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1、 第一课时第一课时1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性第第1 1课时课时 函数奇偶性的概念函数奇偶性的概念 1.1.根据函数图象的对称性理解函数的奇偶性；根据函数图象的对称性理解函数的奇偶性；2.2.理解函数奇偶性的定义；理解函数奇偶性的定义；3.3.会根据函数图象和函数的解析式判断函数的奇偶性。会根据函数图象和函数的解析式判断函数的奇偶性。用计算机软件画出函数用计算机软件画出函数的图象。的图象。考虑如下问题：考虑如下问题：（1 1）函数的图象具有什么样的性质？）函数的图象具有什么样的性质？（2 2）函数图象的这些性质如何用函数的解析式进行表达？）函数图象的这些性质如何用函数的解析式进行表达？
2、函数图象关于函数图象关于y y轴对称；对轴对称；对定义域内任意的自变量定义域内任意的自变量x x都都有有函数图象关于函数图象关于y y轴对称；对定义轴对称；对定义域内任意的自变量域内任意的自变量x x都有都有函数图象关于函数图象关于y y轴对称；对定轴对称；对定义域内任意的自变量义域内任意的自变量x x都有都有 一般地，如果对于函数一般地，如果对于函数f(x)f(x)定义域内任意一个定义域内任意一个x x，都有，都有f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)，那，那么这个函数么这个函数f(x)f(x)就叫做偶函数。就叫做偶函数。探究点探究点1 1 偶函数的定义偶函数的定义注意注意：（1 1）函数
3、是偶函数的性质是函数在定义域上的整体性质，即定义域内）函数是偶函数的性质是函数在定义域上的整体性质，即定义域内的任意一个自变量都得满足其定义；的任意一个自变量都得满足其定义；（2 2）函数是偶函数和函数图象关于）函数是偶函数和函数图象关于y y轴对称是一回事，偶函数的定义是函数轴对称是一回事，偶函数的定义是函数图象关于图象关于y y轴对称的数量化。轴对称的数量化。 根据图象判断下列函数哪个是偶函数，不是偶函数的函数图象又有什么根据图象判断下列函数哪个是偶函数，不是偶函数的函数图象又有什么性质。性质。偶函数偶函数偶函数偶函数探究点探究点2 2 奇函数的定义奇函数的定义函数不是偶函数，图象关于坐标
4、原点对称，即对于函数定义域内的任意函数不是偶函数，图象关于坐标原点对称，即对于函数定义域内的任意x x都都有有f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x) 一般地，如果对于函数一般地，如果对于函数f(x)f(x)定义域内任意一个定义域内任意一个x x，都有，都有f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)，那，那么函数么函数f(x)f(x)就叫做就叫做奇函数奇函数。注意注意：(1)(1)函数是奇函数的性质是函数在定义域上的整体性质，即定义域内的函数是奇函数的性质是函数在定义域上的整体性质，即定义域内的任意一个自变量都得满足其定义；任意一个自变量都得满足其定义；(2)(2)函数是奇函数的性质和函
5、数图象关于坐标原点对称是一回事，奇函数的定函数是奇函数的性质和函数图象关于坐标原点对称是一回事，奇函数的定义是函数图象关于坐标原点对称的数量化。义是函数图象关于坐标原点对称的数量化。练习（练习（1 1）判断函数）判断函数 的奇偶性。的奇偶性。（2 2）如图是函数）如图是函数 图象的一部分，如何画出函数在图象的一部分，如何画出函数在整个定义域上的图象？整个定义域上的图象？解：解：(1)(1)对于函数对于函数 ，其定义域是，其定义域是 。由于由于对定义域内的任意对定义域内的任意x x，都有，都有所以，函数所以，函数f(x)f(x)是奇函数。是奇函数。(2)(2)由于奇函数的图象关于坐标原点对称，由
