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1、一、概率的统计定义一、概率的统计定义二、古典概型二、古典概型1.3 1.3 概率的定义概率的定义三、几何概型三、几何概型四、概率的公理化定义四、概率的公理化定义1. 定义定义 一、概率的统计定义一、概率的统计定义2. 频率的性质频率的性质设设 A 是随机试验是随机试验 E 的任一事件的任一事件, 则则实例实例 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷 5 次、次、50 次、次、500 次次, 各做各做 7 遍遍, 观察正面出现的次数及频率观察正面出现的次数及频率.试验试验序号序号1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4222521252418272512492562472512622580.40.
2、60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502波动最小波动最小随随n的增大的增大, 频率频率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性从从上述数据可得上述数据可得(2) 抛硬币次数抛硬币次数 n 较小时较小时, 频率频率 f 的随机波动幅的随机波动幅度较大度较大, 但但随随 n 的增大的增大 , 频率频率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性.即当即当 n 逐渐增大时频率逐渐增大时频率 f 总是在总是在 0.5 附近摆动附近摆动, 且逐渐稳定于且逐渐稳定于 0.5.(1) 频率有频率有随机波动性随机波动
3、性,即对于同样的即对于同样的 n, 所得的所得的 f 不一定相同不一定相同;实验者实验者德德.摩根摩根蒲丰蒲丰K.皮尔逊皮尔逊K.皮尔逊皮尔逊204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005重要结论重要结论频率当频率当 n 较小时波动幅度比较大较小时波动幅度比较大,当当 n 逐渐增逐渐增大时大时 , 频率趋于稳定值频率趋于稳定值, 这个稳定值从本质上反映这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小了事件在试验中出现可能性的大小.它就是事件的它就是事件的概率概率.在随机试验中在随机试验中, ,若事件若事件A出现的频率出
4、现的频率 随随3.3.定义定义则称则称p为为事件事件A的概率的概率, ,记作记作P( (A)=)=p .着试验次数着试验次数n的增加的增加, ,趋于某一常数趋于某一常数p, 概率的统计定义直观地描述了事件发生的可能性大小，反映了概率的本质内容，但也有不足，即无法根据此定义计算某事件的概率。1.古典概型定古典概型定 义义二、古典概型二、古典概型如果一个随机试验如果一个随机试验E具有以下特征具有以下特征 1、试验的样本空间中仅含有有限个样本点；试验的样本空间中仅含有有限个样本点； 2、每个样本点出现的可能性相同。、每个样本点出现的可能性相同。则称该随机试验为古典概型。则称该随机试验为古典概型。 设
5、试验设试验 E 的样本空间由的样本空间由n 个样本点构成个样本点构成, A 为为 E 的任意一个事件的任意一个事件,且包含且包含 m 个样本点个样本点, 则事则事件件 A 出现的概率记为出现的概率记为: 2. 古典概型中事件概率的计算公式古典概型中事件概率的计算公式称此为称此为概率的古典定义概率的古典定义. 3. 古典概型的基本模型古典概型的基本模型:摸球模摸球模型型(1) 无放回地摸无放回地摸球球问题问题1 设袋中有设袋中有M个白球和个白球和 N个黑球个黑球, 现从袋中现从袋中无无放回地依次摸出放回地依次摸出m+n个球个球,求所取球恰好含求所取球恰好含m个白个白球球, ,n个黑球的概率个黑球
6、的概率?样本点总数为样本点总数为A 所包含所包含的样本点个数为的样本点个数为解解设设A=所取球恰好含所取球恰好含m个白球个白球, ,n个黑球个黑球(2) 有放回地摸有放回地摸球球问题问题2 设袋中有设袋中有4只红球和只红球和6只黑球只黑球,现从袋中有放现从袋中有放回地摸球回地摸球3次次,求前求前2 次摸到次摸到黑球黑球、第第3 次摸到红球次摸到红球的概率的概率.解解第第1 1次摸球次摸球10种种第第2次摸球次摸球10种种第第3次摸球次摸球10种种6种种第第1 1次摸到黑球次摸到黑球 6种种第第2次摸到黑球次摸到黑球4种种第第3次摸到红球次摸到红球样本点总数为样本点总数为A 所包含所包含样本点的
