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1、第第9章章 机机 械械 波波9.1 波的产生波的产生 波动方程波动方程9.2 波的能量波的能量 能流与能流密度能流与能流密度9.3 波的干涉波的干涉 振动振动在空间的传播过程叫做波动在空间的传播过程叫做波动常见的波有常见的波有: 机械波机械波 , 电磁波电磁波 , , 机械振动需要借助媒介才能传播并形成机械波；机械振动需要借助媒介才能传播并形成机械波；电磁振动电磁振动不不需要需要借助媒介就能传播并形成电磁借助媒介就能传播并形成电磁波波下面以一根绳子为例，演示机械波的产生过程下面以一根绳子为例，演示机械波的产生过程9.1 波的产生波的产生 波动方程波动方程一一. . 振动与波振动与波t = T/
2、4 t = 00481620 12 t = T/2 t = 3T/4 t = T 关于机械波，有如下关于机械波，有如下结论：结论：(1) 质质元元并并未未“随随波波逐逐流流”，而而是是在在最最初初的的位位置置附附近近作作振振动动。波的传播不是媒质质元的传播波的传播不是媒质质元的传播(2) “上游上游”的质元依次带动的质元依次带动“下游下游”的质元振动的质元振动(3) 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻 于于“下游下游”某处出现某处出现-波是振动状态的传播波是振动状态的传播想象多根绳子并列的情形想象多根绳子并列的情形1. 波波产生的条件产生的条件: : 波源波源
3、(即振源即振源) + 媒媒质质弹性波弹性波: : 机械振动在机械振动在弹性媒质弹性媒质中传播形成的波中传播形成的波 横波横波 纵波纵波2. 波动的基本概念及基本物理量波动的基本概念及基本物理量球面波球面波平面波平面波波线波线：用来表示波的传播方向的带箭头的线：用来表示波的传播方向的带箭头的线波面波面( (或或波阵面波阵面) )：某时刻媒质中振动相位相同的点所形成的面：某时刻媒质中振动相位相同的点所形成的面波前波前：沿波线方向最前面的那个波阵面：沿波线方向最前面的那个波阵面波面为相互平行的平面的波波面为相互平行的平面的波波面为同心球面的波波面为同心球面的波同相点同相点-质元的振动状态相同质元的振
4、动状态相同波长波长 相位差相位差2 波是相位的传播，沿波的传播方向波是相位的传播，沿波的传播方向, ,各质元的相位依次落后。各质元的相位依次落后。x传播方向传播方向相邻的两个同相点间的空间距离相邻的两个同相点间的空间距离波长：波长： 1122如如1和和1或或2和和2简简谐谐波波: 波波源源作作简简谐谐振振动动, 在在波波传传到到的的区区域域, 媒媒质质中中的的质质元元 均作简谐振动。均作简谐振动。 周期周期 T:T:某一波阵面前进一个波长的距离所需的时间某一波阵面前进一个波长的距离所需的时间振源完成一次振源完成一次全全振动所需的时间振动所需的时间即即波的周期就是振源振动的周期波的周期就是振源振
5、动的周期频率频率：即即单位时间（单位时间（1秒）含有多少个周期秒）含有多少个周期表示单位时间（表示单位时间（1秒）内波原全振动的次数秒）内波原全振动的次数频率频率与媒与媒质无关，无关，仅由振源自身确定。由振源自身确定。故故波的频率就是振源振动的频率波的频率就是振源振动的频率波速波速u u： 振动状态的传播速度振动状态的传播速度即即振动相位的传播速度，因而这种波速亦称为振动相位的传播速度，因而这种波速亦称为相速度相速度关于波速关于波速同一振源在不同媒质中形成的波的波速不同（但频率相同！）同一振源在不同媒质中形成的波的波速不同（但频率相同！）例例谁先听到？谁先听到？声源声源waterair几种常见
6、的波速表达式几种常见的波速表达式横波在张紧的弦线中传播时，波速为：横波在张紧的弦线中传播时，波速为：弦线中的张力弦线中的张力弦的线质量密度弦的线质量密度纵波沿细棒长度方向传播时，波速为：纵波沿细棒长度方向传播时，波速为：棒的杨氏模量棒的杨氏模量棒的体质量密度棒的体质量密度纵波在流体纵波在流体(液体或气体液体或气体)中的波速为：中的波速为：流体的容变弹流体的容变弹性模量性模量流体的质量密度流体的质量密度问题：图中波线上问题：图中波线上a、b二点的相位二点的相位差是多少？差是多少？波程波程( (差差) )：波在媒质中沿波线传播的路程波在媒质中沿波线传播的路程振动由振动由a点传到点传到b点所需的时间
