电路原理课件：12电路方程的矩阵形式

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1、电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回第第12章章 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 12-1 割集割集 12-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 12-4 结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式 12-5 割集电压方程的矩阵形式割集电压方程的矩阵形式 12-6 状态方程状态方程 12-3 回路电流方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回本章重点本章重点1.理解割集的概念；理解割集的概念；2.掌握关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵的列写；掌握关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵的列写；3.熟练掌握回路电流方程的矩

2、阵形式、结点电压熟练掌握回路电流方程的矩阵形式、结点电压方程的矩阵形式、割集电压方程的矩阵形式的方程的矩阵形式、割集电压方程的矩阵形式的列写；列写；4.熟练掌握状态方程的列写。熟练掌握状态方程的列写。电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回12-1 割集割集 网络拓扑网络拓扑 i1i2i3i1i2i3i1i2i3抽象抽象 连接性质连接性质 抽象抽象 电路图电路图 抽象图抽象图 支路支路 一、图论知识回顾一、图论知识回顾 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回1)图图 G = = 支路，结点支路，结点 2)子图子图 不含自环不含自环 允许孤立结点存在允许孤立结点存在 1.名

3、词和定义名词和定义 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回路径路径：从图：从图G的一个结点出发沿着一些支路连续的一个结点出发沿着一些支路连续 移动到达另一结点所经过的支路构成路经。移动到达另一结点所经过的支路构成路经。 3) 连通图连通图 图图G的任意两结点间至少有的任意两结点间至少有一条路经时称一条路经时称G为连通图。为连通图。 4) 有向图有向图 图中的方向表示原电路中支路电压和电流图中的方向表示原电路中支路电压和电流关联关联参考方向参考方向。 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回2.回路回路(loop) 回路回路 l 是连通图是连通图G的一个子图。具有下述性质：

4、的一个子图。具有下述性质： (1)连通；连通； (2)每个结点关联支路数恰好为每个结点关联支路数恰好为2。 12345678 253回路回路 127589不是回路不是回路 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回3. 树树(tree) 树树 T 是连通图是连通图 G 的一个子图，具有下述性质的一个子图，具有下述性质： (1) 连通；连通；(2) 包含包含G的的所有结点；所有结点； (3) 不包含回路。不包含回路。 树不唯一树不唯一 16个个 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回树支树支：属于树的支路。：属于树的支路。 连支连支：属于：属于G 而不属于而不属于T 的的 支

5、路。支路。 树支数树支数 bt = = n 1 连支数连支数 bl = = b (n 1) 单连支回路单连支回路(基本回路基本回路)： 1234567145树支数树支数 4 连支数连支数 3 单连支回路单连支回路 独立回路独立回路 单连支回路单连支回路 独立回路独立回路 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回二、割集二、割集 (cut set) (1)把把Q 中全部支路移去，将图分成中全部支路移去，将图分成两个两个分离部分分离部分； (2)保留保留Q 中的一条支路，其余都移去，中的一条支路，其余都移去，G还是连通还是连通 的。的。 割集割集Q是连通图是连通图G中一个支路的集合，有下

6、述性质中一个支路的集合，有下述性质： 43215 6 13425 6 Q1： 2，5，4，6 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回432156432156432156Q4： 1，5，2 Q3： 1，4，6 Q2： 2，3，6 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回单树支割集单树支割集(基本割集基本割集) 432156432156432156Q3： 1, 5, 3, 6 Q2： 3, 5, 4 Q1： 2, 3, 6 单树支割集单树支割集 独立割集独立割集 单树支割集单树支割集 独立割集独立割集 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回 对对一一个个连连通通图

