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1、弹塑性力学弹塑性力学重庆大学重庆大学 土木工程学院土木工程学院绪论0.1 课程研究对象、研究任务课程研究对象、研究任务0.2 基本假定基本假定0.3 几个基本概念几个基本概念0.4 参考书目参考书目0.1 弹塑性力学的研究对象和任务弹塑性力学的研究对象和任务弹塑性力学弹塑性力学: :研究可变形固体受到外荷载、温度研究可变形固体受到外荷载、温度变化及边界约束变动等作用时、弹变化及边界约束变动等作用时、弹塑性变形和应力状态的科学。塑性变形和应力状态的科学。固体力学的一个分支学科固体力学的一个分支学科研究对象研究对象: :对实体结构、板壳结构、杆件的进对实体结构、板壳结构、杆件的进一步分析。一步分析
2、。PPP研究方法研究方法: :材料力学、结构力学材料力学、结构力学: :简化的数学模型简化的数学模型研究任务研究任务: :弹塑性力学弹塑性力学: :较精确的数学模型较精确的数学模型建立并给出用材料力学、结构力学方建立并给出用材料力学、结构力学方法无法求解的问题的理论和方法。法无法求解的问题的理论和方法。给出初等理论可靠性与精确度的度量。给出初等理论可靠性与精确度的度量。学习目的学习目的: :确定一般工程结构的弹塑性变形与内确定一般工程结构的弹塑性变形与内力的分布规律。力的分布规律。确定一般工程结构的承载能力。确定一般工程结构的承载能力。为研究一般工程结构的强度、振动、为研究一般工程结构的强度、
3、振动、稳定性打下理论基础。稳定性打下理论基础。0.2 基本假定基本假定1).1).假定固体材料是连续介质假定固体材料是连续介质连续性假定连续性假定2).2).物体为均匀的物体为均匀的各向同性各向同性的的3).3).物体的变形属于物体的变形属于小变形小变形4).4).物体原来是处于一种物体原来是处于一种无应力无应力的自然状态的自然状态0.3 几个基本概念几个基本概念张量的概念张量的概念只需指明其大小即足以被说明的物理量，称为标量标量温度、质量、力所做的功除指明其大小还应指出其方向的物理量，称为矢量矢量物体的速度、加速度在讨论力学问题时，仅引进标量和矢量的概念是不够不够的如应力状态、应变状态、惯性
4、矩、弹性模量等张量张量关于三维空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表示成： M=rn=3n标量标量:n=0,:n=0,零阶张量零阶张量矢量矢量:n=1,:n=1,一阶张量一阶张量应力应力, ,应变等应变等:n=2,:n=2,二阶张量二阶张量二阶以上的张量已不可能在三维空间有明显直观的几何意义。0.3 几个基本概念几个基本概念为了书写上的方便，在张量的记法中，都采用下标字母符号来表示和区别该张量的所有分量。这种表示张量的方法，就称为下标记号法下标记号法。下标记号法下标记号法: :不重复出现的下标符号,在其变程N(关于三维空间N3)内分别取数1，2，3，N重复出现的下标符号称为哑标号,取其变程
5、N内所有分量，然后再求和，也即先罗列所有各分量，然后再求和。自由标号自由标号: :哑标号哑标号: :0.3 几个基本概念几个基本概念当一个下标符号在一项中出现两次时，这个下标符号应理解为取其变程N中所有的值然后求和，这就叫做求和约定求和约定。求和约定求和约定: :d dij记号记号：Kroneker-delta记号记号0.3 几个基本概念几个基本概念凡是同阶的两个或两个以上的张量可以相加(减），并得到同阶的一个新张量，法则为：张量的计算张量的计算: :1 、张量的加减第一个张量中的每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量，从而得到一个新的分量的集合新张量，新张量的阶数等于因子张量的阶数之和。2
