《高中数学 第一章 数列 1.2 等差数列 1.2.2.2 等差数列前n项和的性质课件 北师大版必修5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第一章 数列 1.2 等差数列 1.2.2.2 等差数列前n项和的性质课件 北师大版必修5（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时等差数列前N项和的性质1.掌握等差数列与其前n项和Sn有关的性质,并能熟练运用这些性质解题.2.掌握等差数列与函数之间的关系.1.等差数列前n项和的性质(1)在等差数列an中,每m项的和a1+a2+am,am+1+am+2+a2m,a2m+1+a2m+2+a3m,仍为等差数列,即Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,仍为等差数列.(2)在等差数列an中,公差为d,S奇表示奇数项的和,S偶表示偶数项的和,当n为奇数时,【做一做1】已知等差数列an共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差d为().A.5B.4C.3D.2解析:解法一:由题意得,S偶-S奇=5d=15,所以d
2、=3.答案:C2.等差数列an的前n项和Sn的最值首先要明确,此类问题一定是针对变号的等差数列而言.因为当公差d0时,等差数列一定是单调数列,所以只有一个变号点.常用方法如下:(1)定义法:Sn=a1+a2+an.从等差数列的单调性分析Sn值的变化.当a10,d0时,Sn-1Sn,递增;当an+1Sn+1,递减;类似地,当a10时,n为使an0成立的最大自然数时,Sn最小.【做一做2-1】已知等差数列an中,|a3|=|a9|,公差d0,则使前n项和Sn取得最大值的自然数n是.解析:|a3|=|a9|,且d0,a3=-a9.a3+a9=0,即a6=0.使前n项和Sn取得最大值的自然数n是5或6
3、.答案:5或6【做一做2-2】在等差数列an中,若a1=-11,a4=-5,则当前n项和Sn取最小值时,n=.5.5n6.5.又nN+,n=6.答案:6 题型一题型二题型三题型一 等差数列前n项和的性质【例1】(1)项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,求这个数列的中间项及项数.(2)一个等差数列的前10项之和为100,前100项之和为10,求前110项之和.分析:(1)考查等差数列奇数项、偶数项、特殊项和项数之间的关系.(2)本题基本解法是求a1,d或令Sn=an2+bn,求Sn再求S110,或利用性质.题型一题型二题型三解:(1)设等差数列an共有2n-1项,则奇数项有
4、n项,偶数项共有n-1项,中间项为an.S奇-S偶=an=44-33,an=11.这个数列an的中间项为11,项数为7.题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三反思若an是等差数列,Sn是前n项和,则(1)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,成等差数列;题型一题型二题型三【变式训练1】已知等差数列an共有12项,且前12项的和为144,其中偶数项的和比奇数项的和大12,求S奇、S偶及公差d.题型一题型二题型三题型二 等差数列前n项和的最值问题【例2】在等差数列an中,a1=25,S17=S9,求前n项和Sn的最大值.分析:建立Sn关于n的二次函数式,利用二次函数
5、求最大值;也可确定an0,an+10时n的值,从而确定Sn的最大值.题型一题型二题型三解法三:先求出d=-2(同解法一).由S17=S9,得a10+a11+a17=0.而a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14,故a13+a14=0.d=-20,a130,a140,S130,S130,题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型三 易错辨析易错点:对等差数列前n项和的性质理解不清致误【例3】等差数列an的前m项的和为30,前2m项的和为100,则它的前3m项的和为().A.130 B.170 C.210D.260错解:A或B错因分析:本题容易错选A或B.由数列an是等差数列,
6、错误地认为S3m=Sm+S2m,从而得出S3m=130,故错选A.由数列an是等差数列,错误地认为Sm,S2m,S3m仍成等差数列,从而得出S3m=170,故错选B.Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,而不是Sm,S2m,S3m成等差数列.题型一题型二题型三正解:解法一:取特殊值m=1,Sm=S1=a1=30,S2m=S2=a1+a2=100,则S3m=S3=a1+a2+a3=3a2=3(S2-S1)=210.解法二:由题意可知Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,S3m-S2m=(S2m-Sm)2-Sm=(100-30)2-30=110.S3m=S2m+110=100+11
7、0=210.答案:C1234A.5B.6C.5或6 D.6或7该数列是等差数列,公差d0,a1-a110.a1+a11=0.a6=0.S5或S6最大.答案:C12342在等差数列an中,Sn是其前n项和,且S2 011=S2 015,Sk=S2 009,则正整数k为().A.2 014 B.2 015C.2 016 D.2 017解析:因为等差数列的前n项和Sn可看成是关于n的二次函数,所以由二次函数的对称性及S2 011=S2 015,Sk=S2 009,答案:D12343设等差数列an的前n项和为Sn.若a2=-9,a4+a6=-6,则当Sn取最小值时,n等于().A.9B.8C.7D.6答案:D 12344设等差数列an的前n项和为Sn,且Sm=-2,Sm+1=0,Sm+2=3,则m=.答案:4
