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1、1、平面向量的坐标表示与平面向量基、平面向量的坐标表示与平面向量基本定理的关系。本定理的关系。2、平面向量的坐标是如何定义的？、平面向量的坐标是如何定义的？3、平面向量的坐标运算有何特点？、平面向量的坐标运算有何特点？类似地，由平面向量的基本定理，对于平面上的类似地，由平面向量的基本定理，对于平面上的任意向量任意向量，均可以分解为不共线的两个向量，均可以分解为不共线的两个向量和和使得使得在不共线的两个向量中，垂直是一种重要是在不共线的两个向量中，垂直是一种重要是情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量叫做把向量正交分解正交分解。我们知道，在
2、平面直角坐标系，我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？每一个向量，如何表示？在平面上，如果选取互相垂直的向量作为在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。基底时，会为我们研究问题带来方便。ayjiO图1x（1，0）（0，1）（0，0） 我们把（我们把（x,y)x,y)叫做向叫做向量量a a 的（直角）坐标，记作的（直角）坐标，记作 a=(xa=(x，y),y), 其中其中x x叫做叫做a a 在在x x轴上的轴上的坐标，坐标，y
3、 y叫做叫做a a 在在y y轴上的坐标，轴上的坐标，（x ,yx ,y）叫做）叫做向量的坐标表示。向量的坐标表示。a=xi+yjxiyjayjiO图1xxiyj平移以后，向量坐标不会改变。平移以后，向量坐标不会改变。yxOyxjA（x,y）a如图，在直角坐标平面内，以原如图，在直角坐标平面内，以原点点O为起点作为起点作OA=a，则点，则点A的位的位置由置由a唯一确定。唯一确定。设设OA=xi+yj，则向量，则向量OA的坐标的坐标（x,y)就是点就是点A的坐标；反过来，的坐标；反过来，点点A的坐标（的坐标（x,y)也就是向量也就是向量OA的坐标。因此，在平面直角坐标的坐标。因此，在平面直角坐标
4、系内，每一个平面向量都可以用系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。一对实数唯一表示。i向量向量一一对应一一对应有序实数对有序实数对已知已知，你能得出你能得出，的坐标吗？的坐标吗？123415234x xy y5012341234o问题：问题： 若若已知已知=（1，3），=（5，1），），ab如何求如何求+，的坐标呢？的坐标呢？abababC（6，4）=（x1x2，y1y2）ba（x1，y1）（x2，y2）ba=（x1+y1） +（x2+y2）=（x1+x2）+(y1+y2)猜想：猜想：=（x1x2，y1y2）ba证明：证明：=（x1,）+(,y2)=（x1+y1） +（x2+y2）这就
5、是说，两个向量和与差的坐标分别等这就是说，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。于这两个向量相应坐标的和与差。已知，已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则，则a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j即即a+b=(x1+x2,y1+y2)同理可得同理可得a-b=(x1-x2,y1-y2)探究探究：若若已知已知点点A、B的坐标分别为的坐标分别为（1，3），（4，2），如何求），如何求的坐标呢？的坐标呢？AB12341返回返回5234x xy y5012341234o(3,1）的坐标可能为的坐标可能为（x2x1,y2y1)ABB（
6、4，2）A（1，3）（x1，y1）（x2，y2）（x1，y1）（x2，y2） ABAB OAOA OBOB (x(x2 2 x x1 1 ,y,y2 2 y y1 1) )(x(x2 2 ,y,y2 2) ) (x(x1 1,y,y1 1) )结论：结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的向线段的终点的坐标终点的坐标减去减去始点的坐标始点的坐标练习：已知表示向量练习：已知表示向量a的有向线段始点的有向线段始点A的的坐标，求它的终点坐标，求它的终点B的坐标的坐标.(1)a=(-2,1),A(0,0);(2)(2)a=(1,3),A(-1,5);(3)a=(-
7、2,-5),A(3,7).已知a=(x,y)和实数，那么 a= (x, y) 即a=(x, y)l这就是说，实数与向量的积的坐 标等于这个实数乘以原来向量的 相应坐标。平面向量的坐标运算法则重点重点例例1.已知已知a（2，1），），b（3，4），），求求a+b，ab，3a+4b解：解：a+b=(2,1)+(-3,4)=(2-3,1+4)=(-1,5)a-b=(2,1)-(-3,4)=(2+3,1-4)=(5,-3)3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(32,31)+(4(-3),44)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19)已知三个力已知三个力(3,4), (2, 5),(x,y)
