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1、v误差分析处理误差分析处理 测量误差基本概念测量误差基本概念 测量误差的表示测量误差的表示 测量误差的分类测量误差的分类 有效数字有效数字 系统误差的消除系统误差的消除 主要内容主要内容随机误差的处理随机误差的处理 粗大误差的剔除粗大误差的剔除 测量误差基本概念测量误差基本概念v真值真值指被测量在一定条件下客观存在的、实际具备的量值。指被测量在一定条件下客观存在的、实际具备的量值。真值是不可确切获知的，实际测量中常用真值是不可确切获知的，实际测量中常用“约定真值约定真值”和和“相对相对真值真值”。约定真值是用约定的办法确定的真值，如砝码的质量。约定真值是用约定的办法确定的真值，如砝码的质量。相
2、对真值是指具有更高精度等级的计量器的测量值。相对真值是指具有更高精度等级的计量器的测量值。v标称值标称值计量或测量器具上标注的量值。如标准砝码上标注的质计量或测量器具上标注的量值。如标准砝码上标注的质量数。量数。v 示值示值由测量仪器（设备）给出的量值，也称测量值或测量结果。由测量仪器（设备）给出的量值，也称测量值或测量结果。v 测量误差测量误差测量结果与被测量真值之间的差值。测量结果与被测量真值之间的差值。v误差公理误差公理一切测量都具有误差，误差自始至终存在于所有科学试一切测量都具有误差，误差自始至终存在于所有科学试验的过程之中。研究误差的目的是找出适当的方法减小误差，使测验的过程之中。研
3、究误差的目的是找出适当的方法减小误差，使测量结果更接近真值。量结果更接近真值。v重复性重复性在相同条件下，对同一被测量进行多次测量所得到的结在相同条件下，对同一被测量进行多次测量所得到的结果之间的一致性。相同条件包括：相同的测量程序、测量方法、观果之间的一致性。相同条件包括：相同的测量程序、测量方法、观测人员、测量设备和测量地点等。测人员、测量设备和测量地点等。v测量不确定度测量不确定度表示测量结果不能肯定的程度，或说是表征测量表示测量结果不能肯定的程度，或说是表征测量结果分散性的一个参数。它只涉及测量值，是可以量化的。经常由结果分散性的一个参数。它只涉及测量值，是可以量化的。经常由被测量算术
4、平均值的标准差、相关量的标定不确定度等联合表示。被测量算术平均值的标准差、相关量的标定不确定度等联合表示。测量误差基本概念测量误差基本概念v准确度准确度是测量结果中系统误差与随机误差的综合，表示测量结是测量结果中系统误差与随机误差的综合，表示测量结果与真值的一致程度，由于真值未知，准确度是个定性的概念。果与真值的一致程度，由于真值未知，准确度是个定性的概念。测量误差的表示测量误差的表示3）引用误差引用误差绝对误差与测量仪表量程之比。按最大引用误差将绝对误差与测量仪表量程之比。按最大引用误差将电测量仪表的准确度等级分为电测量仪表的准确度等级分为7级，指数级，指数a 分别为：分别为：0.1，0.2
5、，0.5，1.0，1.5，2.5，5.0。2）相对误差相对误差绝对误差与真值之比：绝对误差与真值之比：在误差较小时，可以用测量值代替真值，称为示值相对误差在误差较小时，可以用测量值代替真值，称为示值相对误差x 。1）绝对误差绝对误差示值与真值之差。它的负值称为修正值。示值与真值之差。它的负值称为修正值。 称为修正值或补值。称为修正值或补值。所以电测量仪表在使用中的最大可能误差为：所以电测量仪表在使用中的最大可能误差为：【例例】某某1.0级电压表，量程为级电压表，量程为300V，求测量值，求测量值Ux分别为分别为100V和和200V时的最大绝对误差时的最大绝对误差Um和示值相对误差和示值相对误差
