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1、第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）外力功与应变能的一般表达式外力功与应变能的一般表达式外力功与应变能的一般表达式外力功与应变能的一般表达式上一讲回顾上一讲回顾克拉比隆定理克拉比隆定理克拉比隆定理克拉比隆定理1第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）若若F1=F2位移互等定理位移互等定理ADF22 12 221ADF12 11 211功的互等定理功的互等定理上一讲回顾上一讲回顾可推广到两组外力情形可推广到两组外力情形2第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）第第 12 12 章章 能量法（一）能量法（一） 12-3 12-3 12-3 12-3 卡氏定理卡氏定理卡氏定理卡氏定理
2、12-2A 12-2A 12-2A 12-2A 互等定理的应用互等定理的应用互等定理的应用互等定理的应用3第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）例：例： 测量线弹性梁（图测量线弹性梁（图a, 等等截面或任意形状变截面）截面或任意形状变截面）A、B两点挠度，但仅端点两点挠度，但仅端点C适合装千适合装千分表。分表。解：解： 设图设图a在在A点的挠度为点的挠度为如图如图b加载和装千分表，加载和装千分表，测得测得C点的挠度为点的挠度为则根据位移互等定理则根据位移互等定理4第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）例：例：等直杆宽等直杆宽b，拉压刚度，拉压刚度EA，泊松比，泊松比 求求解解: 设
3、第二种受力状态为设第二种受力状态为 轴向拉力轴向拉力F对于任意截面形状的等直杆，解答是否成立对于任意截面形状的等直杆，解答是否成立? ?(1)(2)5第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）由功的互等定理由功的互等定理例：例： 如图如图a支座支座A因装配应力破因装配应力破坏，坏，A、B点分别下降点分别下降 和和 , 在新的无初应力位置修复（图在新的无初应力位置修复（图b），求），求B点作用点作用F 时支座时支座A的约的约束反力。束反力。 解：解： 在破坏前和破坏又修复在破坏前和破坏又修复后，结构受力状态如图后，结构受力状态如图a,b。 (b)(a)6第十二章第十二章 能量法能量法( (一）
4、一）解：解： 考虑薄板受均布载荷考虑薄板受均布载荷q (面分布载荷面分布载荷N/m2)由功的互等定理由功的互等定理FFABd例：例： 已知已知E， ，厚度，厚度h ，求均质薄板面积改变量求均质薄板面积改变量D DAq7第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）8第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）12-3 12-3 卡氏定理卡氏定理卡氏定理卡氏定理 余功与余能余功与余能余功与余能余功与余能fdf d 绿绿颜色微面积颜色微面积外力功外力功余功余功红红颜色微面积颜色微面积 fF 9第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一） 余能余能余能余能弹性体的余能弹性体的余能弹性体余能也可通过微段
5、或微体进行计算：弹性体余能也可通过微段或微体进行计算： $线性弹性体：应变能线性弹性体：应变能= =余能余能( (数值数值) )$数值相同，但物理意义不同数值相同，但物理意义不同余能密度余能密度 10第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一） 克罗第克罗第恩格塞定理与卡氏第二定理恩格塞定理与卡氏第二定理AB 1Fn 2F1F2Fk k n弹性梁受多个广义力弹性梁受多个广义力Fk的作用，的作用，求各广义力的求各广义力的相应位移相应位移 k k。方法一：方法一：叠加法叠加法方法二：方法二：能量法能量法弹性体总余能：弹性体总余能：外力总余功：外力总余功：11第十二章第十二章 能量法能量法( (一）
6、一）给给Fk增加一微量增加一微量 FkFnF1AB 1 2F2Fk k n弹性体总余能：弹性体总余能：外力总余功的增量：外力总余功的增量： Fk弹性体总余能增量：弹性体总余能增量：Crotti-Crotti-EngesserEngesser定理定理 fF 12第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一） 对于线弹性体：对于线弹性体：（余能（余能= =应变能）应变能）卡氏第二定理卡氏第二定理卡氏第一定理：卡氏第一定理：( (较少应用较少应用) ) 公式中公式中 k k为广义力为广义力Fk的的相应广义位移相应广义位移 公式中的公式中的广义力广义力Fk为为相互独立的变量相互独立的变量13第十二章第十
