椭圆及其标准方程

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1、椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程厦门一中高二数学组厦门一中高二数学组 曾灿波曾灿波2009年11月12日2024/7/302你能列举几个生活你能列举几个生活中见过的椭圆形状中见过的椭圆形状的物品吗？的物品吗？从画椭圆入手认识椭圆上点的性质从画椭圆入手认识椭圆上点的性质 取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画板的取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画板的F1和和F2两点，两点，当绳长大于当绳长大于F1和和F2的距离时的距离时，用铅笔尖把绳子拉，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆。紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆。 从上面画图的过程中，我们可以看出：不论动

2、点从上面画图的过程中，我们可以看出：不论动点M运动到什么地方，运动到什么地方，它到两个定点它到两个定点F1和和F2的距离的和，总是等于一个定长（绳长）。的距离的和，总是等于一个定长（绳长）。即即 |MF1|+|MF2|=定长（绳长）定长（绳长） 由此，由此，椭圆就是与定点椭圆就是与定点F1，F2的距离的和等于定长的距离的和等于定长（即这条绳长）的点的集合。（即这条绳长）的点的集合。 F1 F2 M请同学们利用手中的作图工具作以下思考：请同学们利用手中的作图工具作以下思考：思考思考1：在绳长（设为：在绳长（设为2a）不变的条件下：）不变的条件下：（1）当两个）当两个图钉重合在一点重合在一点时，画

3、出的，画出的图形是什么？形是什么？（2）改变两个图钉之间的距离，画出的图形是什么？）改变两个图钉之间的距离，画出的图形是什么？（3）当两个图钉之间的距离等于绳长时，画出的图形是什么？）当两个图钉之间的距离等于绳长时，画出的图形是什么？（4）当两图钉固定，能使绳长小于两图钉之间的距离吗？能画出图形吗？）当两图钉固定，能使绳长小于两图钉之间的距离吗？能画出图形吗？ M的轨迹是椭圆的轨迹是椭圆M的轨迹是线段的轨迹是线段M的轨迹不存在的轨迹不存在 F1 F2 M椭圆的定义椭圆的定义 平面内与两个定点平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的距离的和等于常数2a（2a|F1F2|)的点的轨迹叫做的点

4、的轨迹叫做椭圆椭圆. 为什么为什么2a必须要大必须要大于于|F1F2|?特别注意特别注意:当当2a|F1F2|时时,轨迹是椭圆轨迹是椭圆;当当2a=|F1F2|时时,轨迹是线段轨迹是线段F1F2;当当2a2c,即即ac，所以，所以 0 令令 ，其中，其中b0 ,代入上式，得代入上式，得 ： 两边同除以两边同除以得得 令令 不仅不仅可以使方程变得简单可以使方程变得简单整齐，同时它有明确整齐，同时它有明确的几何意义的几何意义 F1 0 F2 XYM椭圆的标准方程椭圆的标准方程这个方程叫做椭圆的标准方程。它表示的这个方程叫做椭圆的标准方程。它表示的椭圆的焦点在椭圆的焦点在x轴上轴上，焦点是，焦点是F

5、1（-C，0），），F2（C，0），），在这里在这里如果我们选定方案二，我们又将得到什么样的结果呢？如果我们选定方案二，我们又将得到什么样的结果呢？这时，点这时，点F1，F2在在Y轴上，点轴上，点F1，F2的坐标分别为的坐标分别为F1（0，-C）F2（0，C），如图，），如图，a , b 的意义同上，那么所得的方程变为的意义同上，那么所得的方程变为这个方程也是椭圆的标准方程，它表示的这个方程也是椭圆的标准方程，它表示的椭圆的焦点在椭圆的焦点在Y轴上轴上，焦点，焦点是是F1（0。-C），），F2（0，C）。）。同样，同样，判断：判断： 与与 的焦点位置？的焦点位置？ 思考：如何由椭圆的标准方程来

