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1、应力状态与应变状态分析应力状态与应变状态分析pptppt课件课件第七章第七章第七章第七章 应力状态与应变状态分析应力状态与应变状态分析应力状态与应变状态分析应力状态与应变状态分析 71 应力状态的概念应力状态的概念72 平面应力状态分析平面应力状态分析解析法解析法73 平面应力状态分析平面应力状态分析图解法图解法74 梁的主应力及其主应力迹线梁的主应力及其主应力迹线75 三向应力状态研究三向应力状态研究应力圆法应力圆法76 复杂应力状态下的应力复杂应力状态下的应力 - - 应变关系应变关系 （广义虎克定律广义虎克定律）77 复杂应力状态下的变形比能复杂应力状态下的变形比能72 平面应力状态分析
2、平面应力状态分析解析法解析法 x xy yxyzxy x xy yO规定： 截面外法线同向为正； 绕研究对象顺时针转为正； 逆时针为正。图1设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：一、任意斜截面上的应力一、任意斜截面上的应力xy x xy yO y xy x a a a aa axyOn图2图1xy x xy yO y xy x a a a aa axyOn图2考虑剪应力互等和三角变换，得：同理：二、极值应力二、极值应力xy x xy yOxy x xy yO在剪应力相对的项限内，且偏向于x 及y大的一侧。222x yyxminmax + +- - = = ）（例例2 分析受扭构件的破坏规律。解：
3、确定危险点并画其原 始单元体求极值应力 xyC yxMCxyO xy yx破坏分析低碳钢铸铁73 平面应力状态分析平面应力状态分析图解法图解法对上述方程消去参数（2），得：一、应力圆（一、应力圆（ Stress Circle）xy x xy yO y xy x a a a aa axyOn此方程曲线为圆应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：Otto Mohr引入）建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）二、应力圆的画法二、应力圆的画法在坐标系内画出点A( x，xy)和B(y，yx) AB与 轴的交点C便是圆心。以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆； x xy yxyOn a a a aa aO
4、a a a aCA( x , xy)B( y , yx)x2a anD( a a , a a) ) x xy yxyOn a a a aa aO a a a aCA( x , xy)B( y , yx)x2a anD( a a , a a) )三、单元体与应力圆的对应关系三、单元体与应力圆的对应关系面上的应力( ， ) 应力圆上一点( ， )面的法线 应力圆的半径两面夹角 两半径夹角2 ；且转向一致。四、在应力圆上标出极值应力四、在应力圆上标出极值应力OC a a a aA( x , xy)B( y , yx)x2a a1 12a a0 0 1 2 3 3例例3 求图示单元体的主应力及主平面的
5、位置。(单位：MPa)AB 1 2解：主应力坐标系如图AB的垂直平分线与 轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆0 1 2BAC20 a a a a(MPa)(MPa)O20MPa在坐标系内画出点 3 1 2BAC20 a a a a(MPa)(MPa)O20MPa主应力及主平面如图 10 2AB解法2解析法：分析建立坐标系如图60xyO74 梁的主应力及其主应力迹线梁的主应力及其主应力迹线12345P1P2q如图，已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），其上M、Q0，试确定截面上各点主应力大小及主平面位置。单元体：2 21 1 1 1 3 3 3 33 3 1 1 3 34 4 1
6、1 1 1 3 35 50450 A1A2D2D1CO A2D2D1CA1O 20 D2D1CD1O20= 90 D2A1O 20CD1A2 A2D2D1CA1O拉力压力主应力迹线（Stress Trajectories)： 主应力方向线的包络线曲线上每一点的切线都指示着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。实线表示拉主应力迹线；虚线表示压主应力迹线。 1 3 1 3qxy主应力迹线的画法：主应力迹线的画法：11截面截面22截面截面33截面截面44截面截面ii截面截面nn截面截面bacd 1 3 3 175 三向应力状态研究三向应力状态研究应力圆法应力圆法 2 1xyz 31 1、空间应力状态
7、、空间应力状态2 2、三向应力分析、三向应力分析弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。图图a图图b整个单元体内的最大剪应力为： max 2 1xyz 3例例4 求图示单元体的主应力和最大剪应力。（MPa）解：由单元体图知：y z面为主面建立应力坐标系如图，画应力圆和点1,得:5040xyz3010 (M Pa) a a（M Pa ） a aABCAB 1 2 3 max76 复杂应力状态下的应力复杂应力状态下的应力 - - 应变关系应变关系 （广义虎克定律广义虎克定律）一、单拉下的应力一、单拉下的应力-应变关系应变关系二、纯剪的应力二、纯剪的
8、应力-应变关系应变关系xyz xxyz x y三、复杂状态下的应力三、复杂状态下的应力 - - 应变关系应变关系依叠加原理,得: xyz z y xy x主应力主应力 - - 主应变关系主应变关系四、平面状态下的应力四、平面状态下的应力-应变关系应变关系: :方向一致 1 3 2主应力与主应变主应力与主应变方向一致方向一致?五、体积应变与应力分量间的关系五、体积应变与应力分量间的关系体积应变：体积应变与应力分量间的关系: 1 3 2a1a2a3例例5 已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：1=24010-6， 2=16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为 =0.3，
9、 试求该点处的主应力及另一主应变。所以，该点处的平面应力状态m me e334 2.- -= =例例6 图a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变 t =350l06，若已知容器平均直径D=500 mm，壁厚=10 mm，容器材料的 E=210GPa，=0.25，试求:1.导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；2.计算容器所受的内压力。pppxmlpODxABy图a1、轴向应力:(longitudinal stress)解：容器的环向和纵向应力表达式用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程p m mxD图b用纵截面将容器截开，受力如图c所示2、环向应力：(hoop stress)3、求内压（以应力应变关系求之）t m外表面yp t tDqdqz图cO777 7 复杂应力状态下的变形比能复杂应力状态下的变形比能 2 3 1图图 a图图 c 3 - m 1- m 2- m m图图 b m m称为形状改变比能或歪形能。图图 c 3 - m 1- m 2- m例例7 用能量法证明三个弹性常数间的关系。纯剪单元体的比能为：纯剪单元体比能的主应力表示为： xyA13结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！44