7、二章 能量法能量法( (一）一） 卡氏第二定理的证明：卡氏第二定理的证明：AB 1Fn 2F1F2Fk k n F Fk k1、 各各Fi作用下作用下梁的总外力功梁的总外力功2、给、给Fk一微增量一微增量 Fk后的外力功增量后的外力功增量 3、改变加载次序、改变加载次序(先加先加 Fk，后，后) 加加Fi)的的总外力功总外力功4 4、根据总外力功与加载次序无关、根据总外力功与加载次序无关 卡氏第二定理要早于克罗第卡氏第二定理要早于克罗第恩格塞定理恩格塞定理线性系统线性系统14第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）AB 1Fn 2F1F2Fk k n Fk 卡氏第二定理的证明：卡氏第二定理
8、的证明：Fi的作用下：的作用下：先加上先加上 Fk ，再加上再加上Fi若给若给Fk一个增量一个增量 Fk（略去高阶小量）（略去高阶小量）外力功应变能外力功应变能15第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一） 讨论两个定理的适用范围：讨论两个定理的适用范围：克罗第克罗第恩格塞定理：恩格塞定理：卡氏第二定理：卡氏第二定理：弹性体弹性体线弹性体线弹性体 对于非线性材料对于非线性材料( (应力应力应变关系非线性应变关系非线性) )， 需用克罗第需用克罗第恩格塞定理。恩格塞定理。16第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）例：材料的应力例：材料的应力应变关系为：应变关系为：。压缩时，方程中的。压缩
9、时，方程中的 和和 均取绝对值。求均取绝对值。求A端的挠度。端的挠度。F FlAx xz zy yh hb b弹性体余能：弹性体余能：不考虑剪力的影响：不考虑剪力的影响：微体处于单向微体处于单向 应力状态应力状态余能密度：余能密度：17第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）梁任一点的应力表达式：梁任一点的应力表达式：F FlAx x平面假设平面假设应力应变关系应力应变关系平衡方程平衡方程18第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一） 卡氏定理的应用：卡氏定理的应用：例例1：求：求A端的挠度端的挠度PlxA19第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）P PlA例例2：求：求A端的转角
10、端的转角P PxM附加力法：附加力法：先假设一附加力，对被积函数求导后，令附加力等于零先假设一附加力，对被积函数求导后，令附加力等于零20第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）例例3：EI为常数，求为常数，求fA， A解：为避免混淆，设解：为避免混淆，设Pa=MRBRCx2x1ABCPaPaa特别提醒：先区分符号，再求支反力。特别提醒：先区分符号，再求支反力。该例题具有特殊性，该例题具有特殊性，BC段弯矩为段弯矩为零零，RB的计算不区分的计算不区分P与与M也可得也可得出相同的解答，但仅仅是特例。出相同的解答，但仅仅是特例。21第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）例例4：图示刚架，
11、：图示刚架，EI为常数，为常数，1、求、求A点的水平与垂直位移；点的水平与垂直位移； 2、分析、分析 的意义。的意义。FFAaaF2AaaF11 1、求位移、求位移2 2、22第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一） 讨论讨论的意义的意义FFAB代表代表AB两点的相对位移两点的相对位移若若两个两个F共线共线反向，反向， 为两载荷对应的相对线位移为两载荷对应的相对线位移的意义的意义A AB BMM若若两个两个M反向，反向， 为两载荷对应的相对角位移为两载荷对应的相对角位移23第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）例例5 5：各杆：各杆EA相同相同，求，求A、B两点的相对水平位移和两点的相对水平位移和AB杆的转动角杆的转动角ABaaaPABaaaP1P1PAB杆的转动角杆的转动角24第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）ABaaaP另一种求另一种求AB杆的转动角的方法杆的转动角的方法MM/aM/aAB25第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）作业：作业：11-9，11-10 (旧书旧书)12-9，12-10 (新书新书)13-9，13-10 (新书新书)26第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）谢谢27
