重庆大学数电复试资料.ppt

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1、第第3 3章章 逻辑代数逻辑代数3.1 3.1 逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律3.2 3.2 逻辑运算的基本规则逻辑运算的基本规则3.3 3.3 逻辑函数的代数法化简逻辑函数的代数法化简3.4 3.4 逻辑函数的卡诺图化简逻辑函数的卡诺图化简3.5 3.5 具有无关项的逻辑函数化简具有无关项的逻辑函数化简3.1 逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律1. 基本、复合逻辑运算和逻辑运算顺序1与：2或：3非：1.单个逻辑变量的非运算“-”，如2.逻辑与“ ”；3.异或“”、同或“”；4.逻辑或“+”。基本逻辑运算常用复合逻辑运算运算顺序1.与非：2.或非：3.异或：4.同或：Y=AB5.与或非

2、；6.使用括号“（ ）”可改变运算顺序。5.表达式的非运算“-”，如与或非 中的表达式AB+CD。逻辑表达式：逻辑常量及逻辑变量之间的逻辑运算式称为逻逻辑常量及逻辑变量之间的逻辑运算式称为逻 辑表达式。辑表达式。 如果如果2 2 个逻辑表达式恒等，则构成逻辑恒等式。个逻辑表达式恒等，则构成逻辑恒等式。 逻辑代数的基本定理常用恒等式表达。逻辑代数的基本定理常用恒等式表达。2. 逻辑代数基本定理53序号名称恒等式01自等律A+0=AA1=A20-1律A+1=1A0=0重叠律A+A=AAA=A4互补律吸收律A+AB=AA(A+B)=A6交换律A+B=B+AAB=BA7结合律(A+B)+C=A+(B+

3、C)(AB)C=A(BC)8分配律A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)9反演律10非非律证明方法：枚举法枚举法-按基本逻辑运算（与、或、非）的定按基本逻辑运算（与、或、非）的定 义义列出真值表列出真值表进行逻辑运算。进行逻辑运算。 例3.1 证明反演律（亦称为摩根定理） 。 证明：证明：将变量的各种取值组合分别代入等式的左边和右边进行计算，列出真值表。AB00011011111011103. 常用恒等式常用恒等式1吸收式1A+AB=AA（A+B）=A吸收式吸收式223合并式配项式1456名称恒等式证明常用恒等式的方法：证明常用恒等式的方法：用基本定理导出或枚举法用基本定理导出

4、或枚举法 证明：例3.2 证明合并式： 。证明：例3.2-1 证明吸收式： 。注意1：由于逻辑代数中没有逻辑减法及逻辑除法，故初等代数由于逻辑代数中没有逻辑减法及逻辑除法，故初等代数中的移项规则（移加作减，移乘作除）这里不适用中的移项规则（移加作减，移乘作除）这里不适用。注意注意2: 定理和恒等式反映的是逻辑关系定理和恒等式反映的是逻辑关系, , 不是数量之间的关系。不是数量之间的关系。例3.3 证明配项式： 。证明：end3.2 3.2 逻辑运算的基本规则逻辑运算的基本规则1. 代入规则代入规则 在任何一个逻辑等式中，用一个逻辑函数代替等式两边的某在任何一个逻辑等式中，用一个逻辑函数代替等式

5、两边的某一逻辑变量后，新的等式仍然成立，这个规则称为代入规则。一逻辑变量后，新的等式仍然成立，这个规则称为代入规则。例3.4 在 中，用BC代替等式两边的B，求新等式。 代入规则将逻辑代数的基本定理和常用恒等式推广到多变量的情况。解：得2. 反演规则反演规则 在任何一个逻辑函数在任何一个逻辑函数Y中，同时进行下述中，同时进行下述3种变换（称为反种变换（称为反演变换）后演变换）后产生的新函数就是原函数产生的新函数就是原函数Y的反函数的反函数：注意：不属于单个变量上的反号应该保留反号应该保留，并保持原表达式中变量间的运算顺序运算顺序添加括号（）。解：解：解：解： 例3.5 已知 ， 求 例3.6

