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1、高中数学高中数学高中数学高中数学高中数学高中数学 必修必修必修必修必修必修3 3 3 3 3 3几何概型的概念 对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域的几何区域D内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会都内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域个指定区域d 中的点中的点 这里的区域可以是这里的区域可以是线段线段，平面图形平面图形，立体图形立体图形等；用这样的等；用这样的方法处理随机试验，称
2、为方法处理随机试验，称为几何概型几何概型. .1.1.古典概型与几何概型的对比古典概型与几何概型的对比. .不同不同：古典概型要求基本事件有有限个，古典概型要求基本事件有有限个， 几何概型要求基本事件有无限多个几何概型要求基本事件有无限多个. . 2.2.几何概型的概率公式几何概型的概率公式. . 相同相同：两者基本事件的发生都是等可能的；两者基本事件的发生都是等可能的；复习复习 与长度有关的几何概型：与长度有关的几何概型：有一段长为有一段长为1010米的木棍米的木棍, ,现要截成两段现要截成两段, ,每段不小于每段不小于3 3米米的概率有多大？从每一个位置剪断都是一个基本事件的概率有多大？从
3、每一个位置剪断都是一个基本事件, ,基本基本事件有无限多个事件有无限多个. .但在每一处剪断的可能性相等但在每一处剪断的可能性相等, ,故是几何概型故是几何概型. . 思维启迪思维启迪解解 记记“剪得两段都不小于剪得两段都不小于3 3米米”为事件为事件A, ,从木棍的两端各度量从木棍的两端各度量出出3 3米米, ,这样中间就有这样中间就有10103 33 34(4(米米).).在中间的在中间的4 4米长的木棍处剪都米长的木棍处剪都能满足条件能满足条件, ,所以所以 探究提高探究提高从该题可以看出从该题可以看出,我们将每个事件理解为从某个特定的几我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取
4、一点何区域内随机地取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样该区域中每一点被取到的机会都一样.而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点指定区域中的点,这样的概率模型就可以用几何概型来求解这样的概率模型就可以用几何概型来求解. 平面上有一组平行线平面上有一组平行线, ,且相邻平行线间的距离为且相邻平行线间的距离为3 cm,3 cm,把一枚把一枚半径为半径为1 cm1 cm的硬币任意平抛在的硬币任意平抛在 这个平面上这个平面上, ,则硬币不与任何一条则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是平行线相碰的概率是 ( )( ) A.
5、 B. C. D. A. B. C. D. B解析解析 如图所示如图所示,这是长度型几何概型问题这是长度型几何概型问题,当硬币当硬币 中心落在阴中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相影区域时，硬币不与任何一条平行线相 碰碰,故所求概率为故所求概率为例例1.1.在在1L1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子, ,从中随机取从中随机取出出10mL,10mL,含有麦锈病种子的概率是多少含有麦锈病种子的概率是多少? ?例题讲解例题讲解与面积与面积(或体积或体积)有关的几何概型有关的几何概型变式训练变式训练1.街道旁边有一游戏：在铺满边长为街道旁边有一游戏
6、：在铺满边长为9 cm9 cm的正方形塑料板的宽广地面上的正方形塑料板的宽广地面上, ,掷一枚半径为掷一枚半径为1 cm1 cm的小的小 圆板圆板. .规则如下：每掷一次交规则如下：每掷一次交5 5角钱角钱, ,若小圆板压若小圆板压在正方形的边上在正方形的边上, ,可重掷一次；若掷在正方形内可重掷一次；若掷在正方形内, ,须再交须再交5 5角钱可玩一次；角钱可玩一次；若掷在或压在塑料板的顶点上若掷在或压在塑料板的顶点上, ,可获可获 1 1元钱元钱. .试问：试问： (1)(1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？ (2)(2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是
7、多少？小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？ 思维启迪思维启迪应用几何概型的概率计算公式应用几何概型的概率计算公式P( (A) ) 即可解决此类问题即可解决此类问题. .(2)考虑小圆板的圆心在以塑料板顶点为圆心的考虑小圆板的圆心在以塑料板顶点为圆心的 圆内圆内,因正方形有四个顶点因正方形有四个顶点,所以概率为所以概率为解解 (1)(1)考虑圆心位置在中心相同且边长分别为考虑圆心位置在中心相同且边长分别为7 cm7 cm和和9 cm9 cm的正方形的正方形围成的区域内围成的区域内, ,所以概率为所以概率为 探究提高探究提高几何概型的概率计算公式中的几何概型的概率计算公式中的“测度测度”,既包含本
8、例中的既包含本例中的面积面积,也可以包含线段的长度、体积等也可以包含线段的长度、体积等,而且这个而且这个“测度测度”只与只与“大小大小”有关有关,而与形状和位置无关而与形状和位置无关. 知能迁移知能迁移2 2 在边长为在边长为2 2的正的正ABC内任取一点内任取一点P, , 则使点则使点P到三个到三个顶点的距离至少有一个小于顶点的距离至少有一个小于1 1的概率是的概率是 解析解析 以以A，B，C为圆心为圆心, ,以以1 1为半为半 径作圆径作圆, ,与与ABC交出三个扇形交出三个扇形, , 当当P落在其内时符合要求落在其内时符合要求. .例例2在等腰直角三角形在等腰直角三角形ABC中，中，在斜
