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1、2.5 矩阵的初等变换1初等变换初等变换定义定义 1矩阵的下列三种变换矩阵的下列三种变换称为矩阵的称为矩阵的初等行变换初等行变换:(1)交换矩阵的两行交换矩阵的两行 (交换交换两行两行, ,记为记为(2) 以一个非零的数以一个非零的数 乘矩阵的某一行乘矩阵的某一行(第第行乘行乘为为(3)到到 行行, ,记为记为类似可定义矩阵的类似可定义矩阵的初等列变换初等列变换(相应记号中把相应记号中把 换换成成记记把矩阵的某一行的把矩阵的某一行的倍加到另一行倍加到另一行(第第行乘行乘加加矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换初等变换. .初等变换初等变换注意注意 初等变
2、换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换, , 且变换类型且变换类型相同相同. .逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换初等变换初等变换定义定义2 若矩阵若矩阵经有限次初等变换变成矩阵经有限次初等变换变成矩阵矩阵矩阵与与等价等价, ,注注: :在理论表述或证明中在理论表述或证明中, ,常用记号常用记号在对矩阵作在对矩阵作记为记为(或或). .初等变换运算的过程中初等变换运算的过程中, ,常用记号常用记号则称则称矩阵之间的等到价关系具有下列性质矩阵之间的等到价关系具有下列性质: :(1) 自反性自反性(2) 对称性对称性 若若则则(3) 传递性传递性则则若若完完阶梯形矩阵阶梯形矩阵一般地
3、一般地,称满足下列条件的矩阵为称满足下列条件的矩阵为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵: :(1) 零行零行(元素全为零的行元素全为零的行)位于矩阵的下方位于矩阵的下方: :(2) 各非零行的首非零元各非零行的首非零元 (从左至右的一个不为零从左至右的一个不为零的元素的元素)的列标随着行标的增大而严格增大的列标随着行标的增大而严格增大(或说或说其列标一定不小于行标其列标一定不小于行标). .对例对例1中的矩阵中的矩阵阶梯形矩阵阶梯形矩阵再作初等行变换再作初等行变换: :称这里的特殊形状的阶梯矩阵称这里的特殊形状的阶梯矩阵为行最简形矩阵为行最简形矩阵. .一般地一般地, ,称满足下列条件的阶梯形矩阵为称满
4、足下列条件的阶梯形矩阵为行最简形行最简形矩阵矩阵: :(1) 各非零行的首非零元都是各非零行的首非零元都是1; ;(2) 每个首非零元所在列的其余元素都零每个首非零元所在列的其余元素都零. .阶梯形矩阵阶梯形矩阵若对上述行最简形矩阵若对上述行最简形矩阵再作初等列变换再作初等列变换: :这里的矩阵这里的矩阵称为原矩阵称为原矩阵的的标准形标准形. .一般地一般地, ,矩阵矩阵的标准形的标准形具有如下特点具有如下特点: :的左上角是一个单位矩阵的左上角是一个单位矩阵, ,其余元素全为其余元素全为0. .完完定理定理 1 任意一个矩阵任意一个矩阵经过有限次初等变经过有限次初等变换换, ,可以化为下列可
5、以化为下列标准形矩阵标准形矩阵行行列列定理定理 1注注: : 定理定理1的证明也实质上给出了下列结论的证明也实质上给出了下列结论: :定理定理任一矩阵任一矩阵总可以经过有限次初等行变换化总可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵为行阶梯形矩阵, ,并进而化为行最简形矩阵并进而化为行最简形矩阵. .根据定理根据定理1的证明及初等变换的可逆性的证明及初等变换的可逆性, ,有有推论推论 如果如果为为阶可逆矩阵阶可逆矩阵, , 则矩阵则矩阵经过有限次经过有限次初等变换可化为单位矩阵初等变换可化为单位矩阵即即完完例例3 将矩阵将矩阵化为标准形化为标准形. .解解完完初等矩阵初等矩阵定义定义施以一次初等交
