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1、第九章第九章第九章第九章 重重重重 积积积积 分分分分1 重积分是定积分的推广和发展重积分是定积分的推广和发展.其同定积分其同定积分一样也是某种确定和式的极限一样也是某种确定和式的极限,其其基本思想基本思想是是四步曲四步曲: 分割、取近似、求和、取极限分割、取近似、求和、取极限. 定积分的被积函数是一元函数定积分的被积函数是一元函数,其积分区域其积分区域是一个确定区间是一个确定区间. 而二重、三重积分的被积函数是二元、三而二重、三重积分的被积函数是二元、三元函数元函数,其积分域是一个平面有界闭区域和空其积分域是一个平面有界闭区域和空间有界闭区域间有界闭区域. 重积分有其广泛的应用重积分有其广泛
2、的应用.序序序序 言言言言2问题的提出问题的提出二重积分的概念二重积分的概念二重积分的性质二重积分的性质小结小结 思考题思考题 作业作业double integral第一节第一节 二重积分二重积分的概念的概念与性质与性质第九章第九章 重积分重积分3一、问题的提出一、问题的提出定积分中会求平行截面面积为已知的定积分中会求平行截面面积为已知的 一般立体的体积如何求一般立体的体积如何求先从先从曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积开始开始.而而曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积的计算问题的计算问题,一般立体的体积可分成一些比较简单的一般立体的体积可分成一些比较简单的 回想回想立体的体积、立体的体积、 旋转体的体积旋
3、转体的体积.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积.二重积分的一个模型二重积分的一个模型.可作为可作为二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质4曲顶柱体体积曲顶柱体体积=特点特点1曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积D困难困难曲顶柱体曲顶柱体 以以xOy面上的闭区域面上的闭区域D为底为底,D的边界曲线为准线而母线平行于的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面轴的柱面,侧面以侧面以顶是曲面顶是曲面且在且在D上连续上连续).曲顶曲顶顶是曲的顶是曲的二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质5柱体体积柱体体积 = 特点特点 分析分析曲边梯形面积是如何求曲边梯形面积是如何求以直代曲、以直代曲、如何创造条件使如何创造条件使
4、解决问题的思路、步骤与解决问题的思路、步骤与回忆回忆思想是思想是分割、分割、平顶平顶平平曲曲这对矛盾互相转化这对矛盾互相转化与与以不变代变以不变代变.曲边梯形面积曲边梯形面积的求法类似的求法类似取近似、取近似、 求和、求和、 取极限取极限. .二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质 底面积底面积高高6步骤如下步骤如下用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和和先任意分割曲顶柱体的底，先任意分割曲顶柱体的底，曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积并任取小区域并任取小区域，近似表示近似表示曲顶柱体的体积，曲顶柱体的体积，二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质7(1) 分割分割相应地此曲顶相应地此
5、曲顶柱体分为柱体分为n个小曲顶柱体个小曲顶柱体.(2) 取近似取近似第第i个小曲顶柱体的体积的近似式个小曲顶柱体的体积的近似式(用用 表示第表示第i个子域的面积个子域的面积) .将域将域D任意分为任意分为n个子域个子域在每个子域内任取一点在每个子域内任取一点二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质8(3) 求和求和 即得曲顶柱体体积的近似值即得曲顶柱体体积的近似值: (4) 取极限取极限)趋于零趋于零,求求n个小平顶柱体体积之和个小平顶柱体体积之和令令n个子域的直径中的最大值个子域的直径中的最大值(记作记作上述和式的极限即为上述和式的极限即为曲顶柱体体积曲顶柱体体积二重积分的概念与性质二重积分
6、的概念与性质92. 非均匀平面薄片的质量非均匀平面薄片的质量(1) 将薄片将薄片分割分割成成n个个小块，小块，看作看作均匀薄片均匀薄片.(2)(3)(4)近似近似 任取小块任取小块 设有一平面薄片设有一平面薄片,求求平面薄片的质量平面薄片的质量M.二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质10也也表示它的面积表示它的面积,二、二重积分的概念二、二重积分的概念1. 二重积分的定义二重积分的定义定义定义作乘积作乘积 并作和并作和 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质11积积积积分分分分区区区区域域域域积积积积分分分分和和和和被被被被积积积积函函函函数数数数积积积积分分分分变变变变量量量量被被被被
7、积积积积表表表表达达达达式式式式面面面面积积积积元元元元素素素素这和式这和式则称此则称此零时零时,如果当各小闭区域的直径中的最大值如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于趋近于的极限存在的极限存在,极限为函数极限为函数二重二重积分积分, ,记为记为即即二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质12曲顶柱体体积曲顶柱体体积它的面密度它的面密度曲顶曲顶 即即在底在底D上的上的二二重积分重积分,平面薄片平面薄片D的质量的质量即即二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质在在薄片薄片D上的二重积分上的二重积分, 13 2. 在直角坐标系下用在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来平行于坐标轴的直线网来划分区
