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1、1 1 超静定结构内力计算超静定结构内力计算 目目 录录1 1 超静定结构内力计算超静定结构内力计算 1.11.1力法力法 1.21.2位移法位移法1 1 超静定结构内力计算超静定结构内力计算1.1力法力法1.1.1力法的基本原理力法的基本原理 力法是计算超静定结构的一种基本方法。力法是计算超静定结构的一种基本方法。 基本原理基本原理是：是： 首先将超静定结构中的多余联系去掉，代之以多余未知力；相应于每一个多首先将超静定结构中的多余联系去掉，代之以多余未知力；相应于每一个多余联系，就有一个多余未知力。去掉多余联系后，超静定结构就变成在荷载和多余联系，就有一个多余未知力。去掉多余联系后，超静定结
2、构就变成在荷载和多余未知力共同作用下的静定结构。余未知力共同作用下的静定结构。 力法的基本体系：力法的基本体系：从超静定结构中去掉多余联系而代之以未知力，这样获得从超静定结构中去掉多余联系而代之以未知力，这样获得的静定的几何不变体系。的静定的几何不变体系。 基本未知数：基本未知数：多余未知力。多余未知力。 基本体系的选择：基本体系的选择：拟定出去掉多余联系的各种可能方案，选择其中一个作为拟定出去掉多余联系的各种可能方案，选择其中一个作为基本体系。基本体系应该是几何不变的。选择基本体系的原则应使计算尽可能简基本体系。基本体系应该是几何不变的。选择基本体系的原则应使计算尽可能简单和方便。单和方便。
3、 1 1 超静定结构内力计算超静定结构内力计算1.1.1力法的基本原理（续力法的基本原理（续1 1） 例题。例题。 图图1-11-1 可根据可根据B B支座截面的位移条件来计算未知力支座截面的位移条件来计算未知力X X1 1、X X2 2和和X X3 3。计算依据是基本体系计算依据是基本体系中中B B截面在荷载和未知力共同作用下的位移应与原结构该截面实际的位移相同。截面在荷载和未知力共同作用下的位移应与原结构该截面实际的位移相同。 1 1 超静定结构内力计算超静定结构内力计算1.1.1力法的基本原理（续力法的基本原理（续2 2） 三个位移条件，可以表示为三个方程式三个位移条件，可以表示为三个方
4、程式 (1-1(1-1) ) 令令11111111X X1 1，12121212X X2 2，13131313X X3 3，公式（公式（1-21-2）就可以改写为：）就可以改写为： (1-3)(1-3) (1-2)(1-2) 解此联立方程式便可以求出未知数解此联立方程式便可以求出未知数X X1 1、X X2 2、X X3 3。 1 1 超静定结构内力计算超静定结构内力计算1.1.1力法的基本原理（续力法的基本原理（续3 3） 如对于有如对于有n n个多余未知力的结构，力法典型方程式为个多余未知力的结构，力法典型方程式为 (1-4)(1-4)式中式中 Xi i第第i i个多余未知力；个多余未知力
5、； ikik当当Xk k1 1时引起基本体系时引起基本体系X Xi i力作用点沿力作用点沿X Xi i方向的位移。方向的位移。 ipip荷载作用下基本体系荷载作用下基本体系X Xi i力作用点沿力作用点沿X Xi i方向的位移。方向的位移。 iiii称为主系数，称为主系数，ikik正称为副系数。根据位移互等定理正称为副系数。根据位移互等定理所以在计算副系数时，只需计算一半数目的副系数即可。所以在计算副系数时，只需计算一半数目的副系数即可。 1 1 超静定结构内力计算超静定结构内力计算1.1.1力法的基本原理（续力法的基本原理（续4 4） 由力法方程解出未知力由力法方程解出未知力X1 1、X2