6、换得到的矩阵施以一次初等交换得到的矩阵, ,对单位矩阵对单位矩阵称为称为初等矩阵初等矩阵. .三种初等矩阵三种初等矩阵: :(1) 对对施以第一种初等变换施以第一种初等变换或或得到矩阵得到矩阵行行行行;列列列列初等矩阵初等矩阵定义定义施以一次初等交换得到的矩阵施以一次初等交换得到的矩阵, ,对单位矩阵对单位矩阵称为称为初等矩阵初等矩阵. .三种初等矩阵三种初等矩阵: :(2)对对施以第二种初等变换施以第二种初等变换或或得到矩阵得到矩阵行行; ;列列初等矩阵初等矩阵定义定义施以一次初等交换得到的矩阵施以一次初等交换得到的矩阵, ,对单位矩阵对单位矩阵称为称为初等矩阵初等矩阵. .三种初等矩阵三种
7、初等矩阵: :(3)对对施以第三种初等变换施以第三种初等变换或或得到矩阵得到矩阵行行行行. .列列列列初等矩阵初等矩阵定义定义施以一次初等交换得到的矩阵施以一次初等交换得到的矩阵, ,对单位矩阵对单位矩阵称为称为初等矩阵初等矩阵. .初等矩阵有下列基本性质初等矩阵有下列基本性质: :(1)(2)完完定理定理 2 设设对对施以一次某种初等行施以一次某种初等行(列列)变换变换, ,相当于用同种的相当于用同种的阶初等矩阵左阶初等矩阵左(右右)乘乘证证左乘左乘将将与与分块为分块为行等于用行等于用现证明交换现证明交换的第的第行与第行与第其中其中列列例例4而而则则即用即用左乘左乘2行行. .相当于交换矩阵
8、相当于交换矩阵的第的第1与第与第设有矩阵设有矩阵又又即用即用右乘右乘2加于第加于第1列列. .相当于将矩阵相当于将矩阵的第的第3列乘列乘求逆矩阵的初等变换法求逆矩阵的初等变换法定理定理 3阶矩阵阶矩阵 可逆的充分必要条件是它可以表可逆的充分必要条件是它可以表示为若干初等矩阵的乘积示为若干初等矩阵的乘积. .证证 因初等矩阵可逆因初等矩阵可逆, ,所以充分条件显然所以充分条件显然. .必要性必要性 由定理由定理1的推论知的推论知, ,若若可逆可逆, ,则经有限次初则经有限次初等变换可化为等变换可化为即存在初等矩阵即存在初等矩阵使得使得即矩阵即矩阵可以表示为若干初等矩阵的乘积可以表示为若干初等矩阵
9、的乘积. . 证毕证毕. .求逆矩阵的初等变换法求逆矩阵的初等变换法定理定理 3阶矩阵阶矩阵 可逆的充分必要条件是它可以表可逆的充分必要条件是它可以表示为若干初等矩阵的乘积示为若干初等矩阵的乘积. .逆矩阵的一种求法逆矩阵的一种求法: :若若可逆可逆, , 则则可逆可逆, ,由定理由定理 3, ,使得使得即即存在初等矩阵存在初等矩阵求逆矩阵的初等变换法求逆矩阵的初等变换法定理定理 3阶矩阵阶矩阵 可逆的充分必要条件是它可以表可逆的充分必要条件是它可以表示为若干初等矩阵的乘积示为若干初等矩阵的乘积. .逆矩阵的一种求法逆矩阵的一种求法: :即即式表示对式表示对施以若干次初等行变换化为施以若干次初
10、等行变换化为式表示对式表示对施以同样的初等行变换化为施以同样的初等行变换化为具体求法具体求法: :作一个作一个矩阵矩阵初等行变换初等行变换完完书例422例例8求下列求下列阶方阵的逆阵阶方阵的逆阵: :中空白处表示为零中空白处表示为零. .解解所以所以完完也可改为对也可改为对作初等行变换作初等行变换. .用初等变换法求解矩阵方程用初等变换法求解矩阵方程问题问题: : 求矩阵求矩阵使使其中其中 为可逆矩阵为可逆矩阵. .方法方法: : 易见该问题等价于求矩阵易见该问题等价于求矩阵再利用初等行变换求逆阵的方法再利用初等行变换求逆阵的方法, ,计算矩阵计算矩阵即即初等行变换初等行变换同理同理, ,求解