7、点所需的时间a、b二点的相位二点的相位差差或或a、b二点的相位二点的相位差差a点离波原较近点离波原较近，则，则a点的相位超前点的相位超前b点点 xbx a 1122波速波速u u即即a a、b b二点间的波程二点间的波程波原波原二二. . 平面简谐波的平面简谐波的波函数波函数对沿对沿+ +方向传播的平面简谐波方向传播的平面简谐波( (u u , , ) )假设假设: : 媒质无吸收媒质无吸收( (质元振幅均为质元振幅均为A A) ) xxo任一点任一点已知已知: : 原点的振动表达式为原点的振动表达式为波速波速波面为平面的简谐波即为波面为平面的简谐波即为平面简谐波，平面简谐波，或称为或称为平面
8、简谐平面简谐行行波波则波线上任意一点则波线上任意一点p处的振动方程怎么写？处的振动方程怎么写？1.由波程差求波函数由波程差求波函数或称为或称为波动方程波动方程由前述，波线上由前述，波线上o、p二点的相位二点的相位差差相对于相对于驻驻波而言波而言又，又，p p点的点的 A,A, 均均与与o点点的相同，则的相同，则p p点的振动方程为点的振动方程为即平面简谐波的波函数的一般表达式为：即平面简谐波的波函数的一般表达式为：称作称作波数波数或或等于在等于在 的的“长度长度”内含内含有的有的“完整波完整波”的数目的数目则则同一时刻同一时刻t t，p p点振动的相位为：点振动的相位为：因因p p点是波线上的
9、任意一点，也就是说，给定一个点，即可点是波线上的任意一点，也就是说，给定一个点，即可由上式写出其振动方程。由上式写出其振动方程。其中用到的关系式：其中用到的关系式：2.由时间差求波函数由时间差求波函数xxo任一点任一点波速波速p点的振动比点的振动比o点的要晚发生点的要晚发生 的时间，也就是说，的时间，也就是说，p点点在在t时刻的振动即为时刻的振动即为o点在点在 时刻的振动时刻的振动则则即平面简谐波的波函数的一般表达式为：即平面简谐波的波函数的一般表达式为：或或与与由波程差求波函数由波程差求波函数得到的结果相同得到的结果相同3. 波形曲线波形曲线(波形图波形图) uoxy 不同时刻对应有不同的波
10、形曲线，即不同时刻的波不同时刻对应有不同的波形曲线，即不同时刻的波形图在形图在x x方向有一个位移（波形平移）方向有一个位移（波形平移） 某一时各点振动的位置（即此刻拍下的快照）某一时各点振动的位置（即此刻拍下的快照）4. 简谐波波函数表达式的物理意义简谐波波函数表达式的物理意义(1). 固定固定 x, (x= x0) (2). 固定固定 t, (t = t0 )(3). 如如 看定某一相位看定某一相位 , 即即 ( t-kx)=常数常数相速度相速度为为则上式变为则上式变为 即为即为x0点的振动方程点的振动方程 则有则有 表示的是表示的是t0 时刻时刻各点振动的位置（各点振动的位置（即即此刻拍
11、下的快照）此刻拍下的快照）简简言言之之，波波动动方方程程其其实实就就是是振振动动方方程程，只只不不过过是是波波线线上上不不同同的的点点的振动方程可用一个方程（这个方程中位置的振动方程可用一个方程（这个方程中位置x可变）表示而已。可变）表示而已。 T T 时间周期性时间周期性 空间周期性空间周期性(4). 波函数还反映了波的时间、空间双重周期性波函数还反映了波的时间、空间双重周期性(5). 若简谐波是沿若简谐波是沿x轴负向传播，则轴负向传播，则u变为变为-u则简谐波的表达式则简谐波的表达式(波函数波函数)为：为：例例某横波的波动方程为某横波的波动方程为y=0.05cos (5x-100t),求求
12、（1）波的振幅、频率、周期、波速及波长；）波的振幅、频率、周期、波速及波长；（2）x=2m处的质点的振动方程；处的质点的振动方程；（3）x1=0.2m及及x2=0.35m处两质点振动的相位差。处两质点振动的相位差。A=0.05m， =100 ， =0.4m，T=2 / =0.02s，u= /T=20ms-1（2）将）将x=2m代入波动方程，得代入波动方程，得 y=0.05cos(100 t-10 )此即此即x=2m处质点的振动方程，初相为处质点的振动方程，初相为-10 解解（1）将将y=0.05cos (5x-100t)=0.05cos(100 t-5 x)与方程与方程 比较，得比较，得（3）
