010，，得得lg lg y y≤lg 12.48+10≤lg 12.48+10××lg 1.01=1.139 2,lg 1.01=1.139 2,∴∴y y≤13.78≤13.78，故人口至多有，故人口至多有13.7813.78亿亿. .答答 每年人口平均增长率为每年人口平均增长率为1.7%1.7%，，20082008年人口至多有年人口至多有13.7813.78亿亿. . 徽划定智浸旷娇改晕兵感蝇爸沛尹御辖洁翱辗译谱耳盟耪撼咐宏时底诺琶要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 题型四题型四 函数的综合应用函数的综合应用 【【例例4 4】】(12(12分分) )有一个受到污染的湖泊，其湖水的体有一个受到污染的湖泊，其湖水的体 积为积为V V立方米立方米, ,每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的 水量，都为水量，都为r r立方米立方米. .现假设下雨和蒸发正好平衡，现假设下雨和蒸发正好平衡， 且污染物质与湖水能很好的混合且污染物质与湖水能很好的混合. .用用g g（（t t）表示任一）表示任一 时刻时刻t t每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称其每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称其 为在时刻为在时刻t t时的湖水污染质量分数时的湖水污染质量分数. .已知目前污染源已知目前污染源 以每天以每天p p克的污染物质污染湖水克的污染物质污染湖水, ,湖水污染质量分数湖水污染质量分数 满足关系式满足关系式 ( (p p≥0)≥0)，其中，其中 g g(0)(0)是湖水污染的初始质量分数是湖水污染的初始质量分数. . 乘储紫矩澎睬站芝畅肪题褪闭梆仿踢捍娩烟茫愤势火崖釜盟倍善锑秩难辣要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 （（1 1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的 初始质量分数；初始质量分数；（（2 2）求证：当）求证：当g g(0)< (0)< 时时, ,湖泊的污染程度将越来越湖泊的污染程度将越来越 严重；严重；（（3 3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染 停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平 下降到开始时下降到开始时( (即污染源停止时即污染源停止时) )污染水平的污染水平的5%5%？？ 雌跺逊杠劝处崩冻剔权腋散屁庄忙泥刮惑爽狞域羊醋灸拈恬涌拣苇剁攻翟要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 （（1 1）水污染质量分数为常数，即）水污染质量分数为常数，即g g( (t t) ) 为常数函数；为常数函数；(2)(2)污染程度越来越严重，即证明污染程度越来越严重，即证明g g( (t t) )为增函数；为增函数；(3)(3)转化为方程即可解决转化为方程即可解决. . (1)(1)解解 设设0≤0≤t t1 1< 0,>0,b b≠1)≠1)；； (5) (5)对数型函数模型对数型函数模型: :f f( (x x)=)=m mlogloga ax x+ +n n( (m m, ,n n, ,a a为常数，为常数， m m≠0,≠0,a a>0,>0,a a≠1);≠1); (6) (6)分段函数模型分段函数模型. . 味份惭邓首袍朝抿忍覆添殃辨烹零彤高挚路泅诗择读攫插兜邻躇壳染桌胞要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 1.1.函数模型应用不当，是常见的解题错误函数模型应用不当，是常见的解题错误. .所以，正所以，正 确理解题意，选择适当的函数模型确理解题意，选择适当的函数模型. .2.2.要特别关注实际问题的自变量的取值范围要特别关注实际问题的自变量的取值范围, ,合理确合理确 定函数的定义域定函数的定义域. .3.3.注意问题反馈注意问题反馈. .在解决函数模型后，必须验证这个在解决函数模型后，必须验证这个 数学解对实际问题的合理性数学解对实际问题的合理性. . 失误与防范失误与防范哑廊矾烂咏内札赦距豌叛藤疲栅晒湛厨扮怔术茧江次逼硝战染览遂寻改哇要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 一、选择题一、选择题 1.1.某电信公司推出两种收费某电信公司推出两种收费 方式方式: :A A种方式是月租种方式是月租2020元元, ,B B种种 方式是月租方式是月租0 0元元. .