6、已知Y=A+01，求 。(1)所有的“”换成“+”， “+”换成“”；(3)所有的原变量换成反变量，反变量换成原变量。(2) 所有的“0”换成“1”，“1”换成“0”；3. 对偶规则对偶规则注意：必须保持原表达式中变量间的运算顺序。 对偶式：在一个逻辑表达式Y中，同时进行下述变换后产生的新表达式称为原式Y的对偶式Y: （1）所有的“”换成“+”， “+”换成“”；（2）所有的“0”换成“1”， “1”换成“0”例如，对偶规则使要证明和要记忆的公式减少了一半。表3.1-2和表3.1-4同一行的等式，互为对偶式。 对偶规则：任意一个恒等式两边同时作对偶变换导出仍然成立的对偶恒等式。例如， A(B+

7、C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)end3.3 3.3 逻辑函数的代数法化简逻辑函数的代数法化简1.1.最简的标准最简的标准逻辑函数的逻辑函数的表达式可以表达式可以等效变换为等效变换为5 5种形式。种形式。例如：同一种类型的表达式中，形式有不同，但最简的形式形式是唯一的。（1）乘积项的个数最少；）乘积项的个数最少；最简与或表达式的标准：最简与或表达式的标准：（2）在满足（）在满足（1）的条件下，每个乘积项中变量的个数最少。）的条件下，每个乘积项中变量的个数最少。 代数法化简，亦称为公式法化简，就是用逻辑代数的定理就是用逻辑代数的定理和恒等式，对逻辑函数进行化简，求最简与或表达式。和

8、恒等式，对逻辑函数进行化简，求最简与或表达式。2. 2. 代数法化简代数法化简 (1) 并项法并项法利用 ，将两项合并为一项，并消去一个变量。例如：(2)吸收法吸收法利用A+AB=A,消去AB项。 例如：(3)消项法消项法利用 ，消去BC项。例如：(4)消因法消因法利用 ，消去因子 。例如：如果两项如果两项分别包含分别包含A和和 ，而其余的，而其余的因子因子相乘为第相乘为第3项项，则则第第3项是多余的。项是多余的。如果如果一项一项的反是另一项的的反是另一项的因子，则此因子是多余的。因子，则此因子是多余的。(5) 配项法配项法（1） 利用 ，配项化简 代数法化简逻辑函数时，必须综合使用上述技巧、

9、逻辑代数代数法化简逻辑函数时，必须综合使用上述技巧、逻辑代数定理和恒等式，才能有效地化简逻辑函数。定理和恒等式，才能有效地化简逻辑函数。（2） 利用 ，配项化简end3.4 3.4 逻辑函数的卡诺图化简逻辑函数的卡诺图化简3.4.1 逻辑函数的标准表达式3.4.2 逻辑函数的卡诺图3.4.3 逻辑函数的卡诺图化简卡诺图法化简的理论基础：化简的理论基础：标准表达式、最小项和最大项。代数法可以化简任意的逻辑函数，但是否达到最简却较难判断。卡诺图法可以直观、简便地得到最简逻辑表达式 。3.4.1 逻辑函数标准表达式逻辑函数标准表达式1.标准与或式标准与或式 每个乘积项都包含函数的每个乘积项都包含函数

10、的全部变量全部变量的特殊与或式称为的特殊与或式称为标准与或表达式。标准与或表达式。最小项：最小项：标准与或式中每一个乘积项都包含函数标准与或式中每一个乘积项都包含函数Y Y的全部变量，的全部变量，每个变量以原每个变量以原变量或反变量因子仅出现一次。变量或反变量因子仅出现一次。 最小项最小项标准式：标准与或式，标准或与式。 把原变量用把原变量用1 1替代，反变量用替代，反变量用0 0替代，按一定的变量排列顺替代，按一定的变量排列顺序构成的序构成的二进制数二进制数就是最小项的就是最小项的编号编号，通常转换为十进制数。，通常转换为十进制数。最小项的编号方法：最小项的编号方法：n个变量的逻辑函数有个变

11、量的逻辑函数有2n个最小项。个最小项。常用常用mi 或或m( i )表示，表示，i是最小项的编号。是最小项的编号。（101)2 =(5)10，记作m5或m(5)。3变量的最小项变量的最小项 2n 238三变量全部最小项的真值表Y(A,B,C)=A+BCABCY=A+BC000100000000001010000000010001000000011000100001100000010001101000001001110000000101111000000011任意一个最小项，只有任意一个最小项，只有一组变量取值使其为一组变量取值使其为1，其它组取值使其为，其它组取值使其为 0。 为为1 的取值组