8、的合力的合力+=求求的坐的坐标。解：由解：由题设+=得：得：(3,4)+(2, 5)+(x,y)=(0,0)即：即： ( 5,1)练习：练习：拓展练习拓展练习练练习习：（20092009辽辽宁宁文文，1313）在在平平面面直直角角坐坐标标系系xOyxOy中中，四四边边形形ABCDABCD的的边边ABABDCDC，ADADBCBC. .已已知知A A（-2-2，0 0）, , B B（6 6，8 8），），C C（8 8，6 6），则），则D D点的坐标为点的坐标为 . . 解析解析 设设D D点的坐标为（点的坐标为（x x, ,y y）, ,由题意知由题意知 , , 即（即（2 2，-2-2）
9、=(=(x x+2,+2,y y) )，所以，所以x x=0,=0,y y=-2,=-2,D D(0,-2).(0,-2). (0,-2)(0,-2)12345xy5012341122345C CA AB BD D66例例3.3.已知已知 ABCDABCD的三个顶点的三个顶点A A、B B、C C的坐的坐标分别为标分别为( (2 2，1 1) )、( (1 1，3 3) )、( (3 3，4 4) )，求顶点求顶点D D的坐标。的坐标。ABCDxyO解：设点解：设点D的坐标为（的坐标为（x,y）解得解得x=2,y=2所以顶点所以顶点D的坐标为（的坐标为（2，2） 已知已知 ABCDABCD的三
10、个顶点的三个顶点A A、B B、C C的坐的坐标分别为标分别为( (2 2，1 1) )、( (1 1，3 3) )、( (3 3，4 4) )，求顶点求顶点D D的坐标。的坐标。例3.OyxABCD解法2：顶点顶点D D的坐标为（的坐标为（2,22,2）变式：已知平面上三点的坐标分别为变式：已知平面上三点的坐标分别为A( 2, 1), B( 1, 3), C(3, 4)，求点，求点D的坐标使这四的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。点构成平行四边形四个顶点。OyxABC解：当平行四边形为解：当平行四边形为ADCB时，时，由由得得D1=(2, 2)当平行四当平行四边形形为ACDB时，得得D2=
11、(4,6)D1D2当平行四边形为当平行四边形为DACB时，时，得得D3=( 6, 0)D3规范答题：规范答题：例例4.4.（1212分分）平平面面内内给给定定三三个个向向量量a a=(3,2),=(3,2),b b= =(-1,2),(-1,2),c c=(4,1).=(4,1).回答下列问题：回答下列问题： （1 1）若（）若（a a+ +k kc c）(2(2b b- -a a) )，求实数，求实数k k; ; (2)(2)设设 d d=(=(x x, ,y y) )满满 足足 ( (d d- -c c)()(a a+ +b b) )且且 | |d d- -c c|=1,|=1,求求d d
12、. . （1 1）由由两两向向量量平平行行及及两两向向量量平平行行的的条条件件得得出出关关于于k k的的方方程程，从而求出实数从而求出实数k k的值的值. . （2 2）由由两两向向量量平平行行及及| |d d- -c c|=1|=1得得出出关关于于x x, ,y y的的两两个个方方程程，解解方程组即可得出方程组即可得出x x, ,y y的值，从而求出的值，从而求出d d. .解解 （1 1）（a a+ +k kc c）（2 2b b- -a a），），又又a a+ +k kc c=(3+4=(3+4k k,2+,2+k k),2),2b b- -a a=(-5,2),=(-5,2),22分分
13、 2(3+42(3+4k k)-(-5)(2+)-(-5)(2+k k)=0,)=0,44分分 k k=- .=- .66分分 （2 2）d d- -c c=(=(x x-4,-4,y y-1),-1),a a+ +b b=(2,4),=(2,4),又又( (d d- -c c)()(a a+ +b b) )且且| |d d- -c c|=1,|=1, 4( 4(x x-4)-2(-4)-2(y y-1)=0-1)=0 ( (x x-4)-4)2 2+(+(y y-1)-1)2 2=1,=1,88分分 解题示范解题示范 1212分分 向量平行的坐标公式实质是把向量问题转向量平行的坐标公式实质是
14、把向量问题转化为实数的运算问题化为实数的运算问题. .通过坐标公式建立参数的方通过坐标公式建立参数的方程，通过解方程或方程组求得参数，充分体现了方程程，通过解方程或方程组求得参数，充分体现了方程思想在向量中的应用思想在向量中的应用. . 探究提高探究提高解得解得1010分分 知能迁移知能迁移 已知点已知点O O（0 0，0 0），），A A（1 1，2 2），），B B（4 4，5 5）且）且 （1 1）求点）求点P P在第二象限时，实数在第二象限时，实数t t的取值范围；的取值范围； （2 2）四边形）四边形OABPOABP能否为平行四边形？若能，求出能否为平行四边形？若能，求出相应的实数相