7、图，任任选选一一个个树树，每每一一割割集集至至少少应应包包含含一一条条树树支支，移移去去任任一一树树支支，连连通通图图将将分分成成两两部部分分。则则每每一一个个树树支支与与一一些些相相应应的的连连支支可可构构成成一一个个割割集，集，此割集称为此割集称为单树支割集单树支割集或或基本割集基本割集。 割集是有方向割集是有方向的的(移去割集的所有支路，图移去割集的所有支路，图 G 被分离为两部分后，从其中的一部分指向另一被分离为两部分后，从其中的一部分指向另一部分的方向，即为割集的方向，每个割集只有部分的方向，即为割集的方向，每个割集只有两个可能的方向两个可能的方向)。注注 意：意：若是基本割集，一般

8、若是基本割集，一般选树支的方向为割集的方向选树支的方向为割集的方向。 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回1 2 3 4 1，2，3，4 割割集集 三个分离部分。三个分离部分。 4保留保留4支路，图不连通支路，图不连通。 1 2 341，2，3，4 割割集集 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回432156基本回路基本回路 基本割集基本割集 1，2，3，4 1，4，51，2，6 3，4，5 2，3，6 1，5，3，6 同一个树的同一个树的基本回路基本回路和和基本割集基本割集关系关系 1. 由某个树支由某个树支bt 确定的基本割集应包含那些连支，确定的基本割集应包含那

9、些连支，每个这种连支构成的基本回路中包含该树支每个这种连支构成的基本回路中包含该树支bt 。 2. 由某个连支由某个连支bl 确定的基本回路应包含那些树支，确定的基本回路应包含那些树支，每个这种树支构成的基本割集中含有该连支每个这种树支构成的基本割集中含有该连支bl 。 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回1. 对于一个具有个结点、条支路的连通图来说，对于一个具有个结点、条支路的连通图来说，其独立割集数为（其独立割集数为（ ）。）。 An Bn -1 Cb - n - 1 Db n + 12. 割集必须满足的条件是什么？割集必须满足的条件是什么？思考与练习思考与练习 电路方程的矩

10、阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回12-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵一、关联矩阵一、关联矩阵A 用矩阵形式描述用矩阵形式描述结点结点和和支路支路的关联性质。的关联性质。 aij 1 有向有向支路支路 j 背离背离 i 结点结点 1 有向有向支路支路 j 指向指向 i 结点结点 0 i 结点与结点与 j 支路支路无关无关 关联矩阵：关联矩阵： 结点数结点数 支路数支路数 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0Aa = = 1 2 3 4 5 6 0 6

11、4 5 3 2 1 设设为参考结点为参考结点 降阶关联矩阵降阶关联矩阵 (reduced incidence matrix) 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回设：设： 1.矩阵形式的矩阵形式的KCL 6 4 5 3 2 1 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回2.矩阵形式矩阵形式KVL 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回二、回路矩阵二、回路矩阵B 1 支路支路 j 与回路与回路 i 关联，方向关联，方向一致一致 1 支路支路 j 与回路与回路 i 关关联，方向，方向相反相反 0 支路支路 j 不在回路不在回路 i 中中 bij = = 基基本本回

12、回路路阵阵Bf：若若回回路路的的方方向向取取连连支支的的方方向向，支支路路按按先先连连支支、后后树树支支(或或先先树树支支、后后连连支支)的的顺顺序序，则则此此回回路路矩矩阵阵称称为为基基本本回回路路矩矩阵阵(fundamental loop matrix)。 用矩阵形式描述用矩阵形式描述回路回路和和支路支路的的关联性质。关联性质。 B = = bi j l b 回路数回路数 支路数支路数 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回选选 4、5、6为树支，为树支，连支顺序为连支顺序为1、2、3。123B = = 4 5 6 1 2 3 支支 回回 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0

13、 1 0 = = Bt 1 0 1 1 0 0 1 BtBll1 l2 l3 1 2 3 6 5 4 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回1 2 3 6 5 4 1. .矩阵形式的矩阵形式的KVL 设设 注意支路与回路矩阵注意支路与回路矩阵支路排列顺序要相同支路排列顺序要相同B u = = 0 ul ut 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回1 2 3 6 5 4 1. .矩阵形式的矩阵形式的KVL 若若Bu = = 0 写成写成 Bt ut ul = = 0 ul = = Bt ut 用树支电压表示连支电压。用树支电压表示连支电压。 连支电压连支电压 树支电压树支