12、合是最小的取值组合是最小项的编号。项的编号。全部最小项全部最小项之和恒为之和恒为1不同的两个不同的两个最小项之积最小项之积恒为恒为0最小项的性质最小项的性质：对于任意一个最小项，只有一组变量取值使其为对于任意一个最小项，只有一组变量取值使其为1，其它组取值使其为，其它组取值使其为 0。 为为1 的取值组合是最小项的编号。的取值组合是最小项的编号。不同的两个最小项之积恒为不同的两个最小项之积恒为0，即，即全部最小项之和恒为全部最小项之和恒为1，即，即逻辑相邻逻辑相邻:仅有一个变量不同的2个最小项称为逻辑相邻最小项，简称相邻项。例如，3变量最小项ABC的相邻项是 、 和 。两相邻最小项之和等于它们

13、的相同变量之积。n个变量的最小项有个变量的最小项有n个相邻项，且两相邻最小项之和等于它个相邻项，且两相邻最小项之和等于它们的相同变量之积。们的相同变量之积。n变量表达式：最小项最小项 反函数表达式：即任意反函数的标准与或式是函数值为0所对应的最小项之和。3变量表达式：最小项一般表达式：最小项一般表达式：使mi=1的变量取值组合对应的函数值2.标准或与式标准或与式 一般地，n个变量的逻辑函数有2n个最大项。例如，3变量的逻辑函数有23个最大项， 每个和项和项都包含函数的全部变量（以原或反变量出现）的或与式称为标准或与表达式。 这种包含函数的全部变量的和项叫做最大项最大项，常用Mi或M(i)表示，

14、i是最大项的编号。最大项的编号方法： 原变量用原变量用0 0替换，反变量用替换，反变量用1 1替换替换，按一定变量排列顺序构，按一定变量排列顺序构成的成的2 2进制数就是最大项的编号，通常转换为十进制数。进制数就是最大项的编号，通常转换为十进制数。例如: (101)2=(5)10，记作M5或M(5)。相同编号的最大项和最小项互补，相同编号的最大项和最小项互补， 即即最大项的性质：对于任意一个最大项，只有变量的一组取值使其为0，其他组取值使其为1。使最大项为1的取值组合的二进制数值是最大项的编号。 全部最大项之积恒为0，即 n个变量的最大项有n个相邻项，且两相邻最大项之积等于它们的相同变量之和。

15、 两相邻最大项之积等于它们的相同变量之和。例如， 例如，3变量最大项A+B+C的相邻项是：逻辑相邻：仅有一个变量不同的2个最大项称为逻辑相邻最大项，简称为相邻项。不同的两个最大项之和为1，即最大项一般表达式： 即任意逻辑函数的标准或与式是函数值为即任意逻辑函数的标准或与式是函数值为0 0所对应的所对应的最大项之积。最大项之积。 3实际问题的逻辑函数ABY001010100111220V50Hz12ABY 楼梯间照明电路12 例3.7 一楼梯间照明电路如下图所示。双控开关A和B一个装在楼上，一个装在楼下。下楼时开灯，上楼后关灯，反之亦然。 解：解：（1）列真值表）列真值表 设灯亮Y=1，灯灭Y=

16、0； A或B=1表示拨向1位；A或B=0表示2位。（2）写最小项表达式）写最小项表达式ABY001010100111（3） 写最大项表达式写最大项表达式由实际逻辑问题导出逻辑函数的方法是：（1）根据命题导出真值表；（2）由真值表导出标准表达式；（3）化简。（2）标准或与式（最大项表达式）是函数值为0所对应的最大项之积。由真值表导出标准表达式的方法是（1）标准与或式（最小项表达式）是函数值为1所对应的最小项之和。endABY0010101001113.4.2 逻辑函数的卡诺图逻辑函数的卡诺图1卡诺图的形成卡诺图的形成A00011110013变量卡诺图0001111000011110 4变量卡诺图