6、于奇函数的图象关于坐标原点对称，只要在函数图象上找点作出这些点关于坐只要在函数图象上找点作出这些点关于坐标原点的对称点，描点即可作出函数在整标原点的对称点，描点即可作出函数在整个定义上的图象。如图个定义上的图象。如图例例5.5.判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：（1 1） ； （2 2） ；（3 3） ； （4 4） 。分析：分析：只要按照函数奇偶性的定义，检验各个函数是否符合即可。只要按照函数奇偶性的定义，检验各个函数是否符合即可。解解：（1 1）对于函数）对于函数f(x)=xf(x)=x4 4，其定义域是，其定义域是 。因为对定义域内的每一个因为对定义域内的每一个x x，都有，都
7、有 所以，函数所以，函数f(x)=xf(x)=x4 4为偶函数。为偶函数。(2)(2)对于函数对于函数f(x)=xf(x)=x5 5，其定义域为，其定义域为 。因为对定义域内的每一个因为对定义域内的每一个x x，都有，都有所以，函数所以，函数f(x)=xf(x)=x5 5是奇函数。是奇函数。(3)(3)对于函数对于函数 ，其定义域是，其定义域是x|x0x|x0。因为对定义域内的每一个因为对定义域内的每一个x x，都有，都有所以，函数所以，函数 是奇函数。是奇函数。(4)(4)对函数对函数 ，其定义域是，其定义域是 . .由于对定义域内的每一个由于对定义域内的每一个x x，都有，都有所以，函数所
8、以，函数 是偶函数。是偶函数。用函数奇偶性的定义判断函数奇偶性的一般步骤是：用函数奇偶性的定义判断函数奇偶性的一般步骤是：（1 1）先求函数的定义域，由于在函数奇偶性的定义中都是）先求函数的定义域，由于在函数奇偶性的定义中都是x x和和-x-x对应出现，对应出现，故具备奇偶性的函数的定义域区间故具备奇偶性的函数的定义域区间一定关于坐标原点对称一定关于坐标原点对称，如果求出函数的，如果求出函数的定义域不是关于坐标原点对称的，则这个函数不具备奇偶性。定义域不是关于坐标原点对称的，则这个函数不具备奇偶性。（2 2）验证）验证f(-x)=f(x) f(-x)=f(x) ，或者，或者f(-x)=-f(x
9、).f(-x)=-f(x).（3 3）根据函数奇偶性的定义作出结论。）根据函数奇偶性的定义作出结论。1.1.判断下列函数的奇偶性。判断下列函数的奇偶性。偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数2.2.已知已知f(x)f(x)是偶函数，是偶函数，g(x)g(x)是奇函数，试将下图补充完整。是奇函数，试将下图补充完整。解：解：1. 1. 函数图象的对称性从形上反应了函数的奇偶性，函数奇偶性的定义从数函数图象的对称性从形上反应了函数的奇偶性，函数奇偶性的定义从数上刻画了函数的奇偶性。两者之间是一个问题的两个表达方式，即他们之上刻画了函数的奇偶性。两者之间是一个问题的两个表达方式，即他们之间是
10、一回事。函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质。间是一回事。函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质。2.2.并不是所有的函数都具备奇偶性，按照奇偶性对函数进行分类，可以分并不是所有的函数都具备奇偶性，按照奇偶性对函数进行分类，可以分为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数四类；函数具为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数四类；函数具备奇偶性必需定义域关于坐标原点对称。备奇偶性必需定义域关于坐标原点对称。人生最终的价值在于觉醒和思考的能力，而不只在于生存。亚里士多德 第二课时第二课时【例【例1 1】判断下列函数的奇偶性】判断下列函数的奇偶性: :(1)f(x)=(1)f
11、(x)=(2)f(x)=2-|x|;(2)f(x)=2-|x|;(3)f(x)= (3)f(x)= (4)f(x)= (4)f(x)= 【审题指导】【审题指导】本题中函数的定义域均需确定本题中函数的定义域均需确定, ,故需确定完定故需确定完定义域后义域后, ,再严格按照函数奇偶性的定义来判断再严格按照函数奇偶性的定义来判断. .(3)(3)函数函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为-1,1,-1,1,关于原点对称关于原点对称, ,且且f(x)=0,f(x)=0,又又f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数