14、电压 此为矩阵形式的此为矩阵形式的KVL的另一种形式。的另一种形式。 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回 i = = BTil 2.矩阵形式的矩阵形式的KCLl1 l2 l3 1 2 3 6 5 4 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回三、割集矩阵三、割集矩阵Q 基基本本割割集集矩矩阵阵Qf：若若割割集集方方向向取取树树支支的的方方向向，支支路路排排列列顺顺序序按按先先树树支支、 后后连连支支或或先先连连支支、后后树树支支的的顺顺序序 ， 则则 对对 应应 的的 割割 集集 矩矩 阵阵 称称 为为 基基 本本 割割 集集 矩矩 阵阵( (fundamental c

15、ut set matrix) )。 qij = = 1 j 支路与割集支路与割集i 方向方向一致一致 1 j 支路与割集支路与割集i 方向方向相反相反 0 j 支路不在割集支路不在割集i 中中 用矩阵形式描述用矩阵形式描述割集割集和和支路支路的关联性质。的关联性质。 Q = = q i j l b 割集数割集数 支路数支路数 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回1 2 3 6 5 4 Q1 Q3 Q2 Q1：1，2，4 Q2：1，2，3，5 Q3：2，3，6 Q = =4 5 6 1 2 3 Q1Q2Q31 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 Ql

16、 Qt 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回设设 Qi = 0 1 2 3 6 5 4 Q1 Q3 Q2 注意支路与割集矩阵注意支路与割集矩阵支路排列顺序要相同支路排列顺序要相同1. .矩阵形式的矩阵形式的KCL 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回1. .矩阵形式的矩阵形式的KCL 若若Qi = = 0 写成写成 it Ql il = = 0用回路矩阵表示时有：用回路矩阵表示时有： 回路矩阵和割集矩阵的关系：回路矩阵和割集矩阵的关系： 1 2 3 6 5 4 Q1 Q3 Q2 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回2. 矩阵形式的矩阵形式的KVL QT

17、ut = = u 1 2 3 6 5 4 Q1 Q3 Q2 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回2. 矩阵形式的矩阵形式的KVL 用树支电压表示连支电压。用树支电压表示连支电压。 若若QTut = = u 写成写成 1 2 3 6 5 4 Q1 Q3 Q2 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回Q Qi = = 0 QTut = = u 小结：小结： ul = = Btut A B Ai = = 0 BTil = = i KCL KVL ATun = = u Bu = = 0 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回1.对于一个具有对于一个具有n 个结点、个

18、结点、b 条支路的连通图条支路的连通图: 关联矩阵反映了关联矩阵反映了 的关联性质，其降阶的关联性质，其降阶关联矩阵的行列数为关联矩阵的行列数为 ； 回路矩阵反映了回路矩阵反映了 的关联性质，其行列的关联性质，其行列数为数为 ； 割集矩阵反映了割集矩阵反映了 的关联性质，其行列的关联性质，其行列数为数为 。思考与练习思考与练习 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回12-3 回路电流方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式 一、复合支路一、复合支路 第第k条支路条支路 支支路路电电压压/电电流流，取取关联参考方向。关联参考方向。 Zk 第第k条条支支路路的的阻阻抗抗，只只能能是是单单一

19、一的的电电阻阻、电电感感或或电电容，不能是它们的组合。容，不能是它们的组合。阻抗上电压、电流的参考方向与支路方向相同阻抗上电压、电流的参考方向与支路方向相同 独立电压源，其独立电压源，其参考方向和支路方向相反参考方向和支路方向相反。 独立电流源，其独立电流源，其参考方向和支路方向相反参考方向和支路方向相反。 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回展开得展开得 即即 Z ：支路阻抗阵支路阻抗阵为为 bb 矩阵。矩阵。 二、电路中不含互感和受控源的情况二、电路中不含互感和受控源的情况(相量法相量法) Zk 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回二、电路中不含互感和受控源的情

