《现代控制理论：CH1 绪论-补充 现代控制理论的数学基础》由会员分享，可在线阅读，更多相关《现代控制理论：CH1 绪论-补充 现代控制理论的数学基础（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、补充 现代控制理论的数学基础 现代控制理论的数学基础 一矩阵的定义一矩阵的定义1矩阵矩阵 矩矩阵阵定定义义为为矩矩阵阵阵阵列列，它它的的元元素素可可以以是是实实数数、复数、函数或算子。一个复数、函数或算子。一个n行行m列的矩阵表示为列的矩阵表示为称为称为 矩阵。矩阵。 1补充 现代控制理论的数学基础 2方阵方阵 方方阵阵是是行行数数和和列列数数相相等等的的矩矩阵阵。一一个个 矩矩阵阵称为称为n阶方阵。阶方阵。3向量向量1）只有一列的矩阵称为列向量。）只有一列的矩阵称为列向量。 具有具有n个元素的列向量个元素的列向量 称为称为n维列向量。维列向量。 2）只有一行的矩阵称为行向量。）只有一行的矩阵
2、称为行向量。 具具有有n个个元元素素的的行行向向量量 称称为为n维维行向量。行向量。 2补充 现代控制理论的数学基础 4对角线矩阵对角线矩阵 如如果果除除方方阵阵A的的主主对对角角线线元元素素外外，其其余余的的元元素素均均为零，则称矩阵为零，则称矩阵A为对角线矩阵，写成为对角线矩阵，写成 5单位矩阵单位矩阵主对角线上元素全为主对角线上元素全为1的对角线矩阵称为单位矩阵，即的对角线矩阵称为单位矩阵，即3补充 现代控制理论的数学基础 6零矩阵：零矩阵：所有元素都为零的矩阵。所有元素都为零的矩阵。7转置矩阵转置矩阵 如如果果 矩矩阵阵A的的行行和和列列互互相相交交换换，则则由由此此得得到的到的 矩阵
3、称为矩阵矩阵称为矩阵A的转置矩阵，用的转置矩阵，用AT表示。表示。 矩阵转置的规律：矩阵转置的规律：1）(AT )T = A 2）(A+B )T = AT+ BT 3）(AB )T = BT AT 4）(kA )T = kAT4补充 现代控制理论的数学基础 设设方方阵阵A的的行行列列式式为为|A|，如如果果|A|=0，则则称称A为为奇奇异矩阵；如果异矩阵；如果|A|0，则称，则称A为非奇异矩阵。为非奇异矩阵。9对称矩阵和斜对称矩阵（反号对称矩阵）对称矩阵和斜对称矩阵（反号对称矩阵）8奇异矩阵与非奇异矩阵奇异矩阵与非奇异矩阵1）对对称称矩矩阵阵：如如果果方方阵阵A的的元元素素相相对对于于主主对对
4、角角线线对对称称，则则称称A为为对对称称矩矩阵阵（也也可可以以这这样样说说：如如果果方方阵阵A等等于于它它的的转置矩阵，即转置矩阵，即A=AT，则，则A为对称矩阵）。为对称矩阵）。2）斜斜对对称称矩矩阵阵：如如果果方方阵阵A等等于于它它的的转转置置矩矩阵阵的的负负值值，即即A= - -AT，则方阵，则方阵A称为斜对称矩阵（反号对称矩阵）称为斜对称矩阵（反号对称矩阵）. 5补充 现代控制理论的数学基础 二矩阵的代数运算二矩阵的代数运算1矩阵的加减法矩阵的加减法 如果两个矩阵如果两个矩阵A和和B具有相等数量的行和列，则这具有相等数量的行和列，则这两个矩阵可以相加和相减。若两个矩阵可以相加和相减。若
5、 及及 ，则有则有 即即矩矩阵阵的的加加减减法法就就是是把把两两个个矩矩阵阵同同行行同同列列的的元元素素相相加、相减。加、相减。6补充 现代控制理论的数学基础 2矩阵与数的乘积（标量积）矩阵与数的乘积（标量积） 一一个个数数量量k与与矩矩阵阵A相相乘乘，就就是是把把矩矩阵阵A的的每每个个元素都乘上元素都乘上k，即，即7补充 现代控制理论的数学基础 3矩阵与矩阵的乘法矩阵与矩阵的乘法 设设A为为nm矩矩阵阵，B为为mp矩矩阵阵，则则A和和B的的乘乘积矩阵积矩阵C为：为： 矩阵与矩阵乘法的性质：矩阵与矩阵乘法的性质：1）(AB)C=A(BC) 2）(A+B)C=AC+BC3）C (A+B) =CA