6、、张量的乘法张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数求导数。3 、张量函数的求导0.4 主要参考书目主要参考书目Foundations of Solid Mechanics1 、Y.C.Fung(冯元桢)2 、杨桂通3 、徐秉业A first course in continuum mechanics 固体力学导论固体力学导论连续介质力学导论连续介质力学导论弹塑性力学弹塑性力学应用弹塑性力学应用弹塑性力学第一章第一章 弹塑性力学基础弹塑性力学基础1.1 应力张量应力张量1.2 偏量应力张量偏量应力张量1.3 应变张量应变张量1.4 应变速率张量应变速率张量1.5 应力、应变应力、应变 Lode
7、参数参数1.1 应力张量力学的语言力学的语言yxzO正应力正应力正应力正应力剪应力剪应力剪应力剪应力过过C点可以做无点可以做无穷多个平面穷多个平面K不同的面上的应不同的面上的应力是不同的力是不同的到底如何描绘一到底如何描绘一点处的应力状态点处的应力状态? ?1).1).一点的应力状态一点的应力状态一点的应力状态一点的应力状态yxzOtyxtyzsytyxtyzsytzxtzysztxytxzsxtxytxzsxtzxtzyszPABC1.1 应力张量一点的应力状态一点的应力状态可由过该点的微小可由过该点的微小正平行六面体上的应力分量来确定。正平行六面体上的应力分量来确定。应力张量应力张量数学上
8、，在坐标变换时，服从一数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式的九个数所定义的定坐标变换式的九个数所定义的量叫做量叫做二阶张量二阶张量二阶张量二阶张量。用张量下标记号法下标下标1、2、3表示坐标表示坐标x1、x2、x3即即x、y、z方向方向(1.1)(1.2)1.1 应力张量2).2).一点斜面上的应力一点斜面上的应力( (不计体力不计体力) )i ：自由下标；j为求和下标（同一项中重复出现）。斜截面外法线斜截面外法线n n的方向余弦的方向余弦: :令斜截面令斜截面ABCABC的面积为的面积为1 1(1.3)(1.4)1.1 应力张量斜截面斜截面OABC上的正应力上的正应力:斜截面斜截面OAB
9、C上的剪应力上的剪应力:(1.5)(1.6)1.1 应力张量3).3).主应力及其不变量主应力及其不变量主平面主平面: :剪应力等于零的截面剪应力等于零的截面主应力主应力-: :主平面上的正应力主平面上的正应力代入代入采用张量下标记号采用张量下标记号Kroneker delta记号(1.7)(1.8)(1.9)1.1 应力张量d dij记号：记号：Kroneker-delta记号记号方向余弦满足条件：方向余弦满足条件：采用张量表示采用张量表示联合求解联合求解 l1,l2,l3：l1,l2,l3不全等于不全等于0 0(1.10)(1.11)(1.12)(1.13)1.1 应力张量联合求解联合求解
10、 l1,l2,l3：行列式展开后得：行列式展开后得：简化后得简化后得(1.14)(1.15)式中式中:是关于是关于的三次方程，它的三个根，即为三个主的三次方程，它的三个根，即为三个主应力，其相应的三组方向余弦对应于三组主平面。应力，其相应的三组方向余弦对应于三组主平面。主应力大小与坐标选择无关，故主应力大小与坐标选择无关，故J J1 1,J,J2 2,J,J3 3也必与坐标选择无关。也必与坐标选择无关。1.1 应力张量若坐标轴选择恰与三个主坐标重合：若坐标轴选择恰与三个主坐标重合：(1.16)主剪应力面：平分两主平面夹角的平面，数值为：主剪应力面：平分两主平面夹角的平面，数值为：(1.17)主
11、剪应力面主剪应力面(t t1 )213t1213t11.1 应力张量最大最小剪应力：最大最小剪应力：取取主方向为坐标轴取向主方向为坐标轴取向, ,则一点处任一截面上的剪应力的计算式则一点处任一截面上的剪应力的计算式: :消去消去l3：由极值条件由极值条件1.1 应力张量最大最小剪应力：最大最小剪应力：第一组解：第一组解：第二组解：第二组解：第三组解：第三组解：它们分别作用在它们分别作用在与相应主方向成与相应主方向成4545 的斜截面上的斜截面上因为：因为：1.1 应力张量4).4).八面体上的应力八面体上的应力s s1s s2s s3沿主应力方向取坐标轴，与坐标轴等倾角的沿主应力方向取坐标轴，
