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1、第第18章章 隐函数定理及其应用隐函数定理及其应用1 1 隐函数隐函数一、一、 隐函数概念隐函数概念下面看隐函数的例子.二、二、隐函数存在性条件的分析隐函数存在性条件的分析三、三、隐函数定理隐函数定理ABA +BP0ABA +BP0例例1. 验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数解解: 令则并求连续 ,由 定理可知,导的隐函数 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可且两边对 x 求导两边再对 x 求导令 x = 0 , 注意此时导数的另一求法导数的另一求法 利用隐函数求导例例2. 设解法解法1 利用隐函数求导再对 x 求导解法解法2 利用公式设则两边对 x 求偏导作业作业：P1
2、51, 1,2 , 3(2)(5), 5.四、四、隐函数问题举例隐函数问题举例( (自练自练) )2 2 隐函数组隐函数组一、一、 隐函数组概念隐函数组概念二、二、隐函数组定理隐函数组定理例例2. 设解解:方程组两边对 x 求导，并移项得求练习练习: 求答案答案:由题设故有三、反三、反函数组与坐标变换函数组与坐标变换作业作业：P157, 1, 2(2), 3(1), 6.3 3 几何应用几何应用因本节讨论的曲线和曲面的方程以隐函数因本节讨论的曲线和曲面的方程以隐函数(组组)给出，故在求它给出，故在求它们的切线们的切线(或切平面或切平面)时都要用到隐函数时都要用到隐函数(组组)的微分法。的微分法
3、。一、一、 平面曲线的切线与法线平面曲线的切线与法线例:求x2+y2=4在(2,2)处的切线.二二、 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面所求切线方程为所求切线方程为法平面方程为法平面方程为三三、 曲面方程的切平面与法线曲面方程的切平面与法线解解令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程小结：平面曲线的切线和法线；空间曲线的切线和法平面；曲面的切平面和法线。推导(含义),公式、运用。作业作业：P163, 2(2), 3(1), 5, 7.4 4 条件极值条件极值一、一、 条件极值的概念条件极值的概念以前所讨论的极值问题，其极值点的搜索范围是目标函数的定义以前所讨论的极值问题，其极值点的搜
4、索范围是目标函数的定义域。但是，另外还有很多极值问题，其极值点的搜索范围还受到域。但是，另外还有很多极值问题，其极值点的搜索范围还受到各自不同条件的限制。各自不同条件的限制。这种附有约束条件的极值问题称为这种附有约束条件的极值问题称为条件极值问题条件极值问题，不带约束条件，不带约束条件的极值问题称为的极值问题称为无条件极值问题无条件极值问题。二、二、 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法过去把条件极值问题化为无条件极值问题过去把条件极值问题化为无条件极值问题.例如例如上述水箱设计问题上述水箱设计问题. .这样就把条件极值问题这样就把条件极值问题(4)、(5)转化为函数转化为函数(10)的无条件极值问题
5、，的无条件极值问题，这种方法称为这种方法称为拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法。 (10)中的函数中的函数L称为称为拉格朗日函拉格朗日函数数，辅助变量，辅助变量称为称为拉格朗日乘数拉格朗日乘数。三、三、 例题例题解解则则练习练习2解解得得小结小结：条件极值的概念；条件极值的概念；拉格朗日乘数法的推导和理论；拉格朗日乘数法的推导和理论；拉格朗日乘数法的应用拉格朗日乘数法的应用(解决条件极值问题解决条件极值问题): 极值、最值、不等式极值、最值、不等式,典型例题。典型例题。 作业作业：P169, 1(3), 2(1), 3(1), 4(提示:仿例3).“第第18章章 隐函数定理及其应用隐函数定理及其应用
6、”的习题的习题课课一、内容要求一、内容要求1、了解隐函数的概念，理解隐函数存在唯一性定理、可微性定理，、了解隐函数的概念，理解隐函数存在唯一性定理、可微性定理，掌握隐函数的求导法掌握隐函数的求导法2、了解隐函数组的概念，理解隐函数组定理、掌握求导法，、了解隐函数组的概念，理解隐函数组定理、掌握求导法，了解反函数定理与坐标变换了解反函数定理与坐标变换3、会求平面曲线的切线与法线，空间曲线的切线与与法平面，、会求平面曲线的切线与法线，空间曲线的切线与与法平面，曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线4、会用拉格朗日乘数法解决条件极值问题、会用拉格朗日乘数法解决条件极值问题(极值、最值、不等式极值、最值、不等式)二、作业问题二、作业问题P151，1，2； P158，6三、练习三、练习参考：参考：P157，例例4.11 设三个正数的和恒为常数，问它们取何值时其乘积最大？设三个正数的和恒为常数，问它们取何值时其乘积最大？