20、况二、电路中不含互感和受控源的情况(相量法相量法) Zk 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回设回路电流列向量为设回路电流列向量为即即 回路方程矩阵形式回路方程矩阵形式 Zl 回路阻抗阵回路阻抗阵 二、电路中不含互感和受控源的情况二、电路中不含互感和受控源的情况(相量法相量法) Zk 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回三、电路中含有互感的情况三、电路中含有互感的情况 设第设第k、j条支路有耦合关系，编号时把它们相条支路有耦合关系，编号时把它们相邻的编在一起：邻的编在一起：其余支路电压、电流的关系为：其余支路电压、电流的关系为： 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式

21、 下页上页返回 方方程程形形式式不不变变，只只是是阻阻抗抗阵阵 Z 不不再再为为对对角角阵阵，第第k行行、第第j列列和和第第j行行、第第k列列的的两两个个元元素素是是两两条条支支路路的的互互阻阻抗抗。互互阻阻抗抗前前的的“” ，电电流流流流入入同同名名端端的对应取的对应取“ ”，反之取，反之取“”。 仍可统一写为仍可统一写为 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回用矩阵形式列出电路的回用矩阵形式列出电路的回路电流方程：路电流方程： (1) L2和和L3间不含互感；间不含互感；(2) L2和和L3间含有互感。间含有互感。 解解 US5R5R1L2L3C4IS112315243(1)

22、选选支支路路1、4、5为为树树支支，支支路路2、3为为连连支支，则则基基本本回路矩阵为：回路矩阵为： 例例1 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回15243例例1 解解代入代入 得得 US5R5R1L2L3C4IS1123电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回+ US5R5R1L2L3C4IS1123M (2) L2和和L3之之间间含含有有互互感感时时，只只有有支支路路阻阻抗抗阵阵和和(1)不不同同，电电流流流流入入同同名名端端，则则15243例例1 解解电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回15243回路电流矩阵方程为：回路电流矩阵方程为： + US5R

23、5R1L2L3C4IS1123M 例例1 解解电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回四、电路中含有受控源的情况四、电路中含有受控源的情况 支路阻抗阵支路阻抗阵Z变为：变为： k j Zk 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回4 1 2 3 4 5 6 写出电流控制的电压源时的阻抗矩阵形式。写出电流控制的电压源时的阻抗矩阵形式。 R1R5 R6 2 3 1 M 例例2 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回例例2 解解电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回1.用回路矩阵用回路矩阵 B 表示的表示的KCL方程形式为方程形式为 ; KVL方程形式为方

24、程形式为 。 2.电路及其有向图如下图所示，列写其回路电电路及其有向图如下图所示，列写其回路电流方程的矩阵形式流方程的矩阵形式 。思考与练习思考与练习 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回12-4 结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式复合支路复合支路： 元件元件电压、电流流受控受控电流流 支路的复支路的复导纳( (阻抗阻抗) ) 支路电压支路电压 、电流、电流 独立独立电压源、源、电流源流源 复合支路中复合支路中不允许不允许有受控电压源，也不允许存在有受控电压源，也不允许存在“纯电压源支路纯电压源支路”，即，即不能缺少阻抗不能缺少阻抗。 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形

25、式 下页上页返回KCL Ai = = 0 KVL u = = ATun 一、电路中无受控源，电感间无耦合一、电路中无受控源，电感间无耦合(Yk = = 1/Zk支路的复导纳支路的复导纳) 第第k条条支路电压、电流的关系：支路电压、电流的关系： 对整个电路有对整个电路有 或或 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回一、电路中无受控源，电感间无耦合一、电路中无受控源，电感间无耦合按定义写开按定义写开 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回一、电路中无受控源，电感间无耦合一、电路中无受控源，电感间无耦合 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回一、电路中无受控源，电