12、既是奇函数又是偶函数. .(4)(4)显然函数显然函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为x|x1,x|x1,不关于原点对称不关于原点对称,f(x),f(x)是非奇非偶函数是非奇非偶函数. .【例】判断下列函数是奇函数还是偶函数，并说明理由：【例】判断下列函数是奇函数还是偶函数，并说明理由：(1)f(x)=x(1)f(x)=x3 3+2x;(2)f(x)=x+2x;(2)f(x)=x2 2-|x|+1;(3)f(x)=-|x|+1;(3)f(x)=【审题指导】【审题指导】用定义判断函数奇偶性时，先看定义域是否用定义判断函数奇偶性时，先看定义域是否关于原点对称，再看关于原点对称，再看f(-x)f
13、(-x)与与f(x)f(x)的关系，从而判断函数的的关系，从而判断函数的奇偶性奇偶性. .(2)(2)函数的定义域为函数的定义域为R R，它关于原点对称，它关于原点对称，又又f(-x)=(-x)f(-x)=(-x)2 2-|-x|+1=x-|-x|+1=x2 2-|x|+1,-|x|+1,即即f(-x)=f(x),f(-x)=f(x),所以函数所以函数f(x)f(x)是偶函数是偶函数. .(3)(3)因为函数的定义域为因为函数的定义域为x|x1x|x1，它不关于原，它不关于原点对称，所以函数点对称，所以函数f(x)f(x)既不是奇函数也不是偶函数既不是奇函数也不是偶函数. .1.1.函数函数f
14、(x)= ,x(0,1)f(x)= ,x(0,1)是是( )( )(A)(A)奇函数奇函数(B)(B)偶函数偶函数(C)(C)非奇非偶函数非奇非偶函数(D)(D)既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数【解析】【解析】选选C.C.显然定义域不关于原点对称显然定义域不关于原点对称, ,因而是非奇非偶因而是非奇非偶函数函数. .2.2.函数函数f(x)=xf(x)=x2 2+|x|+|x|的奇偶性为的奇偶性为( )( )(A)(A)奇函数奇函数(B)(B)偶函数偶函数(C)(C)既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数(D)(D)非奇非偶函数非奇非偶函数【解析】【解析】选选B.B.函数的定义域是函
15、数的定义域是(-,+),(-,+),且且f(-x)=f(-x)=(-x)(-x)2 2+|-x|=x+|-x|=x2 2+|x|=f(x),+|x|=f(x),所以此函数是偶函数所以此函数是偶函数. .3.3.已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x4 4, ,则其图象则其图象( )( )(A)(A)关于关于x x轴对称轴对称 (B) (B)关于关于y y轴对称轴对称(C)(C)关于原点对称关于原点对称 (D) (D)关于直线关于直线y=xy=x对称对称【解析】【解析】选选B.B.显然显然, ,函数函数f(x)=xf(x)=x4 4是偶函数是偶函数, ,因而其图象关于因而其图象关于y y轴对称轴对称. .4.4.若函数若函数f(x)=axf(x)=ax2 2+2+2在在3-a,53-a,5上是偶函数上是偶函数, ,则则a=_.a=_.【解析】【解析】由题意可知由题意可知3-a=-5,a=8.3-a=-5,a=8.答案：答案：8 85.5.如图给出奇函数如图给出奇函数y=f(x)y=f(x)的局部图象的局部图象, ,则则f(-2)f(-2)的值是的值是_._.【解析】【解析】y=f(x)y=f(x)是奇函数是奇函数, ,f(-2)=-f(2)=f(-2)=-f(2)=答案：答案：6.6.判断下列函数图象对应函数的奇偶性判断下列函数图象对应函数的奇偶性: :