7、个数为样本点的个数为4.古典概型的基本模型古典概型的基本模型:球放入杯子模型球放入杯子模型(1)杯子容量无限杯子容量无限问题问题1 把把 4 个球放到个球放到 3个杯子中去个杯子中去,求第求第1 1、2个个杯子中各有两个球的概率杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可其中假设每个杯子可放任意多个球放任意多个球. 4个球放到个球放到3个杯子的所有放法个杯子的所有放法因此第因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为个杯子中各有两个球的概率为(2) 每个杯子只能放一个球每个杯子只能放一个球问题问题2 把把4个球放到个球放到10个杯子中去个杯子中去,每个杯子只能每个杯子只能放一个球放一个球, 求第求第
8、1 至第至第4个杯子各放一个球的概率个杯子各放一个球的概率. .解解第第1至第至第4个杯子各放一个球的概率为个杯子各放一个球的概率为2o 生日问题生日问题 某班有某班有20个学生都个学生都是同一年出生的是同一年出生的,求有求有10个学生生个学生生日是日是1 1月月1 1日日,另外另外10个学生生日是个学生生日是12月月31日的概率日的概率. 课堂练习课堂练习1o 分房问题分房问题 将张三、李四、王五将张三、李四、王五3人等可能地人等可能地分配到分配到3 间房中去间房中去,试求每个房间恰有试求每个房间恰有1人的概率人的概率.5. 古典概型的概率的性质古典概型的概率的性质(1)对于任意事件A ,解
9、解6 6、典型例题、典型例题在在 N 件产品中抽取件产品中抽取n件件,其中恰有其中恰有k 件次品的取法件次品的取法共有共有于是所求的概率为于是所求的概率为解解在在N件产品中抽取件产品中抽取n件的所有可能取法共有件的所有可能取法共有例例 3（分分房房问问题题） 有有 n 个个人人，每每个个人人都都以以同同样样的的概概率率 1/N 被被分分配配在在 间间房房中中的的每每一一间间中中，试试求求下列各事件的概率：下列各事件的概率：(1)(1)某指定某指定 间房中各有一人间房中各有一人 ;(2)(2)恰有恰有 间房，其中各有一人；间房，其中各有一人； (3) (3) 某指定一间房中恰有某指定一间房中恰有
10、 人。人。 解解 先求样本空间中所含样本点的个数。先求样本空间中所含样本点的个数。 首先，把首先，把 n 个人分到个人分到N间房中去共有间房中去共有 种分法，其种分法，其次，求每种情形下事件所含的样本点个数。次，求每种情形下事件所含的样本点个数。(b)(b)恰有恰有n n间房中各有一人，所有可能的分法为间房中各有一人，所有可能的分法为 (a)(a)某指定某指定n n间房中各有一人，所含样本点的个数，间房中各有一人，所含样本点的个数，即可能的的分法为即可能的的分法为 (c)(c)某指一间房中恰有某指一间房中恰有m m人，可能的分法为人，可能的分法为 进而我们可以得到三种情形下事件的概率，其分别为
11、进而我们可以得到三种情形下事件的概率，其分别为 :（1） （2） （3） 上述分房问题中，若令上述分房问题中，若令 则可演化为则可演化为生日问题生日问题. .全班学生全班学生30人，人， (1) (1) 某指定某指定30天，每位学生生日各占一天的概率；天，每位学生生日各占一天的概率； (2) (2) 全班学生生日各不相同的概率；全班学生生日各不相同的概率； (3) (3) 全年某天，恰有二人在这一天同生日的概率。全年某天，恰有二人在这一天同生日的概率。 利用上述结论可得到概率分别为利用上述结论可得到概率分别为 :由（2）立刻得出，全班30人至少有2人生日相同的概率等于10.294=0.706,
12、 这个值大于70%。（1） （2）（3）例例4 某接待站在某一周曾接待过某接待站在某一周曾接待过 12次来访次来访,已知已知所有这所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的次接待都是在周二和周四进行的,问是问是否可以推断接待时间是有规定的否可以推断接待时间是有规定的. 假设接待站的接待时间没有假设接待站的接待时间没有规定规定,且各来访者在一周的任一天且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的中去接待站是等可能的.解解周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周六周日周日12341277777 故一周内接待故一周内接待 12 次来访共有次来访共有小概率事件在实际中几乎是不可能发生的小概率事件
13、在实际中几乎是不可能发生的 , 从从而可知接待时间是有规定的而可知接待时间是有规定的.周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周六周日周日周二周二周四周四12341222222 12 次接待都是在周二和周四进行的共有次接待都是在周二和周四进行的共有故故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为次接待都是在周二和周四进行的概率为 把有限个样本点推广到无限个样本点把有限个样本点推广到无限个样本点的场合的场合,人们引入了人们引入了几何概型几何概型. 由此形成由此形成了确定概率的另一方法了确定概率的另一方法 几何方法几何方法. 概率的古典定义具有可计算性的优点概率的古典定义具有可计算性的优点, ,但