26、感间无耦合一、电路中无受控源，电感间无耦合支路阻抗阵、支路导纳阵为支路阻抗阵、支路导纳阵为 ：结点导纳矩阵结点导纳矩阵 流入各结点等效电流的列向量流入各结点等效电流的列向量 结点电压和电流关系：结点电压和电流关系： 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回列写电路的结点电压方程的矩阵形式。列写电路的结点电压方程的矩阵形式。 US5R5R1L2L3C4IS11230123123450例例3 解解 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回例例3 解解123123450 US5R5R1L2L3C4IS11230电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回Yn主对角线上的元素

27、为结点主对角线上的元素为结点自导，自导，恒为恒为正，其余正，其余元素为结元素为结点间的点间的互导，互导，恒取恒取负。负。等等式右式右边边为流入结点的电流源电流为流入结点的电流源电流( (流入为流入为“ ”) )。 US5R5R1L2L3C4IS11230例例3 解解电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回写出写出A、Y、US、IS： 5V0.5W W2W W1W W0.5W W5W W 1W W3A1A 123456对给定电路，列出矩阵形式的结点电压方程。对给定电路，列出矩阵形式的结点电压方程。 例例4 解解 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回123456用矩阵乘法求

28、得结点方程：用矩阵乘法求得结点方程： 5V0.5W W2W W1W W0.5W W5W W 1W W3A1A 例例4 解解电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回二、具有互感情况下的结点电压分析二、具有互感情况下的结点电压分析 设第设第k条、条、j条支路有耦合关系，编号时把它们条支路有耦合关系，编号时把它们相邻的编在一起相邻的编在一起( (设两个电流都为设两个电流都为流入同名端流入同名端) )。 记记 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回二、具有互感情况下的结点电压分析二、具有互感情况下的结点电压分析 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回电路中的电路中的L

29、2和和L3之间有互感，试列写矩阵形式之间有互感，试列写矩阵形式的结点电压方程。的结点电压方程。 123123450 US5R5R1L2L3C4IS10123M 例例5 解解 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回 US5R5R1L2L3C4IS10123M 例例5 解解电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回例例5 解解电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回例例5 解解电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回 US5R5R1L2L3C4IS10123M 例例5 解解电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回三、具有受控电流源的结点分析三、具有

30、受控电流源的结点分析 对第对第k条支路有条支路有 1、VCCS时时 2、CCCS时时 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回三、具有受控电流源的结点分析三、具有受控电流源的结点分析 其中其中 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回524310312iS5guauaG5C3G4 * * *ML2L1例例6 解解 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回524310312其中其中 iS5guauaG5C3G4 * * *ML2L1例例6 解解电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回524310312代入代入 得得 iS5guauaG5C3G4 * * *

31、ML2L1例例6 解解电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回四、具有无伴电压源、无伴电流源的结点分析四、具有无伴电压源、无伴电流源的结点分析 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回例例10 例例7 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回思考与练习思考与练习 1.用降阶关联矩阵用降阶关联矩阵 A 表示的表示的KCL方程形式为方程形式为 ; KVL方程形式为方程形式为 。 2.电路及其有向图如下图所示，列写其结点电电路及其有向图如下图所示，列写其结点电压方程的矩阵形式压方程的矩阵形式 。电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回12-5 割集电压方程的矩

32、阵形式割集电压方程的矩阵形式 取割集取割集( (树支树支) )电压为未知量电压为未知量 割集方程矩阵形式割集方程矩阵形式 Yt割集导纳阵割集导纳阵 元件特性元件特性 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回iS2R2R1L4L3C5iS1例例8 以运算形式写出如图所示电路的割集电压方程以运算形式写出如图所示电路的割集电压方程的矩阵形式。设的矩阵形式。设L3、L4、C5的初始条件为零。的初始条件为零。 解解 选选支支路路1、2、3为为树树支支，3个个单单树树支支割割集集如如虚虚线线所所示示，树树支支电电压压Ut1(s)、Ut2(s)、Ut3(s)也也即即割割集集电压，它们的方向也是割集