11、矩阵方程求解矩阵方程等价于计算矩阵等价于计算矩阵则可利用初等列变换则可利用初等列变换, ,计算矩阵计算矩阵即即初等列变换初等列变换注意注意: :例例11 求解矩阵方程求解矩阵方程其中其中解解 先将原方程作恒等变形先将原方程作恒等变形: :由于由于而而故故可逆可逆. .从而从而例例11解解=可采用列初等变换的方法求解可采用列初等变换的方法求解: :即即完完2.6 矩阵的秩30矩阵的矩阵的 阶子式阶子式定义定义列列在在矩阵矩阵中任取中任取 行行位于这些行列交叉处的位于这些行列交叉处的个元素个元素, ,不改变它们在不改变它们在中所处的位置次序中所处的位置次序而得的而得的 阶行列式阶行列式, ,称为矩
12、阵称为矩阵的的阶子式阶子式. .矩阵矩阵阶子式阶子式共有共有的的 个个. .例如例如, ,由一三两行、由一三两行、 二四两列二四两列矩阵矩阵. .当当时时, , 它的任何子式都为零它的任何子式都为零. .当当时时, , 它至少有一个元素不为零它至少有一个元素不为零, ,即它至少有即它至少有一个一阶子式不为零一个一阶子式不为零. . 再考察二阶子式再考察二阶子式, ,若若 中有一中有一个二阶子式不为零个二阶子式不为零, , 则往下考察三阶子式则往下考察三阶子式, , 如此进行如此进行下去下去, ,最后必达到最后必达到 中有中有 阶子式不为零阶子式不为零, ,而再没有而再没有比比 更高阶的不为零的
13、子式更高阶的不为零的子式. .这个不为零的子式的这个不为零的子式的最高阶数最高阶数 反映了矩阵反映了矩阵内在的重要特征内在的重要特征, ,在矩阵在矩阵构成的二阶子式为构成的二阶子式为设设为一个为一个的理论与应用中都有重要意义的理论与应用中都有重要意义. .矩阵秩的定义与性质矩阵秩的定义与性质定义定义 设设为为矩阵矩阵, ,如果存在如果存在的的 阶子式不阶子式不为零为零, , 而任何而任何阶子式阶子式 (如果存在的话如果存在的话)皆为零皆为零, ,称称为矩阵为矩阵的的秩秩, ,记为记为(或或并规定零矩并规定零矩阵的秩等于零阵的秩等于零. .注注: :显然显然, ,中不等于零的子式的最中不等于零的
14、子式的最矩阵矩阵的秩是的秩是高阶数高阶数. .则则矩阵的秩具有下列性质矩阵的秩具有下列性质: :(1) 若矩阵若矩阵 中有某个中有某个阶子式不为阶子式不为0, ,则则(2) 若若中所有中所有 阶子式全为阶子式全为0, ,则则(3) 若若为为矩阵矩阵, ,则则(4)矩阵秩的定义与性质矩阵秩的定义与性质定义定义 设设为为矩阵矩阵, ,如果存在如果存在的的 阶子式不阶子式不为零为零, , 而任何而任何阶子式阶子式 (如果存在的话如果存在的话)皆为零皆为零, ,称称为矩阵为矩阵的的秩秩, ,记为记为(或或并规定零矩并规定零矩阵的秩等于零阵的秩等于零. .则则当当时时, ,为为满秩矩阵满秩矩阵. .称称
15、否则称为否则称为降秩矩阵降秩矩阵. .例如例如, ,都是满秩矩阵都是满秩矩阵. .完完例例1 求矩阵求矩阵解解 在在中中, ,又又的的3阶子式只有一个阶子式只有一个且且完完的秩的秩. .例例2 求矩阵求矩阵解解是一个行阶梯形矩阵是一个行阶梯形矩阵, , 其非零行只有其非零行只有3行行,的所有四阶子式全为零的所有四阶子式全为零. .而而完完的秩的秩. .矩阵秩的求法矩阵秩的求法阶梯形矩阵的秩容易判断阶梯形矩阵的秩容易判断, ,而任何矩阵中可经过有而任何矩阵中可经过有限次初等行变换化为阶梯形限次初等行变换化为阶梯形, ,因此可用初等变换来因此可用初等变换来求矩阵的秩求矩阵的秩. .定理定理 矩阵经初等变换后矩阵经初等变换后, ,其秩不变其秩不变. .初等变换求矩阵秩的方法初等变换求矩阵秩的方法: :把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵, ,行阶梯形行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩. .完完例例3 求矩阵求矩阵解解故故完完的秩的秩. .例例4 求矩阵求矩阵解解最后一矩阵的秩显然等于最后一矩阵的秩显然等于3, , 故故完完的秩的秩. .
