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1、3函数的单调性(二)第二章函数学习目标1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学问题导学思考知识点一函数的最大(小)值在右图表示的函数中，最大的函数值和最小的函数值分别是多少？1为什么不是最小值？答案答答案案最大的函数值为4，最小的函数值为2.1没有A中的元素与之对应，不是函数值.对于函数yf(x)，其定义域为D，如果存在x0D，f(x)M，使得对于任意的xD，都有f(x)M，那么，我们称M是函数yf(x)的最大值，即当xx0时，f(x0)是函数yf(x)的最大值，记作ymaxf(x0).梳
2、理梳理思考知识点二函数的最大(小)值的几何意义函数yx2，x1,1的图像如图所示：试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值.答案答答案案x1时，y有最大值1，对应的点是图像中的最高点，x0时，y有最小值0，对应的点为图像中的最低点.梳理梳理一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个.题型探究题型探究解答类型一借助单调性求最值例例1已知函数f(x) (x0)，求函数的最大值和最小值.(1)若函数yf(x)在区间a，b上递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a).(2)若函数yf(x)在区间a，b上递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b
3、).(3)若函数yf(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决出最大(小).函数的最大(小)值是整个值域范围内最大(小)的.(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势.反思与感悟跟踪训练跟踪训练1已知函数f(x) (x2,6)，求函数的最大值和最小值.解答类型二求二次函数的最值例例2(1)已知函数f(x)x22x3，若x0,2，求函数f(x)的最值；解解函数f(x)x22x3开口向上，对称轴x1，f(x)在0,1上递减，在1,2上递增，且f(0)f(2).f(x)maxf(0)f(2)3，f(x)minf(1)
4、4.解答(2)已知函数f(x)x22x3，若xt，t2，求函数f(x)的最值；解答解答(4)“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)4.9t214.7t18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？(精确到1 m)解答(1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素.(2)图像直观，便于分析、理解；配方法说理更严谨，一般用于解答题.反思与感悟跟踪训练跟踪训练2(1)已知函数f(x)x42x23，求函数f(x)的最值；解解设x2t(t0)，则x42
5、x23t22t3.yt22t3(t0)在0,1上递减，在1，)上递增.当t1即x1时，f(x)min4，无最大值.解答(2)求二次函数f(x)x22ax2在2,4上的最小值；解解函数图像的对称轴是xa，当a4时，f(x)在2,4上是减函数，f(x)minf(4)188a.当2a4时，f(x)minf(a)2a2.解答(3)如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系.那么水流喷出的高度h(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函数关系式为解答求水流喷出的高度h的最大值是多少？例例3已知x2x
6、a0对任意x(0，)恒成立，求实数a的取值范围.类型三函数最值的应用解答解答恒成立的不等式问题，任意xD，f(x)a恒成立，一般转化为最值问题：f(x)mina来解决.任意xD，f(x)a恒成立f(x)maxa.反思与感悟解答跟踪训练跟踪训练3已知ax2x1对任意x(0,1恒成立，求实数a的取值范围.a0.a的取值范围是(，0.当堂训练当堂训练答案2233445511答案22334455113.函数f(x)x2，x2,1的最大值，最小值分别为A.4,1 B.4,0C.1,0 D.以上都不对答案22334455114.已知函数f(x) 则f(x)的最大值，最小值分别为A.10,6 B.10,8C
7、.8,6 D.以上都不对答案22334455112233445511答案规律与方法1.函数的最值与值域、单调性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y .如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素.(2)若函数f(x)在闭区间a，b上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得.即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a).2.二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出yf(x)的草图，然后根据图像的增减性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得.本课结束