15、应的实数t t; ;若不能，请说明理由若不能，请说明理由. . 解解 O O（0 0，0 0），），A A（1 1，2 2），），B B（4 4，5 5），）， = =（1 1，2 2），）， = =（4-14-1，5-25-2）= =（3 3，3 3）. . （1 1）设）设P P（x x，y y），则），则 = =（x x，y y），若点），若点P P在第二在第二象限，象限， x x0 0 y y0 0则则且且( (x x, ,y y)=(1,2)+)=(1,2)+t t(3,3),(3,3), x x=1+3=1+3t t 1+3 1+3t t0 0 y y=2+3=2+3t t 2+3
16、 2+3t t0,0,（2 2）因因为为 = =（1 1，2 2）， （3-33-3t t，3-3-3 3t t），），若四边形若四边形OABPOABP为平行四边形，则为平行四边形，则 3-33-3t t=1=1 3-3 3-3t t=2,=2,无解，无解，四边形四边形OABPOABP不可能为平行四边形不可能为平行四边形. ., , 总结提高：总结提高： （1 1）要要加加强强对对向向量量的的坐坐标标与与该该向向量量起起点点、终终点点的的关关系系的的理理解解，以以及及对对坐坐标标运算的灵活应用运算的灵活应用. .（2 2）向向量量的的坐坐标标运运算算是是向向量量运运算算的的数数量量表表达达形形
17、式式，更更能能利利用用代代数数知知识识解解决决，也是向量被广泛应用的基础也是向量被广泛应用的基础. .小结回顾小结回顾1.1.平面向量坐标的加平面向量坐标的加. .减运算法则减运算法则 =(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)=(x1,y1)-(x2,y2)=(x1-x2,y1-y2)2.2.平面向量坐标实数与向量相乘的运算法则平面向量坐标实数与向量相乘的运算法则3.3.平面向量坐标平面向量坐标若若A(x1,y1),B(x2,y2)则则=(x2-x1,y2y1) =(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)4.引进向量的坐标后，向量的基本运算转化为实数的基本
18、运算，可以解方程，可以解不等式，总之问题转化为我们熟知的领域之中。5.要把点坐标(x,y)与向量坐标区分开来，两者不是一个概念。作业：作业：课本习题课本习题2-4A组组2,3题题谢谢听课谢谢听课基础自测基础自测一、选择题一、选择题1.1.（20082008辽宁文，辽宁文，5 5）已知四边形已知四边形ABCDABCD的顶点的顶点 A A（0 0，2 2）、）、B B（-1-1，-2-2）、）、C C（3 3，1 1）, ,且且 = = 2 2 则顶点则顶点D D的坐标为的坐标为（） A. A. B.B. C.(3,2) C.(3,2)D.(1,3)D.(1,3) 解析解析 A A(0,2),(0
19、,2),B B(-1,-2),(-1,-2),C C(3,1),(3,1), =(3,1)-(-1,-2)=(4,3). =(3,1)-(-1,-2)=(4,3). D D（x x，y y), =(), =(x x, ,y y-2), =2 ,-2), =2 , (4,3)=(2 (4,3)=(2x x,2,2y y-4).-4).x x=2,=2,y y= .= .A2.2.已知已知a a=(4,2),=(4,2),b b=(=(x x,3),3),且且a ab b，则，则x x等于（等于（）A.9A.9B.6B.6C.5C.5D.3D.3 解析解析 a ab b，12-212-2x x=0
20、=0，x x=6.=6.3.3.已知两点已知两点A A（4 4，1 1），），B B（7 7，-3-3），则与），则与 同向同向的单位向量是的单位向量是（） A. A. B.B. C. C. D. D. 解析解析 A A（4 4，1 1），），B B（7 7，-3-3），）， = =（3 3， -4-4），）， 与与 同向的单位向量为同向的单位向量为BA4.4.（20082008安徽理，安徽理，3 3）在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中，中，ACAC为一条对角线，若为一条对角线，若 = =（2 2，4 4），）， = =（1 1，3 3），），则则 等于等于（） A.A.（-2-2，-
21、4-4）B.B.（-3-3，-5-5） C.C.（3 3，5 5）D.D.（2 2，4 4） 解析解析 如图所示，如图所示， （-1-1，-1-1），）， 所以所以 （-3-3，-5-5）. .B5.5.（20092009湖北文，湖北文，1 1）若向量若向量a a=(1,1),=(1,1),b b=(-1,1),=(-1,1), c c=(4,2),=(4,2),则则c c= =（） A.3A.3a a+ +b bB.3B.3a a- -b b C.- C.-a a+3+3b bD.D.a a+3+3b b 解析解析 设设c c= =x xa a+ +y yb b, ,则则(4,2)=(4,2