6、Ux 。测量误差的表示测量误差的表示测量误差的分类测量误差的分类 按产生原因分类按产生原因分类 1）方方法法误误差差: 方方法法误误差差是是由由于于检检测测系系统统采采用用的的测测量量原原理理与与方方法法本本身身所所产产生生的的测测量量误误差差，是是制制约约测测量量准准确确性性的的主主要要原因；原因；2）环环境境误误差差: 环环境境误误差差是是由由于于环环境境因因素素对对测测量量影影响响而而产产生生的的误误差差。例例如如环环境境温温度度、湿湿度度、灰灰尘尘、电电磁磁干干扰扰、机机械械振振动动等等存存在在于于测测量量系系统统之之外外的的干干扰扰会会引引起起被被测测样样品品的的性性能变化，使检测系
7、统产生的误差；能变化，使检测系统产生的误差； 按产生原因分类按产生原因分类 5）随随机机误误差差：相相同同条条件件下下测测量量产产生生的的偶偶然然误误差差（重重复复测测量量）。3）装装置置误误差差：装装置置误误差差是是检检测测系系统统本本身身固固有有的的各各种种因因素素影影响响而而产产生生的的误误差差。传传感感器器、元元器器件件与与材材料料性性能能、制制造造与与装装配配的的技技术术水水平平等等都都直直接接影影响响检检测测系系统统的的准准确确性性和稳定性产生的误差；和稳定性产生的误差；4）处处理理误误差差：数数据据处处理理误误差差是是检检测测系系统统对对测测量量信信号号进进行行运运算处理时产生的
8、误差，包括数字化误差、计算误差等；算处理时产生的误差，包括数字化误差、计算误差等；测量误差的分类测量误差的分类 按误差性质分类按误差性质分类 1）系统误差系统误差在重复条件下，对同一物理量无限多次测量结果的在重复条件下，对同一物理量无限多次测量结果的平均值减去该被测量的真值。系统误差大小、方向恒定一致或按一平均值减去该被测量的真值。系统误差大小、方向恒定一致或按一定规律变化。定规律变化。测量误差的分类测量误差的分类3）粗大误差粗大误差明显超出规定条件下预期的误差，它是统计异常值。明显超出规定条件下预期的误差，它是统计异常值。应剔除含有粗大误差的测量值。产生原因主要是读数错误、仪器有应剔除含有粗
9、大误差的测量值。产生原因主要是读数错误、仪器有缺陷或测量条件突变等。缺陷或测量条件突变等。2）随机误差随机误差测量示值减去在重复条件下同一被测量无限多次测测量示值减去在重复条件下同一被测量无限多次测量的平均值。随机误差具有抵偿特性。产生原因主要是温度波动、量的平均值。随机误差具有抵偿特性。产生原因主要是温度波动、振动、电磁场扰动等不可预料和控制的微小变量。振动、电磁场扰动等不可预料和控制的微小变量。测量误差的分类测量误差的分类1）数据的舍入规则数据的舍入规则：四舍五入，末位取偶，一次舍入到位。：四舍五入，末位取偶，一次舍入到位。目的是使正负舍入误差的概率近似相等。目的是使正负舍入误差的概率近似
10、相等。例如：将下列数据四舍五入，保留两位小数。例如：将下列数据四舍五入，保留两位小数。 12.434 4 12.43 25.325 0 25.32 63.735 01 63.74 17.695 0 17.702）有效数字有效数字：从左边第一个非零数字到最末一位数字为止：从左边第一个非零数字到最末一位数字为止的全部数字称为有效数字。它所隐含的意义是该数据的极的全部数字称为有效数字。它所隐含的意义是该数据的极限误差不超过其有效数字末位的半个单位。限误差不超过其有效数字末位的半个单位。3）有效数字位数的确定有效数字位数的确定：测量结果的最末一位与测量不确：测量结果的最末一位与测量不确定度的位数对齐。
11、定度的位数对齐。有效数字有效数字 系统误差的消除系统误差的消除v根据不同测量目的，对测量仪器、仪表、测量条件、测量根据不同测量目的，对测量仪器、仪表、测量条件、测量方法及步骤等进行全面分析，发现系统误差，采用相应的方法及步骤等进行全面分析，发现系统误差，采用相应的措施来消除或减弱它。措施来消除或减弱它。分析系统误差产生的根源，从产生的来源上消除：仪器、环分析系统误差产生的根源，从产生的来源上消除：仪器、环境、方法、人员素质等。境、方法、人员素质等。分析系统误差的具体数值和变换规律，利用修正的方法来消分析系统误差的具体数值和变换规律，利用修正的方法来消除：通过资料、理论推导或者实验获取系统误差的