6、判断它的焦点是在思考：如何由椭圆的标准方程来判断它的焦点是在X轴上还是轴上还是Y轴上？轴上？结论：结论：看标准方程中看标准方程中 的分母的大小，哪个的分母大就在哪一条的分母的大小，哪个的分母大就在哪一条 轴上。轴上。 （2）若方程）若方程 表示焦点在表示焦点在y轴上的椭轴上的椭圆，圆， 则则k的范围的范围 。 例例1、（、（1）若方程）若方程 表示表示椭圆，椭圆， 则则k的范的范围围 。 小结：对于方程小结：对于方程 ： 当当 时，表示椭圆；时，表示椭圆；当当 时，表示焦点在时，表示焦点在x轴上的椭圆；轴上的椭圆；当当 时，表示焦点在时，表示焦点在y轴上的椭圆；轴上的椭圆；例例2 2、判断分、

7、判断分别满足下列条件的足下列条件的动点点 M M 的的轨迹是否迹是否为椭圆；（1 1）到点）到点 和点和点 的距离之和的距离之和为6 6的点的的点的轨迹。迹。 （2 2）到点）到点 和点和点 的距离之和的距离之和为4 4的点的的点的轨迹。迹。 （3 3）到点）到点 和点和点 的距离之和的距离之和为6 6的点的的点的轨迹。迹。 （1）是）是（2）不是）不是（3）是）是例例3 3、已知、已知椭圆的的两焦点坐两焦点坐标分分别是是 ，并并经过点点 ，求它的，求它的标准方程。准方程。解：解：因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在y轴上，轴上， 设它的标准方程为设它的标准方程为由椭圆的定义知由椭圆的定义知所以所

8、以又因为又因为所以所以所以椭圆的标准方程为：所以椭圆的标准方程为：-定义法定义法例例3 3、已知、已知椭圆的的两焦点坐两焦点坐标分分别是是 ，并并经过点点 ，求它的，求它的标准方程。准方程。解：解：因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在y轴上，轴上， 设它的标准方程为设它的标准方程为由题意知由题意知解得：解得：所以椭圆的标准方程为：所以椭圆的标准方程为：-待定系数法待定系数法课堂练习课堂练习1 1、椭圆 上一点上一点P到焦点到焦点F1的距离等于的距离等于6， 则点则点P到另一个焦点到另一个焦点F2的距离是的距离是 。4、化简方程：、化简方程： 。3、已知已知 中中,B,C是两个定点，是两个定点， 周

9、长为周长为16， 求顶点求顶点A的轨迹方程。的轨迹方程。102、过椭圆、过椭圆 右焦点右焦点F2直线交椭圆于直线交椭圆于A，B两点，两点， F1为为其左焦点，则其左焦点，则 的周长为的周长为 。20课堂小结课堂小结1。椭圆的定义（。椭圆的定义（注意定义中的两个条件注意定义中的两个条件）；）；2。椭圆。椭圆 的标准方程（的标准方程（注意焦点位置与方程形式的关系注意焦点位置与方程形式的关系）3、如何有椭圆的标准方程判断焦点的位置：、如何有椭圆的标准方程判断焦点的位置：看标准方程中看标准方程中 的分母的大小，哪个的分母大就在的分母的大小，哪个的分母大就在哪一条轴上。哪一条轴上。 4、求给定条件下的椭圆的方程，关键是先看焦点的位置、求给定条件下的椭圆的方程，关键是先看焦点的位置,然后确定标准方程的类型，最后求出然后确定标准方程的类型，最后求出 a , b 。（先定型，后定量先定型，后定量）两种方法两种方法：（：（1）定义法定义法 （2）待定系数法待定系数法5、主要思想方法：坐标法求动点的轨迹方程，数形结合，、主要思想方法：坐标法求动点的轨迹方程，数形结合， 化归思想。化归思想。