22、)=x x(1,1)+(1,1)+y y(-1,1),(-1,1), 4= 4=x x- -y y, , x x=3.=3. 2= 2=x x+ +y y. . y y=-1.=-1.B故故c c=3=3a a- -b b. .6.6.若若a a=(2cos=(2cos ,1),1),b b=(sin ,1),=(sin ,1),且且a ab b，则，则 tantan 等于等于 （） A.2A.2B. B. C.-2C.-2D.D. 解析解析 a ab b，2cos2cos 1=sin1=sin .tan .tan =2.=2.A7.7.已知向量已知向量a a=(1,2),=(1,2),b b
23、=(0,1),=(0,1),设设u u= =a a+ +k kb b, ,v v=2=2a a- -b b，若，若 u uv v，则实数，则实数k k的值为的值为（） A.-1A.-1B. B. C. C. D.1D.1 解析解析 u u= =（1 1，2 2）+ +k k（0 0，1 1）= =（1 1，2+2+k k），）， v v= =（2 2，4 4）- -（0 0，1 1）= =（2 2，3 3），又），又u uv v， 13=213=2（2+2+k k），得），得k k= .= .B8.8.（20092009重重庆庆文文，4 4）已已知知向向量量a a=(1,1),=(1,1),b
24、 b=(2,=(2,x x).).若若a a+ +b b与与4 4b b-2-2a a平行，则实数平行，则实数x x的值是的值是（） A.-2A.-2B.0B.0C.1C.1D.2D.2 解解析析 a a+ +b b=(3,1+=(3,1+x x),4),4b b-2-2a a=(=(6,4x-6,4x-2),2),a a+ +b b与与4 4b b- -2 2a a平行，则平行，则4 4x x-2=2(1+-2=2(1+x x),),x x=2.=2.D9.9.已知向量已知向量 = =（1 1，-3-3），）， = =（2 2，-1-1），）， = = （m m+1+1，m m-2-2），若
25、点），若点A A、B B、C C能构成三角形，则实能构成三角形，则实 数数m m应满足的条件是应满足的条件是（） A.A.m m-2-2B.B.m m C. C.m m11D.D.m m-1-1 解析解析 若点若点A A、B B、C C不能构成三角形，则只能共线不能构成三角形，则只能共线. . (2 (2，-1)-1)-（1 1，-3-3）=(1=(1，2)2)， （m m+1+1，m m-2-2）- -（1 1，-3-3）= =（m m，m m+1+1）. . 假设假设A A、B B、C C三点共线，三点共线， 则则1(1(m m+1)-2+1)-2m m=0,=0,即即m=m=1.1. 若
26、若A A、B B、C C三点能构成三角形，则三点能构成三角形，则m m1.1.C10.10.已已知知O O为原点，为原点，A A、B B是两定点，是两定点， = =a a， = =b b，且点，且点P P关关 于点于点A A的对称点为的对称点为Q Q，Q Q关于点关于点B B的对称点为的对称点为R R，则，则 等等 于于 （ ） A.A.a a- -b bB.2B.2（a a- -b b） C.2C.2（b b- -a a）D D. .b b- -a a 解析解析 设设 = =a a= =（x x1 1，y y1 1），）， = =b b= =（x x2 2，y y2 2），）， 则则A A（
27、x x1 1，y y1 1），），B B（x x2 2，y y2 2）. . 设设P P（x x，y y），则由中点坐标公式可得），则由中点坐标公式可得 Q Q（2 2x x1 1- -x x,2,2y y1 1- -y y）, ,R R(2(2x x2 2-2-2x x1 1+ +x x,2,2y y2 2-2-2y y1 1+ +y y).). (2 (2x x2 2-2-2x x1 1,2,2y y2 2-2-2y y1 1) ) =2( =2(x x2 2, ,y y2 2)-2()-2(x x1 1, ,y y1 1),),即即 =2=2（b b- -a a）. .C二、填空题二、填
28、空题11.11.（20092009广东理，广东理，1010）若平面向量若平面向量a a, ,b b满足满足| |a a+ +b b|=1,|=1, a a+ +b b 平行于平行于x x轴，轴，b b=(2=(2，-1),-1),则则a a= = . . 解解析析 | |a a+ +b b|=1,|=1,a a+ +b b平平行行于于x x轴轴，故故a a+ +b b=(1,0)=(1,0)或或（- -1 1，0 0）,a a=(1,0)-(2,-1)=(-1,1)=(1,0)-(2,-1)=(-1,1)或或a a(-1,0)(-1,0) - -（2 2，-1-1）= =（-3-3，1 1）.