12、与坐标轴等倾角的八个面组成的图形，称为八个面组成的图形，称为八面体八面体。(1.19)八面体的法线方向余弦：八面体的法线方向余弦：八面体平面上应力在三个坐标轴上的投影分别为：八面体平面上应力在三个坐标轴上的投影分别为：八面体（每个坐标象限1个面）或或(1.20)1.1 应力张量4).4).八面体上的应力八面体上的应力s s1s s2s s3八面体面上的正应力为八面体面上的正应力为:八面体面上的剪应力为：八面体面上的剪应力为：八面体（每个坐标象限1个面）(1.23)(1.21)八面体面上的应力矢量为：八面体面上的应力矢量为：(1.22)平均正应力平均正应力1.1 应力张量例题例题: :已知一点的
13、应力状态由以下一组应力分量所确定已知一点的应力状态由以下一组应力分量所确定, 即即 x3, y0, z0, xy1 , yz 2, zx 1, 应力单位为应力单位为MPa。试求该点的主应力值。试求该点的主应力值。 代入式(1.14)后得:解解: :解得主应力为解得主应力为:1.2 应力偏量张量1).1).应力张量分解应力张量分解物体的变形物体的变形(1.32)体积改变体积改变形状改变形状改变由各向相等的应力状态引起的由各向相等的应力状态引起的材料晶格间的移动引起的材料晶格间的移动引起的球应力状态球应力状态/静水压力静水压力弹性性质弹性性质塑性性质塑性性质球形应力张量球形应力张量偏量应力张量偏量
14、应力张量1.2 应力偏量张量1).1).应力张量分解应力张量分解(1.31)球形应力张量球形应力张量偏量应力张量偏量应力张量其中其中:平均正应力平均正应力/静水压力静水压力1.2 应力偏量张量2).2).主偏量应力和不变量主偏量应力和不变量(1.31)二阶对称张量二阶对称张量其中其中:剪应力分量始剪应力分量始终没有变化终没有变化主偏量应力主偏量应力(1.33)1.2 应力偏量张量证明偏应力状态证明偏应力状态证明偏应力状态证明偏应力状态 的主方向与原应力状态的主方向与原应力状态的主方向与原应力状态的主方向与原应力状态 的主方向重合的主方向重合的主方向重合的主方向重合例例:设原应力状态 主方向的方
15、向余弦为l1,l2,l3，则由式(1.9)得证明：证明：显然，方向余弦l1,l2,l3将由式(a)中的任意两式和l12+l22+l32=1所确定。(a)若设偏应力状态 主方向的方向余弦为l1,l2,l3，则由式(1.9)同样得：显然，方向余弦l1,l2,l3将由式(b)中的任意两式和l12+l22+l3 2=1所确定。(b)由于:l1=l1; l2=l2 ; l3= l3 可见式(a)与式(b)具有相同的系数，且已知l12+l22+l32= l12+l22+l3 2=11.2 应力偏量张量2).2).主偏量应力和不变量主偏量应力和不变量(1.33)偏应力状态偏应力状态偏应力状态偏应力状态 的主
16、方向与原应力状态的主方向与原应力状态的主方向与原应力状态的主方向与原应力状态 的主方向一致的主方向一致的主方向一致的主方向一致, , , ,主值为主值为主值为主值为: : : :满足三次代数方程式：满足三次代数方程式：(1.34)式中式中J1,J2,J3为不变量为不变量(1.35)1.2 应力偏量张量(1.40)利用利用J1=0，不变量不变量J2还可写为还可写为:(1.38)1.2 应力偏量张量(1.43)3).3).等效应力等效应力( (应力强度应力强度) )在弹塑性力学中，为了使用方便，将 乘以系数 后，称之为等效应力等效应力(1.41)简单拉伸时简单拉伸时: :“等效等效”的命名由此而来
