《九年级数学下册第29章几何的回顾29.2反证法课件华东师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《九年级数学下册第29章几何的回顾29.2反证法课件华东师大版（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、29.2 反 证 法 课题学习 中点四边形1.1.叙述反证法的概念叙述反证法的概念证明命题时证明命题时, ,不是直接从题设推出结论不是直接从题设推出结论, ,而是从命题结论的而是从命题结论的_出发出发, ,引出引出_,_,从而证明命题成立从而证明命题成立, ,这样的证明方法叫做反证这样的证明方法叫做反证法法反面反面矛盾矛盾2.2.总结反证法证明命题的一般步骤总结反证法证明命题的一般步骤(1)(1)假设结论的假设结论的_是正确的；是正确的；(2)(2)通过逻辑推理通过逻辑推理, ,推出与公理、已证的定理、定义或已知条件推出与公理、已证的定理、定义或已知条件_；(3)(3)由矛盾说明假设由矛盾说明
2、假设_,_,从而得到从而得到_正确正确. .反面反面相矛盾相矛盾不成立不成立原结论原结论3.3.中点四边形中点四边形顺次连结任意四边形各边的顺次连结任意四边形各边的_所组成的四边形称为中点四边所组成的四边形称为中点四边形形【点拨点拨】中点四边形的每条边都是原四边形对角线的一半中点四边形的每条边都是原四边形对角线的一半, ,且与且与相应的对角线平行相应的对角线平行中点中点 反证法反证法【例例1 1】(8(8分分) )已知：已知：ABCABC中中,AB,ABACAC，求证：求证：B,CB,C必为锐角必为锐角. .易错提醒易错提醒: :BB与与C C必为锐角的反面是两角为直角或钝角！必为锐角的反面是
3、两角为直角或钝角！【规范解答规范解答】ABABAC,B=C,AC,B=C,1 1分分假设假设B,CB,C不是锐角不是锐角, ,则可能有两种情况：则可能有两种情况：B=CB=C= =9090或或B=CB=C90.90.3 3分分(1)(1)若若B=CB=C= =90,90,则则A AB BC C180,180,这与三角形内这与三角形内角和定理矛盾角和定理矛盾. .5 5分分(2)(2)若若B=CB=C90,90,则则 A AB BC C180, 180, 这与三角这与三角形内角和定理矛盾形内角和定理矛盾. .7 7分分所以假设不能成立所以假设不能成立. .故故B,CB,C必为锐角必为锐角. .8
4、 8分分【规律总结规律总结】适宜使用反证法的四种情况适宜使用反证法的四种情况1.1.结论本身是以否定形式出现的一类命题；结论本身是以否定形式出现的一类命题；2.2.有关结论是以有关结论是以“至多至多”或或 “至少至少”的形式出现的一的形式出现的一类命题；类命题；3.3.关于唯一性关于唯一性, ,存在性的问题；存在性的问题；4.4.结论的反面是比原结论更具体更容易研究的命题结论的反面是比原结论更具体更容易研究的命题【跟踪训练跟踪训练】1.1.用反证法证明用反证法证明“若若O O的半径为的半径为r,r,点点P P与圆心的距离与圆心的距离d d大于大于r,r,则则点点P P在在O O的外部的外部”.
5、 .首先应假设首先应假设( )( )(A)d(A)dr r(B)(B)点点P P在在O O外外(C)dr(C)dr(D)(D)点点P P在在O O上或点上或点P P在在O O内内【解析解析】选选D.D.命题命题“若若O O的半径为的半径为r,r,点点P P与圆心的距离与圆心的距离d d大于大于r,r,则点则点P P在在O O的外部的外部”的结论为：点的结论为：点P P在在O O的外部的外部. .若用反证法证若用反证法证明该命题明该命题, ,则首先应假设命题的结论不成立则首先应假设命题的结论不成立, ,即点即点P P在在O O上或点上或点P P在在O O内内. .【高手支招高手支招】反证法证明问
6、题的关键是正确作出假设反证法证明问题的关键是正确作出假设, ,并找到合并找到合理的矛盾之处；有些命题的反面不止一种情况理的矛盾之处；有些命题的反面不止一种情况, ,证明时应考虑全证明时应考虑全面面, ,并分别推出矛盾并分别推出矛盾2.2.用反证法证明用反证法证明“若若|a|b|,|a|b|,则则ab.”ab.”时时, ,应假设应假设_. _. 【解析解析】 a,b a,b的等价关系有的等价关系有a=b,aba=b,ab两种情况两种情况, ,因而因而abab的反面的反面是是a=b,a=b,因此用反证法证明因此用反证法证明“abab”时时, ,应先假设应先假设a=ba=b答案：答案：a=ba=b