17、边相邻（具有公共边）；对称相邻。2个最小项的几何相邻循环码每个格代表每个格代表一个最小项一个最小项边相邻对称相邻对称相邻BCCDAB几何相邻的最小项是逻辑相邻的 ！ 卡诺图卡诺图就是用平面上相邻的方格表示函数的每一个最小项。几就是用平面上相邻的方格表示函数的每一个最小项。几何上相邻的方格所代表的最小项在逻辑上也相邻。何上相邻的方格所代表的最小项在逻辑上也相邻。E00000101101011011110110000011110CDAB变量卡诺图2 逻辑函数的卡诺图逻辑函数的卡诺图 首先将逻辑函数转换为最小项表达式，然后，在卡诺图上函数包含的最小项所对应的小方格填入，在其他小方格填入。（也可不填写

18、）。解：解：0001111000011110（1）由逻辑表达式画卡诺图ABCD1111方法一：转换为最小项表达式例3.8 用卡诺图表示逻辑函数 任何确定的逻辑函数都可以表示为唯一的标准与或式。因此，可以用卡诺图表示逻辑函数。 方法二：方法二：由表达式直接填入由表达式直接填入 ABC 00 01 11 10 0 1 1 1 1 1 1ABC（2）由真值表画卡诺图ABCY00000010010001111000101111011111 在卡诺图中，使逻辑函数值为的最小项填入；使逻辑在卡诺图中，使逻辑函数值为的最小项填入；使逻辑函数值为的最小项填入，为了直观和简洁，通常不填写。函数值为的最小项填入，

19、为了直观和简洁，通常不填写。例 已知逻辑函数Y的真值表，画出Y的卡诺图。解：解：a.直接填入卡诺图00011110011BCA111b. 写标准表达式，填入卡诺图end3.4.3逻辑函数的卡诺图化简逻辑函数的卡诺图化简1化简的依据化简的依据0001111000011110CDAB例：例： 凡几何相邻的方格，对应的最小项逻辑上也相邻。而逻辑相邻的最小项求和时，可反复应用 的关系进行最小项合并，消去最小项中不同的变量（ ），保留公共变量（公因子）。公因子是卡诺图上最小项具有相同行列编码的变量之积。相邻的相邻的2 2个方格合并，个方格合并，消去一个变量；消去一个变量；相邻的相邻的4 4个方格合并，个

20、方格合并，消去消去2 2个变量；个变量；相邻的相邻的8 8个方格合并，个方格合并，消去消去3 3个变量个变量。推广到一般情况：两-两相邻的2n个方格合并，消去不同的n个变量，保留公共变量。因为2n个方格合并时，提出公共变量（公因子）后，恰是余下的n个变量的全部最小项之和，其值恒为1。公共变量是卡诺图上2n个最小项具有相同行列编码的变量之积。2化简的步骤化简的步骤(1)(1)画出逻辑函数的卡诺图（画出逻辑函数的卡诺图（2 2n n个方格）个方格）(2)(2)画卡诺圈画卡诺圈卡诺圈越少越好（因一个卡诺圈代表一个与项）；卡诺圈越少越好（因一个卡诺圈代表一个与项）；卡诺圈内值为卡诺圈内值为1 1的方格

21、越多越好（因圈越大消去的变的方格越多越好（因圈越大消去的变量越多，与项包含的变量越少量越多，与项包含的变量越少）。）。卡诺圈可以交迭，但每个卡诺圈必须至少有与其它卡诺圈可以交迭，但每个卡诺圈必须至少有与其它卡诺圈不同的、值为卡诺圈不同的、值为1 1的方格。的方格。(3)(3)求每个卡诺圈的公共变量之积（与项）并相加，得到最简求每个卡诺圈的公共变量之积（与项）并相加，得到最简的与或表达式。的与或表达式。卡诺圈：卡诺圈：把把2 2n n个值为个值为1 1的逻辑相邻的方格画成一个圈，的逻辑相邻的方格画成一个圈， 表示最小项求逻辑和。表示最小项求逻辑和。例3.10 化简函数(A,B,C,D)=m(0,