14、但它也有明显的局限性它也有明显的局限性. .要求样本要求样本点有限点有限,如果样如果样本空间中的样本点有无限个本空间中的样本点有无限个, 概率的古典定义概率的古典定义就不适用了就不适用了. .三、几何概型三、几何概型定义定义定义定义 当随机试验的样本空间是某个区域当随机试验的样本空间是某个区域,并且任并且任意一点落在度量意一点落在度量 (长度长度, 面积面积, 体积体积) 相同的子区相同的子区域是等可能的域是等可能的,则事件则事件 A 的概率可定义为的概率可定义为 几何概型的概率的性质几何概型的概率的性质(1) 对任一事件对任一事件A ,有有 那末那末 两人会面的充要条件为两人会面的充要条件为
15、例例1 甲、乙两人相约在甲、乙两人相约在 0 到到 T 这段时间内这段时间内, 在在预预定地点会面定地点会面. 先到的人等候另一个人先到的人等候另一个人, 经过时间经过时间 t( t0)的一些平行直的一些平行直线线,现向此平面任意投掷一根长为现向此平面任意投掷一根长为b( a )的针的针,试求试求针与任一平行直线相交的概率针与任一平行直线相交的概率.解解蒲丰资料蒲丰资料由投掷的任意性可知由投掷的任意性可知,这是一个几何概型问题这是一个几何概型问题.蒲丰投针试验的应用及意义蒲丰投针试验的应用及意义历史上一些学者的计算结果历史上一些学者的计算结果(直线距离直线距离a=1) 3.1795859252
16、00.54191925Reina 3.1415929180834080.831901Lazzerini 3.159548910300.751884Fox 3.1373826001.01860De Morgan 3.1554121832040.61855Smith 3.1596253250000.81850Wolf相交次数相交次数投掷次数投掷次数针长针长时间时间试验者试验者利用利用蒙特卡罗蒙特卡罗(Monte-Carlo)法法进行计算机模拟进行计算机模拟 1933年年 , 苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构概率论的公理化结构 ,给出了概率的严格定义给出了概
17、率的严格定义 ,使概率论有了迅速的发展使概率论有了迅速的发展.四、概率的公理化定义四、概率的公理化定义概率的可列可加性概率的可列可加性定义定义例例1 在房间里有在房间里有10个人个人,分别佩戴从分别佩戴从1号到号到10号的号的纪念章纪念章,任选任选3个记录其纪念章的号码个记录其纪念章的号码.(1)求最小号码为求最小号码为5的概率的概率;(2)求最大号码为求最大号码为5的的概概率率.解解(1)总的选法种数为总的选法种数为最小号码为最小号码为5的选法种数为的选法种数为备份题备份题(2)最大号码为最大号码为5的选法种数为的选法种数为故最大号码为故最大号码为5的概率为的概率为故小号码为故小号码为5的概
18、率为的概率为例例2 将将 4 只球随机地放入只球随机地放入 6 个盒子中去个盒子中去 ,试求每试求每个盒子至多有一只球的概率个盒子至多有一只球的概率.解解 将将4只球随机地放入只球随机地放入6个盒子中去个盒子中去 , 共有共有64 种种放法放法.每个盒子中至多放一只球共有每个盒子中至多放一只球共有 种不同放种不同放法法. 因而所求的概率为因而所求的概率为例例3 将将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中名新生随机地平均分配到三个班级中去去,这这15名新生中有名新生中有3名是优秀生名是优秀生.问问 (1) 每一个每一个班班级各分配到一名优秀生的概率是多少级各分配到一名优秀生的概率是多少? (2
19、) 3 名名优优秀生分配在同一个班级的概率是多少秀生分配在同一个班级的概率是多少? 解解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数名新生平均分配到三个班级中的分法总数:(1) 每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有因此所求概率为因此所求概率为(2)将将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种种,对于每一种分法对于每一种分法,其余其余12名新生的分法有名新生的分法有因此因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有名优秀生分配在同一个班级的分法共有因此所求概率为因此所求概率为例例4 假设每人的生日在一年假设每人的生日在一年 365 天中的任一天天中的任一天是等可能的是等可能的 , 即都等于即都等于 1/365 ,求求 64 个人中至少个人中至少有有2人生日相同的概率人生日相同的概率. 64 个人生日各不相同的概率为个人生日各不相同的概率为故故64 个人中至少有个人中至少有2人生日相同的概率为人生日相同的概率为解解我们利用软件包进行数值计算我们利用软件包进行数值计算.