8、域划分区域D,二重积分可写为二重积分可写为注注定积分中定积分中1.重积分重积分与与定积分的区别定积分的区别:重积分中重积分中可正可负可正可负.则面积元素为则面积元素为二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质D14(A) 最大小区间长最大小区间长;(B) 小区域最大面积小区域最大面积;(C) 小区域直径小区域直径;(D)最大小区域直径最大小区域直径.D选择题选择题二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质152. 二重积分的存在定理二重积分的存在定理 设设f(x,y)是有界闭区域是有界闭区域D上的连续函数上的连续函数存在存在.连续函数一定可积连续函数一定可积注注 今后的讨论中今后的讨论中,积积分区
9、域内总是连续的分区域内总是连续的.或是分片连续函数时或是分片连续函数时,则则都假定被积函数在相应的都假定被积函数在相应的二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质16(2)3. 二重积分的几何意义二重积分的几何意义(3) (1)在在D上的上的二重积分就等于二重积分就等于二重积分是二重积分是二重积分是二重积分是而在其它的部分区域上是负的而在其它的部分区域上是负的. 这些这些部分区域上的部分区域上的柱体体积的代数和柱体体积的代数和.那末那末,柱体体积的负值柱体体积的负值;柱体体积柱体体积;在在D上的若干部分区域上是正的上的若干部分区域上是正的,二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质17例例 设设D
10、为圆域为圆域二重积分二重积分=解解 上述积分等于上述积分等于由由二重积分的几何意义二重积分的几何意义可知，可知，是上半球面是上半球面上半球体的体积：上半球体的体积：二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质RD18性质性质为常数为常数, 则则(二重积分与定积分有类似的性质二重积分与定积分有类似的性质)二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质三、二重积分的性质三、二重积分的性质根据根据二重积分的几何意义二重积分的几何意义,确定积分值确定积分值19以以1为高的为高的性质性质2 将区域将区域D分为两个子域分为两个子域性质性质3 若若 为为D的面积的面积oxyD1D2 注注既可看成是以既可看成是以D为底
11、为底,柱体体积柱体体积. 对积分区域的可加性质对积分区域的可加性质.D1与与D2除分界线除分界线外无公共点外无公共点.D又可看成是又可看成是D的面积的面积.二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质20二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质在有界闭在有界闭区域区域D1上可积上可积,且且则必有则必有21特殊地特殊地性质性质4(4(比较性质比较性质) ) 设设 则则二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质例例的值的值= ( ).(A) 为正为正(B) 为负为负(C) 等于等于0(D) 不能确定不能确定为负为负B22选择题选择题 比较比较(D) 无法比较无法比较.oxy 1 12C(2,1)性质性质
12、4(4(比较性质比较性质) )的大小的大小,则则( )二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质23解解例例 判断判断的正负号的正负号.故故于是于是又当又当二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质24几何意义几何意义以以m为高和以为高和以M为高的两个为高的两个证证再用再用性质性质1和和性质性质3, 性质性质5(5(估值性质估值性质) )则则为为D的面积的面积,则曲顶柱体则曲顶柱体的体积介于以的体积介于以D为底为底,平顶柱体体积之间平顶柱体体积之间.证毕证毕.则则二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质25解解估值性质估值性质区域区域D的面积的面积在在D上上例例 不作计算不作计算,二重积分的概念与
13、性质二重积分的概念与性质26性质性质6(6(二重积分中值定理二重积分中值定理) )体积等于体积等于 显然显然几何意义几何意义证证D上连续上连续,为为D的面积的面积, 则在则在D上至少存在一点上至少存在一点使得使得则曲顶柱体则曲顶柱体以以D为底为底 为高的平顶柱体体积为高的平顶柱体体积.将将性质性质5中不等式各除以中不等式各除以二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质有有27的最大值的最大值M与最小值与最小值m之间的之间的.由闭区域上连续函数的介值定理由闭区域上连续函数的介值定理.两端各乘以两端各乘以 点的值点的值证毕证毕.即是说即是说,确定的数值确定的数值是介于函数是介于函数在在D上至少存在一
14、点上至少存在一点使得函数在该使得函数在该与这个确定的数值相等与这个确定的数值相等,即即二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质28选择题选择题(A)(B)(C) (D)提示提示: :B是有界闭区域是有界闭区域D:上的上的连续函数连续函数,不存在不存在.利用积分中值定理利用积分中值定理.二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质29利用利用积分中值定理积分中值定理,解解即得即得:由函数的连续性知由函数的连续性知,显然显然,其中点其中点是是圆域圆域内的一点内的一点.二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质30 补充补充在分析问题和算题时常用的在分析问题和算题时常用的设设区域区域D关于关于x轴对称轴对