22、1,2,5,6,7,14,15)。解：解：在画卡诺圈时，注意到卡诺图的对称相邻特性，可以想象将两边粘连，上下粘连。000111100011101111111110CDAB000111100011101111111110CDAB（ a ）（ b ）因图（a）的卡诺圈比图（b）的多，所以图(b)是正确的卡诺圈。由图（b）,函数Y的最简与或式为解：例例3.113.11已知逻辑函数Y(A,B,C,D)=m(0,1,2,8,9,10,11,13,15)，求函数Y的最简与或式；反函数的最简与或式；函数Y的最简或与式。CD0001111000111011111101111ABCD00011110001110

23、11111101111ABY的最简与或式：反函数的最简与或式：Y的最简或与式：3.3.反函数的最简与或式再取反可反函数的最简与或式再取反可求函数求函数Y Y的最简或与式。的最简或与式。结论： 1.1.圈圈1 1可求函数的最简与或式。可求函数的最简与或式。2.2.圈圈0 0可求反函数的最简与或式。可求反函数的最简与或式。end3.5 具有无关项的逻辑函数化简 1 .无关项概念无关项概念对应于函数不确定的最小项称为无关项。对应于函数不确定的最小项称为无关项。约束项约束项和和任意项。任意项。1.约束项约束项在在n n个变量的逻辑函数中，如果对变量的每个取值组合，函个变量的逻辑函数中，如果对变量的每个

24、取值组合，函数均有确定的值（数均有确定的值（0 0或或1 1）与之对应，则称这样的函数为）与之对应，则称这样的函数为确定的逻确定的逻辑函数辑函数，否则，称为，否则，称为不完全确定的逻辑函数或具有无关项的逻辑不完全确定的逻辑函数或具有无关项的逻辑函数。函数。对某些逻辑问题，自变量的一些对某些逻辑问题，自变量的一些特定取值组合是不允许出现的，函数特定取值组合是不允许出现的，函数的取值无定义，它可能是的取值无定义，它可能是0 0，也可能是，也可能是1 1。对应于这些特定的取值组合，值为。对应于这些特定的取值组合，值为1 1的最小项称为约束项。的最小项称为约束项。 例如：用例如：用2变量变量A、B控制

25、一台电梯。控制一台电梯。AB电梯00停 01降10升11禁止约束方程为约束方程为 AB=02. 任意项任意项例如，将例如，将8421BCD8421BCD码转换为余码转换为余3 3码。码。 对某些逻辑问题，对应于自变量的一些特定取值组合，函对某些逻辑问题，对应于自变量的一些特定取值组合，函数的取值无关紧要，对逻辑功能没有任何影响。对应这些特定数的取值无关紧要，对逻辑功能没有任何影响。对应这些特定取值组合，值为取值组合，值为1 1的最小项称为任意项。的最小项称为任意项。 8421BCD码余3 码ABCDWXYZ00000001110001010020010010130011011040100011

26、1501011000601101001701111010810001011910011100无定义1010dddd1011dddd1100dddd1101dddd1110dddd1111dddd有确定有确定的输出的输出无确定无确定的输出的输出约束方程：约束方程的含义是：约束方程的含义是：允许的取值组合满足约束方程，而不允许的取值组合则允许的取值组合满足约束方程，而不允许的取值组合则不满足约束方程。不满足约束方程。全部无关项之和等于全部无关项之和等于0 0的方程称为约束方程。的方程称为约束方程。无关项在真值表和卡诺图中用无关项在真值表和卡诺图中用 “ ” 或或“d”表示。表示。约束方程可分解为多

27、个方程，例如，每个无关项等于约束方程可分解为多个方程，例如，每个无关项等于0。2. 应用无关项化简函数应用无关项化简函数 对于无关项，函数为任意值d（0或1），意味着在函数表达式中可以包含或者去掉无关项；在卡诺图中，无关项对应的方格可为0也可为1。例3.12 用代数法化简函数解解: 不完全确定的逻辑函数化简时，可根据需要加上或去掉不完全确定的逻辑函数化简时，可根据需要加上或去掉部分甚至全部无关项，使函数化为最简。部分甚至全部无关项，使函数化为最简。例3.13 用卡诺图化简逻辑函数Y(A,B,C,D)=m(1,2,5,6,9)+ d(10,11,12,13,14,15)解：解：画24=16个格Y的卡诺图，图中无关项用“”表示。0001111000011110最简的与或式为：CDAB11111end