一个月的本地网一个月的本地网 内打出时间内打出时间t t( (分钟分钟) )与打出与打出 费费s s（元）的函数关系如图，（元）的函数关系如图， 当打出当打出150150分钟时分钟时, ,这两种方式费相差这两种方式费相差 （（ ）） A.10 A.10元元 B.20 B.20元元 C.30 C.30元元 D. D. 元元 定时检测定时检测坎狞煮稳梆跨纷猫仔哄价剃泥箔葱所蹭析爪刘笛婚脏惮艰夺础昏缅录雄佳要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 解析解析 设设A A种方式对应的函数解析式为种方式对应的函数解析式为S S= =k k1 1t t+20, +20, B B种方式对应的函数解析式为种方式对应的函数解析式为S S= =k k2 2t t, , 当当t t=100=100时，时，100100k k1 1+20=100+20=100k k2 2, , 当当t t=150=150时，时，150150k k2 2-150-150k k1 1-20=-20= 故选故选A.A. 答案答案 A A妒送胸带陈庆靳绎霹蚜浸薛俐粮黔逞戈任纵间史氰牢劣役误消繁溶鳖恶禁要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 2.2.由方程由方程x x| |x x|+|+y y| |y y|=1|=1确定的函数确定的函数y y= =f f( (x x) )在在(-∞,+∞) (-∞,+∞) 上是上是 （（ ）） A. A.增函数增函数 B. B.减函数减函数 C. C.先增后减先增后减 D. D.先减后增先减后增 解析解析 ① ①当当x x≥0≥0且且y y≥0≥0时，时，x x2 2+ +y y2 2=1,=1, ② ②当当x x>0>0且且y y<0<0时，时，x x2 2- -y y2 2=1,=1, ③ ③当当x x<0<0且且y y>0>0时，时，y y2 2- -x x2 2=1,=1, ④ ④当当x x<0<0且且y y<0<0时，无意义时，无意义. . 由以上讨论作图如右，由以上讨论作图如右， 易知是减函数易知是减函数. . B骇窃侥茵色拴困渗契葵敬头巧衣晌旗盂美郁肺西灌邯卧撰汗履铅铰嘱南赴要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 3.3.国家规定个人稿费纳税办法是：不超过国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800800元的不元的不 纳税纳税; ;超过超过800800元而不超过元而不超过4 0004 000元的按超过元的按超过800800元部元部 分的分的14%14%纳税纳税; ;超过超过4 0004 000元的按全部稿酬的元的按全部稿酬的11%11%纳税纳税. . 已知某人出版一本书已知某人出版一本书, ,共纳税共纳税420420元，则这个人应得元，则这个人应得 稿费（扣税前）为稿费（扣税前）为 （（ ）） A.2 800 A.2 800元元 B.3 000 B.3 000元元 C.3 800 C.3 800元元 D.3 818 D.3 818元元 契逢凭编迢诽芝淄示狙菇揭笔仔栈趾栓茨轧总匙耪翻臣克钩淬崭七铜夹蜕要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 解析解析 设扣税前应得稿费为设扣税前应得稿费为x x元，则应纳税额为分段元，则应纳税额为分段函数，由题意，得函数，由题意，得如果稿费为如果稿费为4 0004 000元应纳税为元应纳税为448448元元, ,现知某人共纳税现知某人共纳税420420元元, ,所以稿费应在所以稿费应在800800~ ~4 0004 000元之间元之间, ,∴(∴(x x-800)-800)××14%=420,∴14%=420,∴x x=3 800. =3 800. 答案答案 C C睁熙召青姐赁伍仅锯段遍洱凋懈吼局勋群静娟易胰夯秒筋羡焦辣伍围侠老要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 4. 4. 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶 之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s s看作时看作时 间间t t的函数，其图象可能是的函数，其图象可能是 （（ ）） 解析解析 根据汽车加速行驶根据汽车加速行驶 （（a a>0>0），匀速），匀速 行驶行驶s s= =vt vt, ,减速行驶减速行驶 ( (a a<0)<0)结合函数图象可结合函数图象可 知选知选A. A. A掘休锭疟侥人藻恬荆匀插棺趟呢澜仔堵睬埋晒悔畸竖海馋髓俐鳞煞浙弃停要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 5.5.