29、 .12.12.已知向量已知向量a a=(2=(2x x+1,4),+1,4),b b=(2-=(2-x x,3),3)，若，若a ab b，则实数，则实数 x x的值等于的值等于. . 解析解析 由由a ab b得得3(23(2x x+1)=4(2-+1)=4(2-x x),),解得解得x x= .= .(-1,1)(-1,1)或（或（-3-3，1 1）13.13.已知向量集合已知向量集合M M=a a| |a a= =（1 1，2 2）+ + （3 3，4 4），）， R R ，N N=b b| |b b= =（-2-2，-2-2）+ + （4 4，5 5），）， R R ， 则则M MN
30、 N= = . . 解析解析 由由(1,2)+ (1,2)+ 1 1(3,4)=(-2,-2)+ (3,4)=(-2,-2)+ 2 2(4,5),(4,5), M MN N=(-2,-2).=(-2,-2).(-2,-2)(-2,-2)14.14.已已知知向向量量a a= =（8, 8, x x），b b=(=(x x,1),1)，其其中中x x0 0，若若( (a a- - 2 2b b)(2)(2a a+ +b b) )，则，则x x的值为的值为 . . 解析解析 a a-2-2b b= =（8-28-2x x, , x x-2-2），），2 2a a+ +b b=(16+=(16+x x
31、, ,x x+1),+1), 由已知由已知( (a a-2-2b b)(2)(2a a+ +b b),),显然显然2 2a a+ +b b0 0，故有（，故有（8-28-2x x, , x x-2-2）= = (16+(16+x x, ,x x+1)+1) 8-2 8-2x x= = (16+(16+x x) ) x x-2=-2= ( (x x+1)+1)4 4x x=4 (=4 (x x0).0).三、解答题三、解答题15.15.已知已知A A(1,-2),(1,-2),B B（2 2，1 1），），C C（3 3，2 2）, ,D D（-2,3-2,3）, , 以以 ， 为一组基底来表示
32、为一组基底来表示 . . 解解 =(1=(1，3)3)， =(2=(2，4)4)， =(-3=(-3，5)5)， = =（-4-4，2 2），）， = =（-5-5，1 1），）， （-3-3，5 5）+ +（-4-4，2 2）+ +（-5-5，1 1）= =（-12-12，8).8).根据平面向量基本定理，必存在唯一实数对根据平面向量基本定理，必存在唯一实数对m m, ,n n使得使得（-12-12，8 8）= =m m（1 1，3 3）+ +n n（2 2，4 4）. . -12= -12=m m+2+2n n, , 8=3 8=3m m+4+4n n, ,得得m m=32=32，n n=
33、-22.=-22.16.16.已知已知A A(-2(-2，4),4),B B（3 3，-1-1）, ,C C（-3-3，-4-4）. .设设 = =a a， = =b b， = =c c，且，且 =3=3c c， =-2=-2b b， （1 1）求：）求：3 3a a+ +b b-3-3c c； （2 2）求满足）求满足a a= =m mb b+ +n nc c的实数的实数m m, ,n n. . 解解 由已知得由已知得a a=(5,-5),=(5,-5),b b=(-6,-3),=(-6,-3),c c=(1,8).=(1,8). (1)3 (1)3a a+ +b b-3-3c c =3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2) (2)m mb b+ +n nc c=(-6=(-6m m+ +n n,-3,-3m m+8+8n n),), -6 -6m m+ +n n=5 =5 m m=-1=-1 -3 -3m m+8+8n n=-5, =-5, n n=-1.=-1.解得解得
