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1、5.1 二次型的概念二次型的概念一、二次型及其标准形的概念一、二次型及其标准形的概念二、二次型的表示方法二、二次型的表示方法三、合同矩阵三、合同矩阵一、二次型及其标准形的概念一、二次型及其标准形的概念定义定义5.1 含有含有n个变量个变量x1, x2, , xn 的二次齐次函数的二次齐次函数称为称为二次型二次型(quadratic form) .例如例如都为二次型都为二次型 .只含有平方项只含有平方项的二次型的二次型称为二次型的称为二次型的标准形标准形(或或法式法式).例如例如为标准形为标准形. 若标准形中的系数只在若标准形中的系数只在 1,0,1 三个数中取值三个数中取值,即有即有称上式为二
2、次型的称上式为二次型的规范形规范形.例如例如为规范形为规范形.1. 用和号表示用和号表示二次型二次型二、二次型的表示方法二、二次型的表示方法于是有于是有:2. 用矩阵表示用矩阵表示对称矩阵对称矩阵 A 称为二次型称为二次型 f 的矩阵的矩阵. f 称为对称矩阵称为对称矩阵 A的二次型的二次型.对称矩阵对称矩阵 A 的秩称为二次型的秩称为二次型 f 的秩的秩.例例1 1 写出二次型写出二次型的矩阵表示式并求的矩阵表示式并求 f 的秩的秩.解解即二次型即二次型 f 的秩为的秩为 3.例例2 2 是否为二次型是否为二次型?若是若是, 写出写出 f 的矩阵的矩阵.解解故故 f 是二次型是二次型, 且其矩阵为且其矩阵为:三、合同矩阵三、合同矩阵1. 定义定义5.2 若变换矩阵若变换矩阵 C 是可逆矩阵是可逆矩阵, 线性变换线性变换 x=Cy称为可逆称为可逆(线性线性)变换变换.2. 定义定义5.3 设设A和和 B 都是都是 n 阶方阵阶方阵, 若有若有可逆矩阵可逆矩阵 C 使得使得 B=CTAC, 则称矩阵则称矩阵A与与B 合同合同.3. 定理定理5.1 可逆线性变换不改变二次型的秩可逆线性变换不改变二次型的秩. 说明说明: 二次型二次型 f =xTAx 经可逆变换经可逆变换 x=Cy 后后, 其秩不变其秩不变,但但 f 的矩阵由的矩阵由 A 变为变为 B = CTAC.