17、。各正应力增加或减少一个平均应力，等效应力的数值不变，这也说明等效应力与球应力状态无关1.2 应力偏量张量(1.42)4).4).等效剪应力等效剪应力( (剪应力强度剪应力强度) )“等效等效”的命名由此而来。例题：例题：已知结构内某点的应力张量如已知结构内某点的应力张量如右式，试求该点的球形应力张量、偏右式，试求该点的球形应力张量、偏量应力张量、等效应力及主应力数值。量应力张量、等效应力及主应力数值。 解：解：解：解：1.2 应力偏量张量等效应力等效应力: :1.2 应力偏量张量关于主应力的方程为关于主应力的方程为: :由主应力求等效应力由主应力求等效应力: :1.2 应力偏量张量1.3 应
18、变张量1).1).一点应变状态一点应变状态位移位移刚性位移刚性位移变形位移变形位移物体内各点的位置虽然均有变化，但任意两物体内各点的位置虽然均有变化，但任意两点之间的距离却保持不变。点之间的距离却保持不变。物体内任意两点之间的相对距离发生了改变。物体内任意两点之间的相对距离发生了改变。要研究物体在外力作用下的变形规律，只需要研究物体内各点要研究物体在外力作用下的变形规律，只需要研究物体内各点的相对位置变动情况，也即研究的相对位置变动情况，也即研究变形位移变形位移位移函数位移函数位置坐标的单值连续函数1.3 应变张量微小六面体单元的变形微小六面体单元的变形当物体在一点处有变形时，小单元体的当物体
19、在一点处有变形时，小单元体的尺寸尺寸(即单元体各棱边的长度即单元体各棱边的长度)及形状及形状(即即单元体各面之间所夹直角单元体各面之间所夹直角)将发生改变。将发生改变。由于变形很微小，可以认为两由于变形很微小，可以认为两个平行面在坐标面上的投影只个平行面在坐标面上的投影只相差高阶微量，可忽略不计。相差高阶微量，可忽略不计。1.3 应变张量微小六面体单元的变形微小六面体单元的变形B点位移分量点位移分量D点位移分量点位移分量A点位移分量点位移分量xOy的改变量的改变量:1.3 应变张量变形后变形后AB边长度的平方边长度的平方:M点沿点沿X方向上的方向上的线应变线应变:(a)(b)(c)代入代入(a
20、)得得:略去高阶微量略去高阶微量同理，同理，M点沿点沿Y方向方向上的上的线应变线应变:1.3 应变张量同理同理:xOy的改变量，即的改变量，即剪应变剪应变:1.3 应变张量对角线对角线AC线的线的转角转角:刚性转动刚性转动1.3 应变张量(1.44)1).1).一点应变状态一点应变状态工程应变分量：工程应变分量：(几何方程几何方程/柯西几何关系柯西几何关系)1.3 应变张量(1.45)1).1).一点应变状态一点应变状态受力物体内某点处所取无限多方向上的受力物体内某点处所取无限多方向上的线应变线应变与与剪应变剪应变( (任意两相任意两相互垂直方向所夹直角的改变量互垂直方向所夹直角的改变量) )
21、的的总和总和，就表示了该点的应变状态。，就表示了该点的应变状态。定义定义: :应变张量应变张量: :(1.46)1.3 应变张量2).2).主应变及其不变量主应变及其不变量由全微分公式由全微分公式: :M点的位移分量点的位移分量N点的位移分量点的位移分量表示刚性转动，不引起应表示刚性转动，不引起应变，计算应变时可忽略。变，计算应变时可忽略。1.3 应变张量在主应变空间中在主应变空间中: :主平面法线方主平面法线方向的线应变向的线应变主应变主应变: :1.3 应变张量类似于应力张量类似于应力张量: :e e e eij ij: : : : 二阶对称张量。主应变二阶对称张量。主应变二阶对称张量。主
22、应变二阶对称张量。主应变e e e e1 1, , e e e e2 2, , e e e e3 3 满足：满足：满足：满足： e e e ei i3 3 - - - -I I I I1 1 1 1e e e ei i2 2 - - - -I I I I2 2 2 2e e e ei i - - - -I I I I3 3 3 3 =0 =0 I I I I1 1 1 1、I I I I2 2 2 2 、I I I I3 3 3 3 为应变张量不变量。为应变张量不变量。为应变张量不变量。为应变张量不变量。其中其中: :(1.47)(1.48)平均正应变平均正应变: :1.3 应变张量偏量应变张