6、2、Xn n后，超静定结构的内力可根据叠加原理后，超静定结构的内力可根据叠加原理用下式计算：用下式计算： 其中其中 、 、 是基本体系由于是基本体系由于Xi i1 1作用而产生的弯矩、剪力和轴力。作用而产生的弯矩、剪力和轴力。MP P、QP P和和NP P是基本体系由于荷载作用而产生的弯矩、剪力和轴力。是基本体系由于荷载作用而产生的弯矩、剪力和轴力。 (1-5)(1-5)1 1 超静定结构内力计算超静定结构内力计算1.1.21.1.2力法的简化计算方法力法的简化计算方法 对称性的利用。对称性的利用。 所谓对称结构就是指结构的几何形状和支承情况对某轴对称，杆件截面和材所谓对称结构就是指结构的几何
7、形状和支承情况对某轴对称，杆件截面和材料性质也对此轴对称。料性质也对此轴对称。 利用对称性可以使力法计算大为简化。利用对称性可以使力法计算大为简化。 方法方法: : 选用对称的基本体系使未知力也分成正对称和反对称两种。正对称的内力引选用对称的基本体系使未知力也分成正对称和反对称两种。正对称的内力引起的单位内力图是正对称的，反对称的内力引起的单位内力图是反对称的。正、起的单位内力图是正对称的，反对称的内力引起的单位内力图是反对称的。正、反的内力图形相乘的结果为零。这样力法方程中的一部分副系数为零，计算得到反的内力图形相乘的结果为零。这样力法方程中的一部分副系数为零，计算得到一定程度的简化。为了获
8、得正对称的和反对称的单位内力图，有时候采用组合未一定程度的简化。为了获得正对称的和反对称的单位内力图，有时候采用组合未知力的方法也是很有效的。如果能够进一步把荷载也分成正对称和反对称两部分，知力的方法也是很有效的。如果能够进一步把荷载也分成正对称和反对称两部分，则荷载弯矩图也有正对称和反对称的两部分，就会使一部分自由项也等于零，计则荷载弯矩图也有正对称和反对称的两部分，就会使一部分自由项也等于零，计算获得进一步简化。算获得进一步简化。1 1 超静定结构内力计算超静定结构内力计算1.1.31.1.3温度变化、支座移动引起的内力计算温度变化、支座移动引起的内力计算 超静定结构在温度变化和支座发生移
9、动的情况下都会产生内力。这是超静定超静定结构在温度变化和支座发生移动的情况下都会产生内力。这是超静定结构的重要特点之一。其计算方法与荷载作用下的内力计算方法基本相同。当外结构的重要特点之一。其计算方法与荷载作用下的内力计算方法基本相同。当外荷、温度变化和支座移动这三个因素同时存在时，结构的力法方程式为：荷、温度变化和支座移动这三个因素同时存在时，结构的力法方程式为： (1-6)(1-6)其中其中 c c1 1，c c2 2c cn n原结构在未知力作用点对应于未知力方向的实际位移；原结构在未知力作用点对应于未知力方向的实际位移； ntnt温度变化引起基本体系温度变化引起基本体系X Xn n的作
10、用点沿的作用点沿X Xn n方向的位移方向的位移 1 1 超静定结构内力计算超静定结构内力计算1.1.31.1.3温度变化、支座移动引起的内力计算温度变化、支座移动引起的内力计算( (续续) )其中其中 线膨胀系数；线膨胀系数； t t/ /杆件两侧温差；杆件两侧温差； t t0 0杆件轴线温升（降）；杆件轴线温升（降）； h h杆截面高度；杆截面高度； ncnc由于支座移动引起基本体系由于支座移动引起基本体系X Xn n的作用点沿的作用点沿X Xn n方向的位移。方向的位移。 ncnc可由几何关系确定或由虚功原理计算。可由几何关系确定或由虚功原理计算。其中其中 当当X Xn n1 1时引起的