9、边在斜边AB上上任取一点任取一点M，求，求AM小于小于AC的概率的概率CACBM解：解： 在在AB上截取上截取ACAC， 故故AMAC的概率等于的概率等于AMAC的概率的概率记事件记事件A为为“AM小于小于AC”，答：答：AMAC的概率等于的概率等于与角度有关的几何概型与角度有关的几何概型思考：思考：在等腰直角三角形在等腰直角三角形ABC中，中，过点过点C在在C内作射线内作射线CM，交，交AB于于M，求求AM小于小于AC的概率的概率 此此时的的测度是作射度是作射线是均匀的，就成是均匀的，就成了角的比了角的比较了了P（A）CACBM变式训练变式训练 在在RtABC中中,A3030, ,过直角顶点
10、过直角顶点C作射线作射线CM交线段交线段AB于于M, ,求使求使| |AM| | |AC| |的概率的概率. .思维启迪思维启迪 如图所示如图所示, ,因为过因为过一点作射线是均匀的一点作射线是均匀的, ,因而应把在因而应把在 ACB内作射线内作射线CM看做是等可能看做是等可能 的的, ,基本事件是射线基本事件是射线CMCM落在落在 ACB内任一处内任一处, ,使使 | | AM | AC | |的概率只的概率只与与BCC的大小有关的大小有关, ,这符合几这符合几何概型的条件何概型的条件. . 可化为几何概型的概率问题可化为几何概型的概率问题 例例4 4甲、乙两人约定在甲、乙两人约定在6 6时
11、到时到7 7时之间在某处会面时之间在某处会面, , 并约定先到者应等候另一人一刻钟并约定先到者应等候另一人一刻钟, ,过时即可离去过时即可离去. . 求两人能会面的概率求两人能会面的概率. .思维启迪思维启迪 在平面直角坐标系内用在平面直角坐标系内用x轴表示甲到达轴表示甲到达 约会地点的时间约会地点的时间, ,y轴表示乙到达约会地点的时间轴表示乙到达约会地点的时间, ,用用 0 0分到分到6060分表示分表示6 6时到时到7 7时的时间段时的时间段, ,则横轴则横轴0 0到到6060与纵与纵 轴轴0 0到到6060的正方形中任一点的坐标的正方形中任一点的坐标( (x, ,y) )就表示甲、就表
12、示甲、 乙两人分别在乙两人分别在6 6时到时到7 7时时间段内到达的时间时时间段内到达的时间. .而能会而能会 面的时间由面的时间由| |x- -y|15|15所对应的图中阴影部分表示所对应的图中阴影部分表示. . 以以x轴和轴和y轴分别表示甲、乙两人到达轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间约定地点的时间, ,则两人能够会面的充要则两人能够会面的充要条件是条件是| |x- -y|15.|15.在如图所示平面直角坐标系下在如图所示平面直角坐标系下,(,(x, ,y) )的的所有可能结果是边长为所有可能结果是边长为6060的正方形区域的正方形区域, ,而事件而事件A“两人能够会面两人能够会面”的
13、可能结果的可能结果由图中的阴影部分表示由图中的阴影部分表示. .由几何概型的概率公式得：由几何概型的概率公式得：所以所以, ,两人能会面的概率是两人能会面的概率是探究提高探究提高 (1)(1)甲、乙两人都是在甲、乙两人都是在6 67 7时内的任意时时内的任意时 刻到达会面地点刻到达会面地点, ,故每一对结果对应两个时间故每一对结果对应两个时间, ,分别用分别用 x, ,y轴上的数表示轴上的数表示, ,则每一个结果则每一个结果( (x, ,y) )就对应于图中就对应于图中正方形内的任一点正方形内的任一点. .(2)(2)找出事件找出事件A发生的条件发生的条件, ,并把它在图中的区域找出并把它在图
14、中的区域找出来来, ,分别计算面积即可分别计算面积即可. .(3)(3)本题的难点是把两个时间分别用本题的难点是把两个时间分别用x, ,y两个坐标表两个坐标表示示, ,构成平面内的点构成平面内的点( (x, ,y),),从而把时间是一段长度问从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题题转化为平面图形的二维面积问题, ,进而转化成面积进而转化成面积型几何概型的问题型几何概型的问题. . 变式训练：甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊变式训练：甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船两艘轮船 的码头的码头, ,它们在一昼夜内任何时刻到达是它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的等可能的. .
15、 (1) (1)如果甲船和乙船的停泊时间都是如果甲船和乙船的停泊时间都是4 4小时小时, ,求它们中求它们中 的任何一条船不需要等待码头空出的概率；的任何一条船不需要等待码头空出的概率； (2)(2)如果甲船的停泊时间为如果甲船的停泊时间为4 4小时小时, ,乙船的停泊时间为乙船的停泊时间为 2 2小时小时, ,求它们中的任何一条船不需要等待码头空出求它们中的任何一条船不需要等待码头空出 的概率的概率. . 解解 (1)(1)设甲、乙两船到达时间分别为设甲、乙两船到达时间分别为x，y, , 则则00x24,024,0y2424且且yx44或或yx4.4.作出区域作出区域设设“两船无需等待码头空
16、出两船无需等待码头空出”为事件为事件A, ,(2)(2)当甲船的停泊时间为当甲船的停泊时间为4 4小时，乙船的小时，乙船的停泊时间为停泊时间为2 2小时小时, ,两船不需等待码头空出两船不需等待码头空出, ,则满足则满足x- -y22或或y- -x4,4,设在上述条件时设在上述条件时“两船不需等待码头空出两船不需等待码头空出”为事件为事件B, ,画出区域画出区域1适当适当选择观察角度，把察角度，把问题转化化为几何概型求解；几何概型求解；2把基本事件把基本事件转化化为与之与之对应的区域的区域D；3把随机事件把随机事件A转化化为与之与之对应的区域的区域d；4利用几何概型概率公式利用几何概型概率公式计算算总结：几何概型问题的概率的求解方法总结：几何概型问题的概率的求解方法