12、修正值，除：通过资料、理论推导或者实验获取系统误差的修正值，最终测量值测量读数修正值。最终测量值测量读数修正值。针对具体测量任务可以采取一些特殊方法，从测量方法上减针对具体测量任务可以采取一些特殊方法，从测量方法上减小或消除系统误差，如：差动法、替代法。小或消除系统误差，如：差动法、替代法。多次测量求平均值不能减小系统误差多次测量求平均值不能减小系统误差 随机误差的处理随机误差的处理 随机误差的统计特性随机误差的统计特性 随机测量数据的分布随机测量数据的分布 随机测量数据的特征参数随机测量数据的特征参数 随机误差处理随机误差处理 随机测量数据的置信度随机测量数据的置信度 随机误差的统计特征随机
13、误差的统计特征测量测量品种品种产品直径测量值产品直径测量值平平均均值值1234567891011产品产品113.013.113.312.813.112.713.213.012.812.913.213.0产品产品214.614.214.314.714.514.314.814.314.714.614.614.5 当其它误差可以忽略时，随机误差当其它误差可以忽略时，随机误差可以表示为测量值可以表示为测量值与真值之差：与真值之差：随机误差的统计特征随机误差的统计特征（4）抵偿性抵偿性: 随着测量次数的增加，随机误差的代数和趋于零。随着测量次数的增加，随机误差的代数和趋于零。 （1）对称性对称性：绝对值
14、相等的正、负误差：绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。出现的概率相同。（2）有界性有界性：绝对值很大的误差出现的：绝对值很大的误差出现的概率为零。在一定的条件下，误差概率为零。在一定的条件下，误差的绝对值不会超过某一界限。的绝对值不会超过某一界限。（3）单峰性单峰性：绝对值小的误差出现的概率大于绝对值大的误差出现的概：绝对值小的误差出现的概率大于绝对值大的误差出现的概率率;随机测量数据的分布随机测量数据的分布v 正态分布正态分布对某一产品作对某一产品作N次等精度重复测量，测量序列次等精度重复测量，测量序列 ： 服从正态分布（高斯概率分布）服从正态分布（高斯概率分布）标准误差：标准误差： 随机
15、误差：随机误差： 测量真值：测量真值：随机测量数据的分布随机测量数据的分布 测量数据概率密度：测量数据概率密度： 不同的不同的 有不同的概率有不同的概率密度函数曲线，密度函数曲线，一定，随一定，随机误差的概率分布就完全确机误差的概率分布就完全确定。定。随机测量数据的分布随机测量数据的分布v 平均分布平均分布在某一区域内随机误差出现的概率处处相等。在某一区域内随机误差出现的概率处处相等。 仪器刻度误差仪器刻度误差 最小分辨率误差最小分辨率误差 数字量化误差数字量化误差 舍入误差等舍入误差等随机测量数据的分布随机测量数据的分布v t分布分布处理小样本的测量数据（处理小样本的测量数据（n30）随机测
16、量数据的特征参数随机测量数据的特征参数 数学期望的估计数学期望的估计假设对被测量假设对被测量A进行进行n次等精度次等精度 、无、无系统误差独立测量，测量结果为系统误差独立测量，测量结果为 ，则该测量，则该测量序列的算术平均值是被测量序列的算术平均值是被测量A数学期望的最佳估计。数学期望的最佳估计。标准偏差的估计标准偏差的估计 由于随机误差与真值有关，是不可知的，工程上常用剩由于随机误差与真值有关，是不可知的，工程上常用剩余误差代替随机误差而获得方差和标准差的估计值。余误差代替随机误差而获得方差和标准差的估计值。剩余误差定义：剩余误差定义： 用剩余误差计算近似标准差的贝塞尔公式：用剩余误差计算近