7、中点四边形中点四边形【例例2 2】已知：如图已知：如图, ,在四边形在四边形ABCDABCD中中,E,E为为ABAB上一点上一点,ADE,ADE和和BCEBCE都是等边三角形都是等边三角形, ,AB,BC,CD,DAAB,BC,CD,DA的中点分别为的中点分别为P,Q,M,N,P,Q,M,N,试判试判断四边形断四边形PQMNPQMN为怎样的四边形为怎样的四边形, ,并证明你并证明你的结论的结论. .【解题探究解题探究】1.1.试说明试说明MNMN和和PQPQ的关系的关系. . 答：答：平行且平行且相等相等. .理由如下：理由如下：如图如图, ,连结连结ACAC，BD.PQBD.PQ为为ABCA
8、BC的中位线的中位线, ,PQ PQ ACAC. . 同理同理MN MN ACAC. . MN MN PQPQ 2.2.由由知知MN MN PQPQ,四边形四边形PQMNPQMN为为平行四边形平行四边形_3.AC3.AC和和BDBD相等吗？为什么？相等吗？为什么？答：答：ACAC和和BDBD相等相等, , 在在AECAEC和和DEBDEB中中, ,AED=CEB=60,AED=CEB=60,AED+DEC=CEB+DEC,AED+DEC=CEB+DEC,即即AECAEC= =DEBDEB. .又又AE=AE=DEDE,EC=,EC=EBEB, ,AECAECDEBDEB，ACACBDBD4.M
9、N4.MN和和PNPN相等吗？为什么？相等吗？为什么？答：答：MNMN和和PNPN相等相等, ,由由知知MN= ACMN= AC，同理可证，同理可证PN= BD,PN= BD,由由知知ACACBDBD,MN,MN= =PN.PN.5.5.结论：由结论：由可知四边形可知四边形PQMNPQMN为为菱形菱形【规律总结规律总结】用对角线判断中点四边形用对角线判断中点四边形1.1.如果原四边形的对角线既不相等也不垂直如果原四边形的对角线既不相等也不垂直, ,则其中点四边形为则其中点四边形为平行四边形；平行四边形；2.2.如果原四边形对角线互相垂直如果原四边形对角线互相垂直, ,则其中点四边形为矩形则其中
10、点四边形为矩形, ,如菱如菱形的中点四边形是矩形；形的中点四边形是矩形；3.3.如果原四边形对角线相等如果原四边形对角线相等, ,则其中点四边形为菱形则其中点四边形为菱形, ,如矩形的如矩形的中点四边形是菱形；中点四边形是菱形；4.4.如果原四边形对角线互相垂直且相等如果原四边形对角线互相垂直且相等, ,则其中点四边形为正方则其中点四边形为正方形形, ,如正方形的中点四边形是正方形如正方形的中点四边形是正方形. .【跟踪训练跟踪训练】3.(20113.(2011张家界中考张家界中考) )顺次连结任意一个四边形的四边中点所顺次连结任意一个四边形的四边中点所得的四边形一定是得的四边形一定是( )(
11、 )(A)(A)平行四边形平行四边形 (B)(B)矩形矩形(C)(C)菱形菱形 (D)(D)正方形正方形【解析解析】选选A.A.根据根据“顺次连结任意一个四边形的四边中点所得顺次连结任意一个四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形的四边形是平行四边形”可知选可知选A.A.4.(20114.(2011宜昌中考宜昌中考) )如图如图, ,在梯形在梯形ABCDABCD中中,ABCD,AD=BC,ABCD,AD=BC,点点E,F,G,HE,F,G,H分别是分别是AB,BC,CD,DAAB,BC,CD,DA的中点的中点, ,则下列则下列结论一定正确的是结论一定正确的是( )( )(A)HGF=GHE (
12、B)GHE=HEF(A)HGF=GHE (B)GHE=HEF(C)HEF=EFG (D)HGF=HEF(C)HEF=EFG (D)HGF=HEF【解析解析】选选D.D.因为点因为点E,F,G,HE,F,G,H分别是等腰梯形的分别是等腰梯形的AB,BC,CD,DAAB,BC,CD,DA的的中点中点, ,所以四边形所以四边形EFGHEFGH为菱形为菱形, ,根据菱形的性质可以判断根据菱形的性质可以判断HGF=HEF.HGF=HEF.5.5.观察探究，完成下面各题观察探究，完成下面各题. .如图，四边形如图，四边形ABCDABCD中，点中，点E,F,G,HE,F,G,H分别是边分别是边AB,BC,C
13、D,DAAB,BC,CD,DA的中的中点，顺次连结点，顺次连结E,F,G,HE,F,G,H，得到的四边形，得到的四边形EFGHEFGH叫中点四边形叫中点四边形. .(1)(1)请你探究并填空：请你探究并填空：当四边形当四边形ABCDABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是变成平行四边形时，它的中点四边形是_；当四边形当四边形ABCDABCD变成矩形时，它的中点四边形是变成矩形时，它的中点四边形是_ _ ；当四边形当四边形ABCDABCD变成菱形时，它的中点四边形是变成菱形时，它的中点四边形是_ _ ；当四边形当四边形ABCDABCD变成正方形时，它的中点四边形是变成正方形时，它的中点四边形是
