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1、正弦函数的图像正弦函数的图像左左 伟伟 2012年年12月月8日日正弦函数的图像与性质正弦函数的图像与性质11-11-1oP(u,v)Mxy正弦函数正弦函数y=sinx有以下性有以下性质：质：（1）定义域：R（2）值域：-1，1（3）是周期函数，最小正周期是（4）在 0， 上的单调性是： 从单位圆看正弦函数的性质从单位圆看正弦函数的性质sin = v函数y=sinx21、画函数的图像有哪些方法画函数的图像有哪些方法?(1)描点法描点法(2)图像变换图像变换描点法是做函数图像的基本方法描点法是做函数图像的基本方法2、如何画出函数、如何画出函数y=sinx(x的单位是弧度的单位是弧度)的的图像图像
2、？描点法描点法提出问题3新问题新问题:怎样得到正弦函数图像上点的坐标呢？怎样得到正弦函数图像上点的坐标呢？通过计算器得到通过计算器得到,特殊角的正弦值还特殊角的正弦值还可直接计算得到可直接计算得到描点法4(1) 列表列表(列出对图像形状起关键作用的五点坐标列出对图像形状起关键作用的五点坐标)(3) 连线连线(用光滑的曲线顺次连结五个点用光滑的曲线顺次连结五个点)(2) 描点描点(定出五个定出五个关键点关键点)简图作法简图作法与与x轴的轴的交点交点图像的图像的最高点最高点图像的图像的最低点最低点-1-15 x -sinx例例1 1. .用五点法用五点法画出出y=y=- -sinx ,x0sinx
3、 ,x0， 的的简图解解:(1) 列表列表(2) 描点描点(3) 连线连线1-1y= -sinx, x 0, x.y6xyo-112 2 .x例例2.2.用五点法用五点法画出出y=1+sinx,x0y=1+sinx,x0， 的的简图解解:(1) 列表列表(2) 描点描点(3) 连线连线7三角三角问题问题几何几何问题问题 o可以把可以把MP看做是带方向的看做是带方向的线线段段M为起点为起点P为终点为终点.称称MP为角为角的的正弦线正弦线如下图所示如下图所示,角角的终边与单的终边与单位圆交于点位圆交于点P(x,y)过点过点P作作 轴的垂线轴的垂线,垂足为垂足为M.11MP新方法正弦线正弦线是正弦函
4、数的一种几何表示是正弦函数的一种几何表示8 函数函数图像的几何作法图像的几何作法-11-1-作法作法:(1) 12等分圆等分圆(2) 作正弦线作正弦线(3) 平移正弦线平移正弦线(4) 连线连线9因为终边相同的角的三角函数值相同，所以因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图像在的图像在， 与与y=sinx,x0,2的图像相同的图像相同-1-1图像图像 函数函数10正弦函数正弦函数y=sinx性质性质 (1)定义域：定义域：y=sinx的定义域是的定义域是实数集实数集R(2)值域值域:正弦函数的值域是正弦函数的值域是1，1.当且仅当当且仅当x 2k，kZ时，正弦函数时，正弦函数取得
5、最大值取得最大值1；当且仅当当且仅当x 2k，kZ时，正弦函时，正弦函数取得最小值数取得最小值111(3) 周期性周期性: 由由sin(x2k)sinx (kZ)知：知： 正弦函数值是按照一定规律不断重复地取得正弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的这种性质称为的这种性质称为三角函数的周期性三角函数的周期性。正弦函数正弦函数y=sinx性质性质12 对于函数对于函数f(x)，如果存在一个，如果存在一个非零常数非零常数T，使得定义域内任意使得定义域内任意x，都有，都有f(xT)f(x)，那么，那么函数函数f(x)就叫做就叫做周期函数周期函数，非零常数，非零常数T叫做这个叫做这个函数的函数的周期。
6、周期。 对于一个周期函数对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期，如果在它所有的周期中存在一个中存在一个最小的正数最小的正数，那么这个最小正数就叫，那么这个最小正数就叫做做f(x)的的最小正周期。最小正周期。（有些周期函数没有最小正（有些周期函数没有最小正周期）周期）.13注意：注意：(1) 周期函数中，周期函数中，x 定义域定义域M，则必有，则必有x+T M, 且若且若T0，则定义域无上界；，则定义域无上界；T0则定义域无下界；则定义域无下界；(2) “每一个值每一个值”，只要有一个反例，则，只要有一个反例，则f (x)就不为就不为周期函数（如周期函数（如f (x0+T) f (x0)）
7、；）；(3) T往往是多值的（如往往是多值的（如y=sinx, T=2k 都是周都是周期期,最小正周期是最小正周期是2.）14 (4) 奇偶性奇偶性:由由sin(x)sinx,可知：可知：ysinx为奇函数为奇函数,因此正弦曲线关于原点因此正弦曲线关于原点O对称对称.(5)单调性单调性闭区间闭区间 2k， 2k(kZ)上都是增上都是增函数，其值从函数，其值从1增大到增大到1； 闭区间闭区间 2k， 2k(kZ)上都是减上都是减函数，其值从函数，其值从1减小到减小到115例例3：设：设sinx=t3，xR，求，求t的取值范围。的取值范围。 解：因为解：因为1sinx1, 所以所以1t31, 由此
8、解得由此解得2t4.16例例4： 求使下列函数取得最大值的自变量求使下列函数取得最大值的自变量x的的集合，并说出最大值是什么集合，并说出最大值是什么.(1) ysin2x，xR; (2) y=sin(3x+ ) 1 解解：(1) 令令w2x，那么，那么xR得得ZR，且使函，且使函数数ysinw，wR，取得最大值的集合是，取得最大值的集合是ww 2k，kZ由由2xw 2k，得得x k.17即即 使函数使函数ysin2x，xR取得最大值的取得最大值的x的的集合是集合是xx k，kZ 函数函数ysin2x，xR的最大值是的最大值是1.(2) 当当3x+ =2k + 即即 x= (k Z)时时, y的
9、最大值为的最大值为0.18例例5：求下列三角函数的周期：求下列三角函数的周期：(1)y=sin(x+ )； (2) y=3sin( + ) (2)(3) y=|sinx|解：解： (1) 令令z= x+ 而而 sin(2 +z)=sinz 即：即：f (2 +z)=f (z) ,f (x+2 )+ =f (x+ )函数的周期函数的周期T=2 .19(2) y=3sin( ) 解：令解：令z= ， 则则 f (x)=3sinz=3sin(z+2 )函数的周期函数的周期T=4 .=f (x+4 ) =3sin( )=3sin( +2 )20(3) y=|sinx|解：解：f(x+)=|sin(x+
10、)|=|sinx|,所以函数的周期是所以函数的周期是T=. 一般地，函数一般地，函数yAsin(x)（其中（其中 ）的周期是）的周期是 21例例6：不通过求值，指出下列各式大于：不通过求值，指出下列各式大于0还是还是小于小于0,(1)sin( )sin( )；(2)sin( )sin( )解：解：(1) 且函数且函数ysinx，x ， 是增函数是增函数即即sin( )sin( )022(2)sin( )sin sin( )sin 函数函数y=sinx在区间在区间( )内为增函数内为增函数,sin( )sin( )0.23本节课的重点本节课的重点:五点作图法五点作图法本节课的难点本节课的难点:正弦函数图像的几何作法正弦函数图像的几何作法1.作函数作函数 y=2sinx-1，x 0,2的简图的简图2.预习正弦函数的性质预习正弦函数的性质24个人观点供参考，欢迎讨论