33、的方向。电压，它们的方向也是割集的方向。 31 245Ut1(s) Ut2(s) Ut3(s) 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回31 245Ut1(s) Ut2(s) Ut3(s) iS2R2R1L4L3C5iS1例例8 解解电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回代入代入 31 245Ut1(s) Ut2(s) Ut3(s) iS2R2R1L4L3C5iS1例例8 解解电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回31 245Ut1(s) Ut2(s) Ut3(s) 则割集电压方程的矩阵形式为：则割集电压方程的矩阵形式为： iS2R2R1L4L3C5iS1例例

34、8 解解电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回由此可得：由此可得： (1)若若两两个个割割集集互互电电导导中中的的公公共共支支路路同同时时与与两两个个割集同割集同(或反或反)方向，该支路电导取正号，反之取负号。方向，该支路电导取正号，反之取负号。 因因为为每每一一树树支支只只能能出出现现在在本本割割集集中中，所所以以割割集集互互导导不不可可能能包包含含树树支支，全全部部由由连连支支构构成成。任任一一连连支支若若是是某某两两单单树树支支割割集集的的共共有有支支路路，则则该该两两树树支支必必包包含含在在这这个个连连支支的的单单连连支支回回路路中中，则则：当当沿沿着着回回路路方方向向(连

35、连支支方方向向)绕绕行行，两两个个树树支支方方向向相相同同时时其其割割集集互互导导为正为正，反之为负反之为负。 (2)当当电电压压源源正正极极性性对对着着该该割割集集方方向向时时取取正正号号，反之取负号。反之取负号。 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回思考与练习思考与练习 1.用割集矩阵用割集矩阵 Q 表示的表示的KCL方程形式为方程形式为 ; KVL方程形式为方程形式为 。 2.电路及其有向图如下图所示，电路角频率为电路及其有向图如下图所示，电路角频率为，试以支路试以支路1、2、3为树支为树支, ,列写其割集电压方程的列写其割集电压方程的矩阵形式矩阵形式 。 电路方程的矩阵形

36、式电路方程的矩阵形式 下页上页返回分析过渡过程的方法分析过渡过程的方法 高阶高阶微分方程微分方程 傅氏变换，傅氏变换，拉氏变换拉氏变换 联列一阶联列一阶微分方程组微分方程组 古典控制理论的基础古典控制理论的基础 古典法古典法 变换法变换法 状态变量法状态变量法 时域时域 频域，复频域频域，复频域 时域时域 现代控制理论基础现代控制理论基础 适用于适用于 线性系统线性系统单输入单输出系统单输入单输出系统 多输入、多输出系统多输入、多输出系统 线性、非线性系统线性、非线性系统 12.6 状态方程状态方程 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回一、基本概念一、基本概念 1. 状态变量状态

37、变量(state variable) x 分析动态过程的独立变量分析动态过程的独立变量选选定定系系统统中中一一组组最最少少数数量量的的变变量量X = = x1, , xnT ，若若当当t = = t0 时时这这组组变变量量X(t0)和和t t0 后后的的输输入入uS(t)为为已已知知，就就可可确确定定 t0 及及 t0 以以后后任任何何 时时刻刻系系统统的的响响应应，称这一组称这一组最少数目最少数目的变量为状态变量。的变量为状态变量。 X(t0)uS(t) t t0 Y(t) t t0 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回已知已知 输出为输出为uL，iC，uR，iR。 选状态量选

38、状态量uC，iL 例例9 解解 RuLC uS(t) uC iL iCuR LiR电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回 可见当可见当 t = = t1 时时，uC、 iL 和和 t t1 后的输入后的输入 uS(t) 为已知，就可以确定为已知，就可以确定 t1 及及 t1 以后任何时刻系统的响以后任何时刻系统的响应。问题是应。问题是 t1 时刻的状态量要求解出来。时刻的状态量要求解出来。 例例9 解解推广至任一时刻推广至任一时刻 t1RuLC uS(t) uC iL iCuR LiR电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回2.状态方程状态方程(state equatio