23、量偏量应变张量: :(1.52)eij 的主轴方向与eij 的主方向一致，主值为: e1= e1-e ， e2= e2-e ， e3= e3-e满足三次代数方程式：(1.50)(1.51)I I2 2应用较广应用较广, ,又可表达为又可表达为: :1.3 应变张量等效应变等效应变( (应变强度应变强度):):(1.54)等效剪应变等效剪应变( (剪应变强度剪应变强度):):(1.55)1.4 应变速率张量一般来说物体变形时，体内任一点的变形不但与坐标有关，一般来说物体变形时，体内任一点的变形不但与坐标有关，而且与时间也有关。如以而且与时间也有关。如以u、v、w表示质点的位移分量，则表示质点的位
24、移分量，则:设设应变速率分量应变速率分量为为: :质点的运动速度分量质点的运动速度分量1.4 应变速率张量线应变速率线应变速率在在小变形情况小变形情况下，下，应变速率分量应变速率分量与与应变分量应变分量之间存在有简单关系之间存在有简单关系: :剪剪应应变变速速率率1.4 应变速率张量在在小变形情况小变形情况下的下的应变速率张量应变速率张量: :(1.56)可缩写为可缩写为在一般情况下，应变速率主在一般情况下，应变速率主方向与应变主方向不重合，方向与应变主方向不重合，且在加载过程中发生变化。且在加载过程中发生变化。1.4 应变速率张量应变增量应变增量: :应变增量应变增量由位由位移增量微分得：移
25、增量微分得：由于时间度量的绝对值对塑性规律没有影响，因此由于时间度量的绝对值对塑性规律没有影响，因此dt可不代可不代表真实时间，而是代表一个加载过程。因而表真实时间，而是代表一个加载过程。因而用应变增量张量用应变增量张量来代替应变率张量来代替应变率张量更能表示不受时间参数选择的特点。更能表示不受时间参数选择的特点。(1.57)应变微分应变微分由两由两时刻应变差得：时刻应变差得：泰勒级数展开泰勒级数展开高阶微量高阶微量忽略高阶微量忽略高阶微量1.5 应力和应变的Lode参数一一、应力莫尔圆应力莫尔圆（表示一点应力状态的图形）（表示一点应力状态的图形） : :任一斜面上应力任一斜面上应力位于阴影线
26、内位于阴影线内ms=Q2A/Q1A=(Q2Q3-Q1Q2)/Q1Q3AOsts3s1s2O3O2O1Q3Q2Q1如果介质中某点的三个主应如果介质中某点的三个主应力的大小为已知，便可以在力的大小为已知，便可以在 - - 平面内绘出相应的应力圆。平面内绘出相应的应力圆。1.5 应力和应变的Lode参数一一、应力莫尔圆应力莫尔圆（表示一点应力状态的图形）（表示一点应力状态的图形） : :AOsts3s1s2O3O2O1Q3Q2Q1(1.61)1.5 应力和应变的Lode参数一一、应力莫尔圆应力莫尔圆（表示一点应力状态的图形）（表示一点应力状态的图形） : :AOsts3s1s2O3O2O1Q3Q2Q
27、1(1.63)式(1.63)表明，当一点处于空间应力状态时，过该点的任一斜截面上的一对应力分量、一定落在分别以(1-2)2、 (2-3)2 、 (3- 1)2为半径的三个圆的圆周所包围的阴影面积(包括三个圆周)之内。1.5 应力和应变的Lode参数若在一应力状态上再叠加一个球形应力状态若在一应力状态上再叠加一个球形应力状态(各向等拉或各向等压各向等拉或各向等压)，则应力，则应力圆的三个直径并不改变，只是整个图形沿横轴发生平移。圆的三个直径并不改变，只是整个图形沿横轴发生平移。应力圆在横轴上的整体位置取决于球形应力张量；而各圆的大小应力圆在横轴上的整体位置取决于球形应力张量；而各圆的大小(直径直