17、似标准差的贝塞尔公式： 随机测量数据的特征参数随机测量数据的特征参数 随机测量数据的特征参数随机测量数据的特征参数 算术平均值的标准差算术平均值的标准差算术平均值的标准差为：算术平均值的标准差为： 估计值为：估计值为：算术平均值比单次测量值的离散度小，精度更高。算术平均值比单次测量值的离散度小，精度更高。随机误差的处理随机误差的处理数学期望数学期望 方差方差（标准差（标准差）随机变量随机变量A定义式定义式 估计估计算术平均值算术平均值的标准差的标准差随机测量数据的置信度随机测量数据的置信度置信度是表征测量结果可信赖程度置信度是表征测量结果可信赖程度的一个参数，用置信区间和置信概的一个参数，用置
18、信区间和置信概率来表示。率来表示。置信区间置信区间-a，+a 是鉴定测量系统的设计误差指标，对于是鉴定测量系统的设计误差指标，对于已有的检测系统，随机误差已有的检测系统，随机误差服从正态分布，标准误差服从正态分布，标准误差已已知。知。区间区间- a +a与与 曲线构成的面积就是测量误差在曲线构成的面积就是测量误差在-a +a 区间出现的置信概率。区间出现的置信概率。随机测量数据的置信度随机测量数据的置信度置信概率计算置信概率计算置信概率等于在置信区间对概率密度函数的定积分；置信概率等于在置信区间对概率密度函数的定积分；随机误差出现的概率就是测量数据出现的概率；随机误差出现的概率就是测量数据出现
19、的概率； 由于服从正态分布的概率密度函数具有对称性，随机误差概率由于服从正态分布的概率密度函数具有对称性，随机误差概率公式为公式为:置信区间可用标准误差的倍数置信区间可用标准误差的倍数 K 来表示，来表示， K 称为置信因子，即：称为置信因子，即：随机测量数据的置信度随机测量数据的置信度 令令 ，因，因，积分由，积分由 0 到到 a 变为由变为由 0 到到 K :上式是一个计算比较复杂的积分，可以通过查上式是一个计算比较复杂的积分，可以通过查 K-(K) 表获得表获得积分值。积分值。随机测量数据的置信度随机测量数据的置信度 K(K)0.00.000 000.50.382 921.00.682
20、691.50.866 392.00.954 502.50.987 582.580.990 122.60.990 683.00.997 30 随机误差大于随机误差大于 3 概率为概率为0.002 7，几乎为零，故常将标准差的几乎为零，故常将标准差的3倍作为正倍作为正态分布下测量数据的极限误差。态分布下测量数据的极限误差。随机测量数据的置信度随机测量数据的置信度 【例例】对某电阻作无系统误差等精度独立测量，已知测量对某电阻作无系统误差等精度独立测量，已知测量数据服从正态分布，其标准差为数据服从正态分布，其标准差为0.2，求被测电阻真值，求被测电阻真值R 落在区间落在区间R - 0.5, R + 0
21、.5的概率。的概率。相应的置信概率为：相应的置信概率为：同样可以算出，当置信区间要求为：同样可以算出，当置信区间要求为： 运算表明：当置信区间要求为：运算表明：当置信区间要求为： 相应的置信概率为：相应的置信概率为：随机测量数据的置信度随机测量数据的置信度 由给定或设定置信概率由给定或设定置信概率P来计算置信区间来计算置信区间-a，+a；【例例】对某电压值进行测量，其标准差为对某电压值进行测量，其标准差为0.02V，期望值，期望值为为79.83V，求置信概率为，求置信概率为99%时所对应的测量置信区间。时所对应的测量置信区间。随机测量数据的置信度随机测量数据的置信度 置信概率与置信区间的说明置