6、+CB4）一般情况下，矩阵乘法不满足交换律，即）一般情况下，矩阵乘法不满足交换律，即AB BA。5）一一个个n阶阶方方阵阵A与与一一个个n阶阶单单位位矩矩阵阵I相相乘乘时时，可可互互换换位位置置顺序，其乘积相同，即顺序，其乘积相同，即IA=AI=A。6）如果两个方阵）如果两个方阵A和和B的乘积等于零的乘积等于零,不能推论不能推论A=0或或B = 08补充 现代控制理论的数学基础 三逆矩阵（三逆矩阵（）1子子式式Mij ：从从n阶阶方方阵阵A中中去去掉掉第第i行行和和第第j列列后后所所得得到到的的是是一一个个(n-1)阶阶方方阵阵，该该(n-1)阶阶方方阵阵的的行行列列式便称为式便称为n阶方阵阶
7、方阵A的子式的子式Mij。 2余余因因子子Aij ：矩矩阵阵A的的一一个个元元素素aij的的余余因因子子Aij是是用用方方程程Aij=(- -1)i+jMij来来定定义义的的，即即元元素素aij的的余余因因子子Aij是是以以(- -1)i+j乘乘矩矩阵阵A中中去去掉掉第第i行行和和第第j列列后后构构成成的的矩阵的行列式矩阵的行列式子式子式Mij。9补充 现代控制理论的数学基础 3伴伴随随矩矩阵阵：矩矩阵阵A的的伴伴随随矩矩阵阵是是以以A的的余余因因子子为为元素所构成的矩阵的转置矩阵，即元素所构成的矩阵的转置矩阵，即4矩矩阵阵的的逆逆矩矩阵阵：若若方方阵阵A的的行行列列式式|A|不不等等于于零零
8、，即即A为非奇异，则矩阵为非奇异，则矩阵A有逆矩阵存在，其计算式为有逆矩阵存在，其计算式为10补充 现代控制理论的数学基础 5逆矩阵的特性：逆矩阵的特性：1）AA- -1 = A- -1A = I （I为单位矩阵）为单位矩阵）2）若）若|A| 0，|B| 0，则，则(BA)- -1=A- -1B- -13）如果）如果|A| 0，则，则(AT)- -1=(A-1)T4）(A- -1)- -1 = A四矩阵的秩（四矩阵的秩（） 如如果果矩矩阵阵A的的m阶阶子子矩矩阵阵存存在在，且且至至少少有有一一个个m阶阶子子矩矩阵阵的的行行列列式式不不为为零零，而而A的的r阶阶子子矩矩阵阵（rm+1）构构成成的
9、的行行列列式式均均为为零零，则则称称矩矩阵阵A的的秩等于秩等于m，记为，记为rankA = m。11补充 现代控制理论的数学基础 五矩阵的初等变换（五矩阵的初等变换（） 如如果果对对矩矩阵阵的的元元素素实实行行了了下下列列三三种种变变换换之之一一，就说这个矩阵经过了一次就说这个矩阵经过了一次初等变换，即初等变换，即1）将任意两行（或两列）的元素互换位置；）将任意两行（或两列）的元素互换位置；2）将任意一行（或一列）的元素乘上不等于）将任意一行（或一列）的元素乘上不等于0的数的数;3）将将任任意意一一行行（或或一一列列）元元素素的的c倍倍加加到到另另一一行行（或另一列）的元素上去。（或另一列）的
10、元素上去。 矩阵的初等变换有下述两个重要定理：矩阵的初等变换有下述两个重要定理：1）一个矩阵经过任何一种初等变换后，其秩不变。）一个矩阵经过任何一种初等变换后，其秩不变。2）任任意意一一个个矩矩阵阵经经过过一一系系列列的的初初等等变变换换后后，总总能能变变成阶梯形矩阵。成阶梯形矩阵。12补充 现代控制理论的数学基础 阶阶梯梯形形矩矩阵阵：矩矩阵阵任任一一行行第第一一个个非非零零元元素素的的下下方方全为零。例如全为零。例如 因因为为阶阶梯梯形形矩矩阵阵很很容容易易确确定定它它的的秩秩，因因此此利利用用上上述述两两个个定定理理，先先把把矩矩阵阵变变成成阶阶梯梯形形矩矩阵阵，再再确确定阶梯形矩阵的秩
11、，即为原矩阵的秩。定阶梯形矩阵的秩，即为原矩阵的秩。13补充 现代控制理论的数学基础 考虑方阵考虑方阵A特征矩阵特征矩阵：A- - I特征方程：特征方程：| A- - I | = 0特征值：特征值：特征方程的根特征方程的根特征向量：特征向量：将某一特征值将某一特征值 i 代入方程代入方程Ax = x中，中，解解得的向量得的向量x 称为与特征值称为与特征值 i 相应的一个特征向量。相应的一个特征向量。六矩阵的特征值和特征向量（六矩阵的特征值和特征向量（）14补充 现代控制理论的数学基础 七向量的线性相关和线性独立七向量的线性相关和线性独立(或称线性无关或称线性无关) ()设有设有m个个n维向量维向量如果存在一组不全为零的数如果存在一组不全为零的数 ，使得，使得则则称称向向量量组组 是是线线性性相相关关的的。如如果果只只有有当当 时，才能使时，才能使则称这则称这m个向量是线性独立的。个向量是线性独立的。15