28、径)则则取决于偏应力张量，与球形应力张量无关。取决于偏应力张量，与球形应力张量无关。 一点应力状态中的主应力按同一比例缩小或增大一点应力状态中的主应力按同一比例缩小或增大(应力分量的大小有改变，但应力分量的大小有改变，但应力状态的形式不变应力状态的形式不变)，则应力圆的三个直径也按同一比例缩小或增大，即，则应力圆的三个直径也按同一比例缩小或增大，即应力变化前后的两个应力圆是相似的。这种情况相当于偏量应力张量的应力变化前后的两个应力圆是相似的。这种情况相当于偏量应力张量的各分量的大小有了改变，但张量的形式保持不变。各分量的大小有了改变，但张量的形式保持不变。 1.5 应力和应变的Lode参数二、
29、二、应力应力Lode参数参数: :几何意义几何意义: :应力圆上应力圆上Q Q2 2A A与与Q Q1 1A A之比，或两内圆直径之比，或两内圆直径之差与外圆直径之比。之差与外圆直径之比。球形应力张量对塑性变形没有明显影响，因而常球形应力张量对塑性变形没有明显影响，因而常把这一因素分离出来，而着重研究偏量应力张量。把这一因素分离出来，而着重研究偏量应力张量。为此，引进参数为此，引进参数Lode参数参数：Lode参数：表征参数：表征Q2在在Q1与与Q3之间的相对位置，反之间的相对位置，反映中间主应力对屈服的贡献。映中间主应力对屈服的贡献。AOsts3s1s2O3O2O1Q3Q2Q1(1.64)1
30、.5 应力和应变的Lode参数应力应力Lode参数的参数的物理意义物理意义：1、与、与平均应力无关；平均应力无关；2 2、其、其值确定了应力圆的三个直径之比；值确定了应力圆的三个直径之比；3 3、如果两个应力状态的如果两个应力状态的Lode参数相等，就说明两个应力状态参数相等，就说明两个应力状态 对应的应力圆是相似的，即对应的应力圆是相似的，即偏量应力张量的形式相同偏量应力张量的形式相同；Lode参数是排除球形应力张量的影响而描绘应力状参数是排除球形应力张量的影响而描绘应力状态特征的一个参数。它可以表征偏应力张量的形式。态特征的一个参数。它可以表征偏应力张量的形式。(1.65)1.5 应力和应
31、变的Lode参数简单应力状态的简单应力状态的Lode参数：参数：Q3OQ1Q2stAQ1OQ2Q3stA单向压缩(s1=s2=0, s30, s2=s3=0) ms=1 ms=-11.5 应力和应变的Lode参数简单应力状态的简单应力状态的Lode参数：参数：Q2OQ1Q3st纯剪(s10, s2=0, s3=-s1): ms=01.5 应力和应变的Lode参数为表征偏量应变张量的形式，引入为表征偏量应变张量的形式，引入应变应变Lode参数参数：三、三、应变应变Lode参数参数: :如果两种应变状态的如果两种应变状态的m me e 相等，则表明它们所对应的应变相等，则表明它们所对应的应变莫尔圆
32、是相似的，也就是说，偏量应变张量的形式相同。莫尔圆是相似的，也就是说，偏量应变张量的形式相同。几何意义：应变莫尔圆上几何意义：应变莫尔圆上Q2A与与Q1A之比之比(1.66)1.6 弹性力学的基本方程应力分量满足平衡方程：应力分量满足平衡方程：一、平衡方程一、平衡方程(1.67)1.6 弹性力学的基本方程弹性体的应力弹性体的应力-应变关系服从虎克定律应变关系服从虎克定律二、物理方程二、物理方程(1.72)1.6 弹性力学的基本方程 x对对y， y对对x求两次偏导，有：求两次偏导，有：三、应变协调方程三、应变协调方程保证物体在变形后不会出现保证物体在变形后不会出现撕裂撕裂，套叠套叠的现象的现象1.6 弹性力学的基本方程类似可得三维问题的类似可得三维问题的应变协调方程应变协调方程：(1.82)1.6 弹性力学的基本方程例题：例题：设有应变分量如右式，其余的应变分量均为零。若它们是一种可能的应变状态试确定各常数之间的关系。解：解：如果应变分量是一种可能的应变状态，则需满足变形协调方程。根据给定的应变分量，式(1.82) 中的五个式子均恒满足、余下必须满足的应变协调方程为:代入给定的应变分量有:比较两边对应项系数有:所以解为：所以解为：
