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1、第四节第四节一元复合函数求导法则本节内容本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分微分法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 第七章 一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则定理定理. 若函数处偏导连续, 在点 t 可导, 则复合函数证证: 设 t 取增量t ,则相应中间变量且有链式法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 有增量u ,v ,( 全导数公式全导数公式 )(t0 时,根式前加“”号)机动 目录 上页 下页 返回 结束 若定理中 说明说明: 例
2、如例如:易知:但复合函数偏导数连续偏导数连续减弱为偏导数存在偏导数存在, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则定理结论不一定成立.推广推广:1) 中间变量多于两个的情形. 例如,设下面所涉及的函数都可微 .2) 中间变量是多元函数的情形.例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束 又如,当它们都具有可微条件时, 有注意注意: 这里表示固定 y 对 x 求导,表示固定 v 对 x 求导口诀口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导与不同,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 设设解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3
3、. 设 求全导数解解:注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与机动 目录 上页 下页 返回 结束 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.为简便起见 , 引入记号例例4. 设 f 具有二阶连续偏导数,求解解: 令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 (当 在二、三象限时, )例例5. 设二阶偏导数连续,求下列表达式在解解: 已知极坐标系下的形式(1), 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 题目 目录 上页 下页 返回 结束 已知注意利用注意利用已有公式已有公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 同理可得题目 目录 上页 下页 返回 结束 二、多
4、元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分设函数的全微分为可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 则复合函数都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 .例例 6. 利用全微分形式不变性再解例1. 解解:所以机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 复合函数求导的链式法则“分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导”例如例如,2. 全微分形式不变性不论 u , v 是自变量还是因变量,机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习题练习题1. 已知求解解: 由两边对 x 求导, 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 求在点处可微 , 且设函数解解: 由题设(2001考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束