39、n)求解状态变量的方程求解状态变量的方程 以以uC，iL为状态变量为状态变量列写微分方程列写微分方程 特点特点 (1) 联列一阶微分方程组联列一阶微分方程组 (2) 左端为状态变量的一阶导数左端为状态变量的一阶导数 (3) 右端仅含状态变量和输入量右端仅含状态变量和输入量 状态方程状态方程 RuLC uS(t) uC iL iCuR LiR电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回矩阵形式矩阵形式 一般形式一般形式 式中式中 / n n n r 2.状态方程状态方程(state equation)求解状态变量的方程求解状态变量的方程 RuLC uS(t) uC iL iCuR LiR电

40、路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回3. 输出方程输出方程(output equation) 特点特点：(1) 代数方程；代数方程； (2) 用状态变量和输用状态变量和输入量表示输出量。入量表示输出量。 一般形式一般形式 RuLC uS(t) uC iL iCuR LiR电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回(1) 状状态态变变量量个个数数等等于于独独立立的储能元件个数。的储能元件个数。 4. 归纳归纳(2) 一般选择一般选择uC和和 iL为状态变量，也常选为状态变量，也常选 和和 q为为状态变量。状态变量。 (3) 状态变量的选择不唯一。也可以选状态变量的选择不唯一。

41、也可以选uC和和duC/dt为状态变量：为状态变量： RuLC uS(t) uC iL iCuR LiR电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回令令 x1 = = uC，x2 = = duC /dt 即即 则则 x1 x2 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回1. .直观法直观法 含含duC /dt 电容结点列电容结点列KCL 含含diL/dt 电感回路列电感回路列KVL 选选 uC，i1，i2为状态变量，列写状态方程。为状态变量，列写状态方程。 R1 uSC uC iSiR R2i2 L2 L1 i1 二、状态方程的列写二、状态方程的列写 例例10 解解 电路方程的矩

42、阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回1. .直观法列写状态方程直观法列写状态方程 R1 uSC uC iSiR R2i2 L2 L1 i1 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回L3i3uSR6R5C2C1L4+-i5i6i4 + + u1 u2选选u1，u2，i3，i4为状态变量为状态变量 消去非状态量消去非状态量 例例11 解解 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回整理，得整理，得 例例11 解解电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回1) 令令每每一一支支路路只只包包含含一一个个元元件件，把把网网络络的的独独立立电电源源、电容、电感、电阻都作为一条支

43、路。电容、电感、电阻都作为一条支路。 2) 选选择择特特有有树树，其其树树支支由由电电压压源源、电电容容组组成成，而而连连支由电流源、电感支由电流源、电感 组成。组成。 3) 按按照照次次序序编编号号支支路路：电电压压源源、电电容容、电电导导、电电阻阻、电电感感、电电流流源源。对对电电容容支支路路列列写写基基本本割割集集方方程程，对电感支路列写基本回路方程。对电感支路列写基本回路方程。4) 消去非状态量消去非状态量uG、iR、iC、uL。5) 整理得整理得2. 系统编写法系统编写法 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回123456789R6uS1C2iS9 R5L7L8 C3C4

44、 编写如下图所示的网络状态方程。编写如下图所示的网络状态方程。 选选1、2、3、4、5为树支为树支例例12 解解 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回令令 整理得整理得 例例12 解解电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回 状状态态方方程程的的阶阶数数 n 大大体体上上等等于于电电感感和和电电容容的的总总个个数数。当当存存在在病病态态回回路路(纯纯电电容容或或纯纯电电容容与与电电压压源源组组成成的的回回路路)或或病病态态割割集集(纯纯电电感感或或纯纯电电感感与与电电流流源源组组成的割集成的割集)时，状态方程的阶数时，状态方程的阶数 n 应为：应为：n = = 电容数电