22、信概率与置信区间的说明A. 对给定置信概率，测出的置信区间愈小，表明系统对给定置信概率，测出的置信区间愈小，表明系统的测量精度愈高。的测量精度愈高。B. 对给定置信区间，测出的置信概率越大，表明系统对给定置信区间，测出的置信概率越大，表明系统越可靠。越可靠。随机误差的处理随机误差的处理v 随机误差处理随机误差处理平均值处理方法平均值处理方法被测样品的真实值是当测量次数被测样品的真实值是当测量次数n为无穷大时的统计期望值。为无穷大时的统计期望值。n次采次采样数据算术平均值的标准误差样数据算术平均值的标准误差 为为: 由由上上式式可可见见：测测量量列列的的算算术术平平均均值值的的标标准准误误差差
23、只只是是各各测测量量值值的的标标准准误误差差的的 。因因此此，以以算算术术平平均均值值作作为为检检测测结结果果比比单单次次测测量量更更为为准准确确，而而且且在在一一定定测测量量次次数数内内，测测量量精精度度将将随随着着采采样样次次数数的的增加而提高。增加而提高。随机误差的处理随机误差的处理平均值先后计算平均值先后计算将式（将式（1）（）（2）式在真值）式在真值V0 附近展开泰勒级数，保留到二次项得：附近展开泰勒级数，保留到二次项得：（2）（1） 当采样次数当采样次数n不受限制时，可以认为平均值不受限制时，可以认为平均值 更接近更接近 ， 当测量次数当测量次数n较大时，可以认为较大时，可以认为
24、，但，但 不可能为零。不可能为零。 直接采样信号的平均值就是系统对检测信号的最佳估计值，直接采样信号的平均值就是系统对检测信号的最佳估计值，可用平均值代表其相对真值；可用平均值代表其相对真值； 如果被测量与直接采样信号函数关系明确，将各直接量的最如果被测量与直接采样信号函数关系明确，将各直接量的最佳估计值代入该函数，所求出值即为被测量的最佳估计值。佳估计值代入该函数，所求出值即为被测量的最佳估计值。 ，因此应采用：，因此应采用：随机误差的处理随机误差的处理数据序列数数据序列数n的确定的确定标准误差标准误差 是在采样次数是在采样次数n足够大得到的，但实际测量只能足够大得到的，但实际测量只能有限次
25、，测量次数有限次，测量次数n如何确定？如何确定？a 实际测量中的有限次测量只能得到标准误差的近似值实际测量中的有限次测量只能得到标准误差的近似值b 通过通过贝塞尔公式贝塞尔公式求标准误差的近似值求标准误差的近似值 c 采用近似值采用近似值 通过通过谢波尔德公式谢波尔德公式确定测量次数确定测量次数n。随机误差的处理随机误差的处理 由由贝贝塞塞尔尔（Bessel）公公式式可可推推导导出出用用剩剩余余误误差差计计算算近近似似标标准准误差为：误差为： 谢波尔德公式谢波尔德公式给出了标准误差给出了标准误差 、近似误差、近似误差 以及检测设备以及检测设备分辨率分辨率之间的关系：之间的关系： 当测量次数当测
26、量次数n增加，利用随机误差的抵偿性质，使随机误差增加，利用随机误差的抵偿性质，使随机误差对测量结果的影响削弱到与对测量结果的影响削弱到与 相近的数量时，近似误差就趋相近的数量时，近似误差就趋于稳定，此时测量次数于稳定，此时测量次数n为选定值，一般为选定值，一般 n 在在 1020之间。之间。随机误差的处理随机误差的处理粗大误差的剔除粗大误差的剔除v物理判别法物理判别法测量过程中测量过程中人为因素（读错、记录错、操作错）人为因素（读错、记录错、操作错）不符合实验条件不符合实验条件/环境突变（突然振动、电磁干扰等）环境突变（突然振动、电磁干扰等）随时发现，随时剔除，重新测量随时发现，随时剔除，重新
27、测量v统计判别法统计判别法测量完毕测量完毕按照统计方法处理数据，在一定的置信概率下按照统计方法处理数据，在一定的置信概率下确定置信区间确定置信区间，超过误差限超过误差限的判为异常值，予以剔除。的判为异常值，予以剔除。粗大误差的剔除粗大误差的剔除v 拉依达准则拉依达准则 （3 准则）准则）随机误差大于随机误差大于3倍标准差的概率仅为倍标准差的概率仅为0.002 7，如果测量值，如果测量值 Ak 的随机误差为的随机误差为k ，且，且 ，则该测量值含有粗大误差，应，则该测量值含有粗大误差，应予以剔除。予以剔除。 实际应用中用剩余误差代替随机误差，标准差采用估实际应用中用剩余误差代替随机误差，标准差采