15、称,如果函数如果函数 f(x, y)关于坐标关于坐标y为偶为偶函数函数.oxyD1性质性质7 7则则D1为为D在第在第 一象一象限中的部分限中的部分,对称性质对称性质二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质坐标坐标y为奇函数为奇函数则则设设区域区域D关于关于x轴对称轴对称,如果函数如果函数 f (x, y)关于关于31设设f(x, y)关于关于y为偶为偶函数函数, D1oxy 证证则则得得二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质32坐标坐标y为奇函数为奇函数自证自证! !则则设设区域区域D关于关于x轴对称轴对称,如果函数如果函数 f(x,y)关于关于二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质33
16、这个性质的这个性质的几何意义几何意义如图如图:OxyzOxyz 区域区域D关于关于x轴对称轴对称f(x,y)关于坐标关于坐标y为偶为偶函数函数 区域区域D关于关于x轴对称轴对称f(x,y)关于坐标关于坐标y为奇函为奇函数数二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质34如果函数如果函数 f(x,y)关于坐标关于坐标x为奇函数为奇函数oxyD1如果函数如果函数 f(x,y)关于坐标关于坐标x则则为偶为偶函数函数则则类似地类似地,设设区域区域D关于关于y轴对称轴对称,且且D1为为D在在第一象限中的部分第一象限中的部分,二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质35设设D为圆域为圆域(如图如图)00D1为
17、上半圆域为上半圆域D2为右半圆域为右半圆域二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质36 解解由性质得由性质得 例例二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质37为顶点的三角形区域为顶点的三角形区域,(A)(B)(C)(D) 0.A1991年研究生考题年研究生考题, 选择选择,3分分D1是是D在第一象限的部分在第一象限的部分,二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质38D1D2D3D4记记 I=则则I= I1+ I2, 其中其中I1=I2=而而 I1 =D1与与D2关于关于y轴对称轴对称D3与与D4关于关于x轴对称轴对称xy关于关于x和关于和关于y都是奇函数都是奇函数二重积分的概念与性质二重积分的
18、概念与性质39而而 I2 =是是关于关于x的偶函数的偶函数,关于关于y的奇函数的奇函数. 所以所以 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质D1D2D3D440 今后在计算重积分利用今后在计算重积分利用对称性简化计算对称性简化计算时时, 注意注意被积函数的奇偶性被积函数的奇偶性. . 积分区域积分区域的对称性的对称性, ,要特别注意考虑两方面要特别注意考虑两方面:二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质41 思考思考当当f为为关于关于x且且关于关于y的偶函数的偶函数时时：当当f为为关于关于x或或关于关于y的奇函数的奇函数时时：04Di是区域是区域D位于第位于第i(i=1,2,3,4)象限的区域
19、象限的区域 设区域设区域 关于关于x轴、轴、y轴均对称轴均对称, 函数函数f(x, y)在在D上可积，则上可积，则二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质42若若D为为 此式的此式的几何意义几何意义是是:中心在原点的上半球的中心在原点的上半球的体积等于它在第一卦限内的体积的体积等于它在第一卦限内的体积的4倍倍.0D1为为 x0, y 0, 则则二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质43二重积分的定义二重积分的定义二重积分的性质二重积分的性质二重积分的几何意义二重积分的几何意义(曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积)(四步四步:分割、取近似、求和、取极限分割、取近似、求和、取极限)二重积分的概念与性质
20、二重积分的概念与性质四、小结四、小结(注意对称性质的用法注意对称性质的用法)44思考题思考题1 将二重积分定义与定积分定义进行比较将二重积分定义与定积分定义进行比较,找出它们的相同之处与不同之处找出它们的相同之处与不同之处.二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质被积函数为定义在平面区域上被积函数为定义在平面区域上思考题解答思考题解答相同点相同点定积分与二重积分都表示某个和式的定积分与二重积分都表示某个和式的极限值极限值,且此值只与被积函数及积分区域有关且此值只与被积函数及积分区域有关.不同点不同点定积分的积分区域为区间定积分的积分区域为区间, 被积函数为被积函数为定义在区间上的一元函数定义在区间上的一元函数, 而二重积分的积分而二重积分的积分区域为平面区域区域为平面区域,的二元函数的二元函数.45二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质思考题思考题2二重积分二重积分的几何意义是以的几何意义是以为曲顶为曲顶, D为底的曲顶柱体体积为底的曲顶柱体体积.(是非题是非题)非非.46作业作业习题习题9-19-1(78(78页页) ) 2. 4.(1) (3) (4) 5.(1) (3)二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质47