14、_ _ ；(2)(2)根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状是由原四边根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状是由原四边形的什么决定的？形的什么决定的？【解析解析】(1)(1)填空依次为平行四边形，菱形，矩形，正方形填空依次为平行四边形，菱形，矩形，正方形. .(2)(2)中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系来决定的中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系来决定的. .1.1.证明命题证明命题“任何偶数都是任何偶数都是4 4的倍数的倍数”是假命题可举反例的数字是假命题可举反例的数字为为( )( )(A)3 (B)4 (C)8 (D)6(A)3 (B)4 (C)8 (D)6【解析解
15、析】选选D.D.因为因为 3 3不是偶数不是偶数, ,不符合条件不符合条件, ,故错误；故错误；4 4是偶数是偶数, ,且能被且能被4 4整除整除, ,故错误；故错误；8 8是偶数是偶数, ,且是且是4 4的的2 2倍倍, ,故错误；故错误；6 6是偶数是偶数, ,但是不能被但是不能被4 4整除整除, ,故选故选D.D.2.2.某花木场有一块如等腰梯形某花木场有一块如等腰梯形ABCDABCD的空地的空地( (如图如图) )，各边的中点，各边的中点分别是分别是E E，F F，G G，H H，用篱笆围成的四边形，用篱笆围成的四边形EFGHEFGH场地的周长为场地的周长为40 m40 m，则对角线，
16、则对角线AC=_m.AC=_m.【解析解析】根据中位线定理易证中点四边形根据中位线定理易证中点四边形EFGHEFGH是平行四边形，是平行四边形，因为等腰梯形的对角线相等，即因为等腰梯形的对角线相等，即AC=BDAC=BD，同时可推证，同时可推证EF=FGEF=FG，所，所以四边形以四边形EFGHEFGH是菱形是菱形. .已知菱形已知菱形EFGHEFGH的周长为的周长为40 m40 m，所以边，所以边EF=10 m.EF=10 m.所以所以AC=2EF=20 m .AC=2EF=20 m .答案：答案：20203.3.已知命题已知命题“在在ABCABC中中, ,若若ACAC2+BC+BC2ABA
17、B2, ,则则C90”,C90”,要证要证明这个命题是真命题明这个命题是真命题, ,可用反证法可用反证法, ,其步骤为：假设其步骤为：假设_,_,根根据据_,_,一定有一定有_,_,但这与已知但这与已知_相矛盾相矛盾, ,因因此假设是错误的此假设是错误的, ,于是可知原命题是真命题于是可知原命题是真命题. .【解析解析】C90C90的反面是的反面是C=90,C=90,在直角三角形在直角三角形ABCABC中中, ,依依据勾股定理可知据勾股定理可知ACAC2 2+BC+BC2 2=AB=AB2 2, ,这与已知这与已知ACAC2 2+BC+BC2 2ABAB2 2相矛盾相矛盾. .答案：答案：C=
18、90C=90勾股定理勾股定理 ACAC2 2+BC+BC2 2=AB=AB2 2 AC AC2 2+BC+BC2 2ABAB2 24.4.在四边形在四边形ABCDABCD中中, ,点点E,F,G,HE,F,G,H分别是边分别是边AB,BC,CD,DAAB,BC,CD,DA的中点的中点, ,如如果四边形果四边形EFGHEFGH为菱形为菱形, ,那么四边形那么四边形ABCDABCD是是_(_(只要写出一只要写出一种即可种即可) )【解析解析】答案不唯一：只要是对角线相等的四边形均符合要求答案不唯一：只要是对角线相等的四边形均符合要求. .如：正方形、矩形、等腰梯形等如：正方形、矩形、等腰梯形等答案：答案：正方形正方形( (或矩形、等腰梯形，答案不唯一或矩形、等腰梯形，答案不唯一) )5.5.已知一个数小于它的绝对值已知一个数小于它的绝对值, ,求证这个数必是负数求证这个数必是负数【解解析析】设设这这个个数数为为a,a,假假设设a a不不是是负负数数, ,则则有有两两种种情情况况：a a为为正正数数或或a a为为0.0.当当a a为为正正数数时时,a,a的的绝绝对对值值等等于于本本身身, ,与与题题设设矛矛盾盾. .当当a=0a=0时时,0,0的的绝绝对对值值等等于于0,0,这这与与题题设设相相矛矛盾盾, ,所所以以假假设设不不成成立立, ,故故原原结结论论是正确的是正确的