11、支座反力。时引起的支座反力。 c c支座移动的距离。支座移动的距离。 1 1 超静定结构内力计算超静定结构内力计算1.1.41.1.4超静定结构的位移计算超静定结构的位移计算 按照虚功原理，计算超静定结构位移时，若忽略轴力及剪力的影响，其计算按照虚功原理，计算超静定结构位移时，若忽略轴力及剪力的影响，其计算公式为：公式为： 在平面结构中结构位移计算的一般公式为：在平面结构中结构位移计算的一般公式为： (1-7)(1-7)其中其中 M M、Q Q、NN超静定结构在各种因素作用下的内力图。超静定结构在各种因素作用下的内力图。 、 、 任任取取的的基基本本体体系系在在单单位位力力作作用用下下的的内内
12、力力图图，而而单单位位力力是是加加在在要求位移的截面上的；要求位移的截面上的； 基本体系支座基本体系支座k k在单位力作用下的反力；在单位力作用下的反力； c cK Kk k支座的实际位移。支座的实际位移。 公式（公式（1-71-7）的前三项表示基本体系在荷载和多余未知力的作用下的位移，）的前三项表示基本体系在荷载和多余未知力的作用下的位移，后三项表示基本体系在温度变化和支座移动情况下引起的位移。后三项表示基本体系在温度变化和支座移动情况下引起的位移。 1 1 超静定结构内力计算超静定结构内力计算1.21.2位移法位移法1.2.11.2.1等截面直杆的转角位移方程式等截面直杆的转角位移方程式
13、位移法以结点的位移（角位移和线位移）作为基本来知数，根据求出的位移位移法以结点的位移（角位移和线位移）作为基本来知数，根据求出的位移计算各杆的内力。因此，必须首先建立各杆件的杆端位移与杆端的内力之间的关计算各杆的内力。因此，必须首先建立各杆件的杆端位移与杆端的内力之间的关系。这就是转角位移方程。系。这就是转角位移方程。 设一结构中某杆设一结构中某杆ABAB。结构受荷载作用的变形如图结构受荷载作用的变形如图1-21-2所示。所示。 图图1-21-21 1 超静定结构内力计算超静定结构内力计算1.2.11.2.1等截面直杆的转角位移方程式（续等截面直杆的转角位移方程式（续1 1） ABAB杆产生位
14、移后，杆端的总弯矩为杆产生位移后，杆端的总弯矩为 令令 ，称为杆的线刚度，则，称为杆的线刚度，则 (1-8)(1-8) 这就是两端固定等截面直杆的转角位移方程。这就是两端固定等截面直杆的转角位移方程。 1 1 超静定结构内力计算超静定结构内力计算1.2.11.2.1等截面直杆的转角位移方程式（续等截面直杆的转角位移方程式（续2 2） 同理可以求出一端固定一端铰支等截面直杆（图同理可以求出一端固定一端铰支等截面直杆（图1-3a1-3a）的转角位移方程。设的转角位移方程。设B端为铰，则端为铰，则MBABA0 0 (1-9)(1-9)(1-10)(1-10) 当一端为固定另一端为滑动支承时（图当一端
15、为固定另一端为滑动支承时（图1-3b1-3b），），转角位移方程为。转角位移方程为。 这三种类型的杆的转角位移方程是最基本的三种类型。这三种类型的杆的转角位移方程是最基本的三种类型。图图1-31-31 1 超静定结构内力计算超静定结构内力计算1.2.21.2.2位移法的基本来知数和基本体系位移法的基本来知数和基本体系 位移法以结点的位移作为基本未知数。但并不是每个结点位移都可以成为基位移法以结点的位移作为基本未知数。但并不是每个结点位移都可以成为基本来知数的。本来知数的。 刚性结点的角位移都是基本未知数。刚性结点的角位移都是基本未知数。 结点的独立线位移是位移法的基本未知数结点的独立线位移是位