45、容数 电感数电感数 (病态回路数病态回路数 病态割集数病态割集数) 若是纯电容、纯电感的串、并联，可化简后计数。若是纯电容、纯电感的串、并联，可化简后计数。 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回列写电路的状态方程列写电路的状态方程电电路路含含一一病病态态回回路路。选选iL、uC1为为变变量量，图图中红线为树支，得中红线为树支，得 例例13 解解 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回3.叠加法叠加法 (1)将电源、电容、电感均抽到将电源、电容、电感均抽到网络外。网络外。 (2)电容用电压源替代，电感用电容用电压源替代，电感用电流源替代。电流源替代。 (3)用叠加定理求

46、用叠加定理求iC，uL。 uCuSR iSiL 则则 uS、iS、uC、iL共同作用下的共同作用下的iC，uL为：为： 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回试利用叠加法列写状态方程。试利用叠加法列写状态方程。 设设uC1、uC2、iL为状态变量为状态变量 (1) uC1单独作用，即单独作用，即 iL = = 0，iS = = 0，uS = = 0，uC2 = = 0求求 iC1，iC2，uL。 例例14 解解 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回 (2) uC2单独作用，即单独作用，即iL = = 0，iS = = 0，uS = = 0，uC1 = = 0。求求 i

47、C1、iC2、uL。 例例14解解电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回(3) iL单独作用，即单独作用，即iS = = 0，uS = = 0，uC1 = = 0，uC2 = = 0。求求 iC1、iC2、uL。 例例14解解电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回(4) uS单独作用，即单独作用，即iS = = 0，iL = = 0，uC1 = = 0，uC2 = = 0。求求 iC1，iC2，uL。 例例14解解电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回(5) iS单独作用，即单独作用，即uS = = 0，iL = = 0，uC1 = = 0，uC2 = =

48、0。求求 iC1，iC2，uL。 例例14解解电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回uC1uC2iLuS iS1-1-11000例例14解解电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回(6) 整理成标准形式整理成标准形式 例例14 解解电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回1) 电容结点列电容结点列KCL， 电感回路列电感回路列KVL 2)用叠加法消去非状态量用叠加法消去非状态量uR1, uR2 0.6 0.40.60.4 1.2 1.2 1.21.2uCiL1iL2u(t)uR1uR2例例15 解解电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回例例15 解解

49、电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回例例15 解解电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回三、状态方程的求解三、状态方程的求解 时域解时域解 频域解频域解 状态方程标准形式为状态方程标准形式为 对上式两边取拉氏变换，得对上式两边取拉氏变换，得 解析解解析解 数值解数值解 其中为其中为A、B常数矩阵，常数矩阵，x、u是是 t 的函数。的函数。 单位阵单位阵电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回已知已知 用状态变量法求换路后的用状态变量法求换路后的uL(t)。 先列状态方程，求状态量先列状态方程，求状态量uC，iL。 A B 例例16 解解 20ViL 0.2H

50、0.5F1W W uC - - uL 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回20ViL 0.2H0.5F1W W uC - - uL 例例16 解解电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回反变换反变换，得得 20ViL 0.2H0.5F1W W uC - - uL 例例16 解解电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回有关有关 eAt 的求解可参考相关教材。的求解可参考相关教材。 20ViL 0.2H0.5F1W W uC - - uL 例例16 解解电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式 下页上页返回1.关于状态方程的列写，对包含电容的关于状态方程的列写，对包含电容的 列列 方程，对包含电感的方程，对包含电感的 列写列写 方程方程 。2. 关于特有树的选择，树支应尽可能包括关于特有树的选择，树支应尽可能包括 ；连支应尽可能包括；连支应尽可能包括 。（电容、电感、。（电容、电感、电压源、电流源）电压源、电流源）3.试以试以uC、iL1和和iL2为状态变量列写下图所示电路的为状态变量列写下图所示电路的状态方程。状态方程。思考与练习思考与练习