某产品的总成本某产品的总成本y y( (万元万元) )与产量与产量x x( (台台) )之间的函数之间的函数 关系是关系是y y=3 000+20=3 000+20x x-0.1-0.1x x2 2(0<(00>0且且a a≠1≠1，，f f( (x x)=)=x x2 2- -a ax x, ,当当x x∈(-1,1)∈(-1,1)时均有时均有 f f( (x x)< )< 则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是 （（ ）） A. B. A. B. C. D. C. D. 猪潜肆惩撮灼衙践浩藻儡攒哑稍朝鼓区啸俊它触洲哈阶嗅宅跪笨扎技逃窥要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 解析解析 由题意可知由题意可知 在（在（-1-1，，1 1）上恒成立，）上恒成立，令令y y1 1= =a ax x, , 由图象知：由图象知：答案答案 C C袍痒坪藕铁擅矢礼肠颓釜点游凳伺赫剩蹿登霸颠阑惯兽仆皋悬淌卯皑氮抢要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 二、填空题二、填空题7.7.计算机的价格大约每计算机的价格大约每3 3年下降年下降 , ,那么今年花那么今年花8 100 8 100 元买的一台计算机元买的一台计算机,9,9年后的价格大约是年后的价格大约是__________元元. . 解析解析 设计算机价格平均每年下降设计算机价格平均每年下降p p% %，， 由题意可得由题意可得 ∴9 ∴9年后的价格年后的价格 300300帅誊惦踢辈赫蓑露型哟汾外秽怠岿昆敞潜郑盆卧熔贪挖穗恨改锭肌剿抒邯要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 8.8.设函数设函数f f( (x x)=)=x x| |x x|+|+bxbx+ +c c，给出下列命题：，给出下列命题： ① ①b b=0,=0,c c>0>0时，方程时，方程f f( (x x)=0)=0只有一个实数根；只有一个实数根； ② ②c c=0=0时，时，y y= =f f( (x x) )是奇函数；是奇函数； ③ ③方程方程f f( (x x)=0)=0至多有两个实根至多有两个实根. . 上述三个命题中所有正确命题的序号为上述三个命题中所有正确命题的序号为____.____. 解析解析 ① ①f f( (x x)=)=x x| |x x|+|+c c= =系蜜杭弘脂论艾赚找假髓砚砸寅帅触貉研爽脚耐泰砸渤贝默苦愧筷替辆丑要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 如图如图①①，曲线与，曲线与x x轴只有一个交点，轴只有一个交点，所以方程所以方程f f( (x x)=0)=0只有一个实数根，正确只有一个实数根，正确. .②②c c=0=0时，时，f f( (x x)=)=x x| |x x|+|+bxbx，显然是奇函数，显然是奇函数. .③③当当c c=0,=0,b b<0<0时，时，f f( (x x)=)=x x| |x x|+|+bxbx= =如图如图②②，方程，方程f f( (x x)=0)=0可以有三个实数根可以有三个实数根. .综上所述，正确命题的序号为综上所述，正确命题的序号为①②. ①②. 答案答案 ①②①②扒鞠煌另辐车叉吓罗障琵寿搭傣蕾执款逞分栽武仗浅周准宏抠剑顽克居孔要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 9.9.已知已知f f( (x x)= ()= (x x2 2- -ax ax +3+3a a)( )( 为锐角为锐角),),在区间在区间 [2,+∞) [2,+∞)上为增函数上为增函数, ,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是 _________. _________. 解析解析 令令u u= =x x2 2- -axax+3+3a a, , ∴ ∴ 在定义域内为减函数，在定义域内为减函数， ∴ ∴f f( (x x)= ()= (x x2 2- -axax+3+3a a) )在在[2,+∞)[2,+∞)上为增函数上为增函数, , 则则u u= =x x2 2- -axax+3+3a a>0>0在在[2,+∞)[2,+∞)上恒成立上恒成立, ,且为增函数且为增函数, ,-4<-40-115>0，解得，解得x x>2.3.>2.3.∵∵x x∈∈N N* *，，∴∴x x≥3≥3，，∴3≤∴3≤x x≤6≤6，，x x∈∈N N* *，，当当x x>6>6时，时，y y=[50-3=[50-3（（x x-6-6））] ]x x-115.-115.令令[50-3[50-3（（x x-6-6））] ]x x-115>0,-115>0,有有3 3x x2 2-68-68x x+115<0,+115<0,上述不等式的整数解为上述不等式的整数解为2≤2≤x x≤20 (≤20 (x x∈∈N N* *））, ,∴6<∴6185∵270>185，，∴∴当每辆自行车的日租金定在当每辆自行车的日租金定在1111元时，才能使一日的元时，才能使一日的净收入最多净收入最多. . 