16、移法的基本未知数 确定刚架独立线位移数可以采用下述方法：把刚架所有刚性结点变成铰结点，确定刚架独立线位移数可以采用下述方法：把刚架所有刚性结点变成铰结点，刚架体系是几何可变的，则原刚架有结点线位移。若增加链杆使此铰接体系变成刚架体系是几何可变的，则原刚架有结点线位移。若增加链杆使此铰接体系变成几何不变体系，则所增加的链杆数目就是原结构具有的独立位移的数目。这个方几何不变体系，则所增加的链杆数目就是原结构具有的独立位移的数目。这个方法只适用于不考虑杆的轴向变形的情况。法只适用于不考虑杆的轴向变形的情况。 图图1-41-41 1 超静定结构内力计算超静定结构内力计算1.2.21.2.2位移法的基本
17、来知数和基本体系（续）位移法的基本来知数和基本体系（续） 对每一个刚性结点都附加一个刚臂以限制结点的转角。同时，对每一个独立对每一个刚性结点都附加一个刚臂以限制结点的转角。同时，对每一个独立线位移加上一个相应的附加链杆以限制其线位移。这样，结构就变成了一个没有线位移加上一个相应的附加链杆以限制其线位移。这样，结构就变成了一个没有任何结点位移的，由单跨超静定梁组成的组合体。这样的组合体就是位移法的基任何结点位移的，由单跨超静定梁组成的组合体。这样的组合体就是位移法的基本体系。本体系。 1 1 超静定结构内力计算超静定结构内力计算1.2.31.2.3考虑结点及截面平衡法求解结构内力考虑结点及截面平
18、衡法求解结构内力 结点无线位移的情况结点无线位移的情况 一般的无侧移刚架、连续梁等都属于这类结构。计算这类结构时，截取每一一般的无侧移刚架、连续梁等都属于这类结构。计算这类结构时，截取每一个刚性结点，考虑其处于平衡状态。则个刚性结点，考虑其处于平衡状态。则 其中其中j j表示截取的结点号，亦表示联结于结点表示截取的结点号，亦表示联结于结点j j的各杆的近端，的各杆的近端，k k表示各杆的表示各杆的远端。该式表示联结于结点远端。该式表示联结于结点j j各杆近端弯矩的代数和为零。将各杆端的转角位移各杆近端弯矩的代数和为零。将各杆端的转角位移方程式代入，方程（方程式代入，方程（1-111-11）中就
19、只有各结点的转角作为未知数。如果结构中有）中就只有各结点的转角作为未知数。如果结构中有n n个刚性结点，则可列出个刚性结点，则可列出n n个平衡方程。恰好解出方程中的个平衡方程。恰好解出方程中的n n个基本来知数，即个基本来知数，即n n个个刚性结点的转角。刚性结点的转角。 解方程求出转角后再代回各杆端的转角位移方程中，就可以求出各杆端的内解方程求出转角后再代回各杆端的转角位移方程中，就可以求出各杆端的内力。力。 (1-11)(1-11)1 1 超静定结构内力计算超静定结构内力计算1.2.31.2.3考虑结点及截面平衡法求解结构内力（续考虑结点及截面平衡法求解结构内力（续1 1） 有结点线位移
20、的情况有结点线位移的情况 计算这类结构时；原利用公式（计算这类结构时；原利用公式（1-111-11）考虑各结点的弯矩平衡外，还需考虑）考虑各结点的弯矩平衡外，还需考虑相应杆端剪力的平衡。取适当的截面截出结构的一部分，通常是截断各柱的柱顶相应杆端剪力的平衡。取适当的截面截出结构的一部分，通常是截断各柱的柱顶端。取出横梁。考虑剪力平衡，建立剪力平衡方程，即端。取出横梁。考虑剪力平衡，建立剪力平衡方程，即 补充了剪力平衡方程后，方程式的数目仍然与未知数的数目相等，方程式总补充了剪力平衡方程后，方程式的数目仍然与未知数的数目相等，方程式总是可以求解的。是可以求解的。 (1-12)(1-12)1 1 超