28、用估计值，即：计值，即：当当n较小时，特别是当较小时，特别是当n10时，该准则失效。以时，该准则失效。以n=10为例，由贝为例，由贝塞尔公式：塞尔公式：当当n10时时，剩剩余余误误差差总总是是小小于于 ，即即使使在在测测量量数数据据中中含含有有粗粗大误差，也无法判定。大误差，也无法判定。粗大误差的剔除粗大误差的剔除v 格罗布斯（格罗布斯（Grubbs）准则）准则当测量数据中，测量值当测量数据中，测量值Ak 的剩余误差满足下面的条件时，的剩余误差满足下面的条件时，则除去则除去Ak ： 是与测量次数是与测量次数n、显著性水平、显著性水平相关的临界值，可相关的临界值，可以查表获得。以查表获得。与置信
29、概率与置信概率P 的关系为：的关系为： 粗大误差的剔除粗大误差的剔除 n0.010.0531.161.1541.491.4651.751.6761.911.8272.101.9482.222.0392.322.11102.412.18112.482.23122.552.29132.612.33特点：特点：1. 对于次数较少的对于次数较少的粗大误差剔除的准粗大误差剔除的准确性高；确性高； 2. 每次只能剔除一每次只能剔除一个可疑值。个可疑值。粗大误差的剔除粗大误差的剔除 具体步骤：具体步骤：a. 用查表法找出统计量的临界值：用查表法找出统计量的临界值：b. 计算各测量值的剩余误差，找出剩余误差绝
30、对值最大值；计算各测量值的剩余误差，找出剩余误差绝对值最大值；c. 判断：判断：d. 剔除含有粗大误差的测量值后，重新计算标准差估计值，剔除含有粗大误差的测量值后，重新计算标准差估计值，重复步骤重复步骤 ac，直至含有粗大误差的测量值全部被剔除。，直至含有粗大误差的测量值全部被剔除。粗大误差的剔除粗大误差的剔除粗大误差的剔除粗大误差的剔除标准差估计值为：标准差估计值为：【例例】对某种样品进行对某种样品进行8次检测采样，测得长度值为次检测采样，测得长度值为Xi ，如表所示。，如表所示。在置信概率为在置信概率为0.99时，试用格罗布斯准则判断有无粗大误差。时，试用格罗布斯准则判断有无粗大误差。8次
31、测量的平均值为次测量的平均值为 ：计算相应的剩余误差为：计算相应的剩余误差为： i/次次12345678Xi13.613.813.813.412.513.913.513.6i0.090.290.29-0.11-1.010.39-0.010.09第二次第二次i-0.060.140.14-0.26/0.24-0.16-0.06 由上表看出由上表看出 : 值得怀疑。因为值得怀疑。因为n=8，=1-P=1-0.99=0.01，查表可得：，查表可得：于是有于是有:因因故故含有粗大误差，应剔除。含有粗大误差，应剔除。 粗大误差的剔除粗大误差的剔除 n0.010.0531.161.1541.491.4651
32、.751.6761.911.8272.101.9482.222.0392.322.11102.412.18112.482.23122.552.29132.612.33用余下的用余下的7个数据重新计算剩余误差和标准差，个数据重新计算剩余误差和标准差， 标准差估计值为标准差估计值为7个数的平均值为个数的平均值为 故余下故余下7个测量数据中已无粗大误差存在，在后续计算个测量数据中已无粗大误差存在，在后续计算时可以使用。时可以使用。粗大误差的剔除粗大误差的剔除 n0.010.0531.161.1541.491.4651.751.6761.911.8272.101.9482.222.0392.322.11102.412.18112.482.23122.552.29132.612.33