垃磋使央肺磨拙坷策誉掩萌疑翱繁殴兔镰迎磁硬班炯渤讳笆扦添柔佣阂牵要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 11.11.通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注 意力随着老师讲课时间的变化而变化意力随着老师讲课时间的变化而变化, ,讲课开始时讲课开始时, , 学生的兴趣激增学生的兴趣激增; ;中间有一段时间中间有一段时间, ,学生的兴趣保持学生的兴趣保持 较理想的状态较理想的状态, ,随后学生的注意力开始分散随后学生的注意力开始分散, ,设设f f( (t t) ) 表示学生注意力随时间表示学生注意力随时间t t（分钟）的变化规律（分钟）的变化规律( (f f( (t t) ) 越大越大, ,表明学生注意力越集中表明学生注意力越集中),),经过实验分析得知：经过实验分析得知： 指架庸流盼摧阮敝快蓖珐抒绍牡刽得三态灼饥哗营乍胳衫宜毛羊琴追味宿要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 (1)(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？持续多少分钟？(2)(2)讲课开始后讲课开始后5 5分钟与讲课开始后分钟与讲课开始后2525分钟比较分钟比较, ,何时何时学生的注意力更集中？学生的注意力更集中？(3)(3)一道数学难题，需要讲解一道数学难题，需要讲解2424分钟，并且要求学生分钟，并且要求学生的注意力至少达到的注意力至少达到180180，那么经过适当安排，教师能，那么经过适当安排，教师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？炬避戴曲茫珐分沃零酋贬游叼排璃害栏纬敝算熙炙澡恕亚笑砷冗颜霉坎娜要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 解解 （（1 1）当）当0<024,28.57-4=24.57>24,所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题状态下讲授完这道题. . 抛筒坞际揪痘遁隘爹名拘睁精雹浪半肺攻丸沙休媒剪扩舶腔琼袱娠修渭磅要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 12.12.某化工厂引进一条先进生产线生产某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品某种化工产品, , 其生产的总成本其生产的总成本y y( (万元万元) )与年产量与年产量x x( (吨吨) )之间的函数之间的函数 关系式可以近似地表示为关系式可以近似地表示为y y= -48= -48x x+8 000,+8 000,已知此已知此 生产线年产量最大为生产线年产量最大为210210吨吨. . (1) (1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成 本最低本最低, ,并求最低成本并求最低成本; ; (2) (2)若每吨产品平均出厂价为若每吨产品平均出厂价为4040万元万元, ,那么当年产量那么当年产量 为多少吨时为多少吨时, ,可以获得最大利润？最大利润是多少？可以获得最大利润？最大利润是多少？ 解解 (1) (1)每吨平均成本为每吨平均成本为 ( (万元万元).).济催历琅蓟点拜峭铁指义访怀栗正烈芍柞湘霜痛准氏褒沽侦艰弊峰看叛驴要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 当且仅当当且仅当 即即x x=200=200时取等号时取等号. .∴∴年产量为年产量为200200吨时吨时, ,每吨平均成本最低为每吨平均成本最低为3232万元万元. .(2)(2)设年获得总利润为设年获得总利润为R R( (x x) )万元万元, ,则则R R( (x x)=40)=40x x- -y y=40=40x x- +48- +48x x-8 000-8 000=- +88=- +88x x-8 000-8 000=- (=- (x x-220)-220)2 2+1 680(0≤+1 680(0≤x x≤210).≤210).∵∵R R( (x x) )在［在［0,2100,210］上是增函数］上是增函数, ,∴∴x x=210=210时时, ,R R( (x x) )有最大值为有最大值为- (210-220)- (210-220)2 2+1 680=1 660.+1 680=1 660.∴∴年产量为年产量为210210吨时吨时, ,可获得最大利润可获得最大利润1 6601 660万元万元. . 返回返回 眼乘赊他候霓汪岁肥首陛蛤湃桅就贫无楼勒阶数潘耗鸭辟暴羊淮赖远榆入要点梳理三种增长型函数模型的图象与质 。