21、静定结构内力计算超静定结构内力计算1.2.31.2.3考虑结点及截面平衡法求解结构内力（续考虑结点及截面平衡法求解结构内力（续2 2） 考虑结点和截面平衡法的解题步骤考虑结点和截面平衡法的解题步骤 确定结构的未知数。确定结构的未知数。 列出各杆端的转角位移方程。列出各杆端的转角位移方程。 列出各刚性结点的和相应截面的平衡方程式。列出各刚性结点的和相应截面的平衡方程式。 解平衡方程式求未知位移。解平衡方程式求未知位移。 将位移代回转角位移方程求各杆端弯矩。将位移代回转角位移方程求各杆端弯矩。 1 1 超静定结构内力计算超静定结构内力计算1.2.41.2.4利用典型方程求解结构的位移和内力利用典型
22、方程求解结构的位移和内力 位移法典型方程位移法典型方程 设一刚架如图设一刚架如图1 15 5所示。其位移法基本体系如图所示。其位移法基本体系如图b b所示。所示。 图图1-51-5 当基本体系产生的位移当基本体系产生的位移Z Zl l、Z Z2 2与原结构的实际位移相等时，附加刚臂的反力与原结构的实际位移相等时，附加刚臂的反力矩应与实际结构在该处的受力情况一致，即反力矩应为零。矩应与实际结构在该处的受力情况一致，即反力矩应为零。 1 1 超静定结构内力计算超静定结构内力计算1.2.41.2.4利用典型方程求解结构的位移和内力利用典型方程求解结构的位移和内力( (续续1) 1) 同理附加链杆处的
23、反力也为零，即同理附加链杆处的反力也为零，即 或写成或写成 对于有对于有n n个基本未知数的结构，位移法典型方程式为：个基本未知数的结构，位移法典型方程式为： (1-13)(1-13) 由反力互等定理可知由反力互等定理可知 1 1 超静定结构内力计算超静定结构内力计算1.2.41.2.4利用典型方程求解结构的位移和内力利用典型方程求解结构的位移和内力( (续续2) 2) 求出未知数求出未知数Z Zl l、Z Z2 2ZZn n后，可用叠加法求杆端弯矩后，可用叠加法求杆端弯矩 应用位移法典型方程求解超静定结构内力的步骤：应用位移法典型方程求解超静定结构内力的步骤： 确定结构基本未知数的数目。确定
24、结构基本未知数的数目。 对结构施加附加约束形成基本体系。对结构施加附加约束形成基本体系。 画出基本体系在单位位移作用下的弯矩图。画出基本体系在单位位移作用下的弯矩图。 截截取取各各已已经经施施加加了了附附加加约约束束的的结结点点。由由弯弯矩矩平平衡衡方方程程（M Mj j0 0）求求附附加加刚臂的反力刚臂的反力r rjkjk。 取取适适当当的的截截面面，考考虑虑杆杆端端剪剪力力平平衡衡。由由平平衡衡方方程程式式（XX0 0和和YY0 0）求附加链杆的反力求附加链杆的反力r rjkjk。 求荷载作用下基本体系的弯矩图求荷载作用下基本体系的弯矩图MP以及由此引起的附加反力及以及由此引起的附加反力及
25、RiPiP。 解典型方程式，求未知数。解典型方程式，求未知数。 用叠加法按公式（用叠加法按公式（1-141-14）作弯矩图。）作弯矩图。 由弯矩图根据平衡条件作剪力图和轴力图。由弯矩图根据平衡条件作剪力图和轴力图。 (1-14)(1-14)1 1 超静定结构内力计算超静定结构内力计算1.2.51.2.5对称性的利用对称性的利用 对称结构在正对称荷载作用下，变形是正对称的。而对称结构在反对称荷载对称结构在正对称荷载作用下，变形是正对称的。而对称结构在反对称荷载作用下变形是反对称的。利用这一特性可只计算半边结构的位移，使计算大大简作用下变形是反对称的。利用这一特性可只计算半边结构的位移，使计算大大简化。化。 图图1-6 1-6 图图1-71-7