13、由第二问知两点间振动的相位差只与两点间距）由第二问知两点间振动的相位差只与两点间距有关，所以有关，所以以固体棒中的纵波为例加以讨论以固体棒中的纵波为例加以讨论Y Y- -杨氏模量杨氏模量 - -体密度体密度l0l0 + l FF胡克定律胡克定律 (在在F不太大时不太大时)k为为劲度系数劲度系数材料发生线变时，其弹性势能为：材料发生线变时，其弹性势能为：材料总体积材料总体积则弹性势能密度为则弹性势能密度为 9.2 波的能量波的能量 能流与能流密度能流与能流密度一一. . 媒质元的能量媒质元的能量其能量其能量（即弹性波的能量）（即弹性波的能量）为为 振动动能振动动能 + 形变势能形变势能对对一体积
14、为一体积为 V，中心平衡位置坐标为中心平衡位置坐标为x的质元的质元平面简谐波平面简谐波在某一时刻媒质元的振动动能为：在某一时刻媒质元的振动动能为：为少写一些，设为少写一些，设媒质元的弹性形变势能为媒质元的弹性形变势能为又因为又因为u2=Y/ ，所以上式可写为所以上式可写为即在即在平面间谐波中，每一质元的动能和弹性势能是平面间谐波中，每一质元的动能和弹性势能是同相地随时间变化的同相地随时间变化的则质元总则质元总(机械机械)能为：能为：二二. 能量密度能量密度 平均能量密度平均能量密度平均能量密度和介质的密度、振幅的平方以及平均能量密度和介质的密度、振幅的平方以及频率的平方成正比，此结论对弹性波均
15、成立。频率的平方成正比，此结论对弹性波均成立。能量密度能量密度动能及势能密度动能及势能密度平均能量密度平均能量密度二、二、能流能流 波的强度波的强度( (能流密度能流密度) )1. 1. 能流能流( (能通量能通量) )能流密度：能流密度：能流能流：单位时间内通过某一面积的能量。用来描述：单位时间内通过某一面积的能量。用来描述 能量的传播。能量的传播。是通过垂直于波的传播方向的单位是通过垂直于波的传播方向的单位面积的能流面积的能流平均能流：平均能流：2. 波的强度波的强度是能流密度的时间平均值是能流密度的时间平均值w u= u 2A2sin2( t-kx)对平面简谐波对平面简谐波平均能流密度（
16、波的强度）：平均能流密度（波的强度）：对平面简谐波对平面简谐波能流密度：能流密度：三三. . 惠更斯原理惠更斯原理1. 原理的文字描述原理的文字描述 : 媒质中波传到的各点媒质中波传到的各点,都可看作开始发射子波的子波都可看作开始发射子波的子波源源 (点波源点波源)。 在在以以后后的的任任一一时时刻刻, 这这些些子子波波面面的的包包络络面面就就是是实实际际的的波在该时刻的波在该时刻的波前波前 。9.3 波的干涉波的干涉二二. . 波的叠加原理波的叠加原理波的叠加原理波的叠加原理：在波的交叠区域，某点的振动是各个：在波的交叠区域，某点的振动是各个波在该点引起的分振动的合成。波在该点引起的分振动的
17、合成。一一. 波传播的独立性波传播的独立性媒媒质质中中同同时时有有几几列列波波时时, 每每列列波波都都将将保保持持自自己己原原有有的的特特性性(传播方向、振动方向、频率等传播方向、振动方向、频率等), 不受其它波的影响不受其它波的影响 。 注注：波波动动方方程程的的线线性性决决定定了了波波服服从从叠叠加加原原理理；波波的的强强度度过过大大非线性波非线性波叠加原理不成立叠加原理不成立平面波平面波t+ t时刻波面时刻波面u t波传播方向波传播方向t 时刻波面时刻波面球面波球面波 tt + t对波的衍射现象的解释对波的衍射现象的解释波波传传播播过过程程中中当当遇遇到到障障碍碍物物时时, ,能能绕绕过
18、过障障碍碍物物的的边边缘缘而而传播的现象叫传播的现象叫衍射衍射。3.惠更斯惠更斯原理的应用原理的应用2. 图解图解:t时刻波面时刻波面 t+ t时刻波面时刻波面波的传播方向波的传播方向a波的衍射波的衍射对波的反射和折射现象的解释对波的反射和折射现象的解释（1）. 波的反射波的反射 (略略)（2）. 波的折射波的折射 用作图法求出折射用作图法求出折射波的传播方向波的传播方向BC=u1(t2-t1)=AC sini1AE=u2(t2-t1)=ACsini2媒质媒质1媒质媒质2折射波传播方向折射波传播方向ACi1i2t1t2BEi1-入射角入射角, i2-折射角折射角则则相对折射率相对折射率波的折射
19、定律波的折射定律 几何光学中的光线几何光学中的光线四四. . 波的干涉波的干涉交叠区交叠区1. 1. 干涉现象干涉现象相相干干波波原原：频频率率及及振振动动方方向向均均相相同，初相差恒定的两个波原。同，初相差恒定的两个波原。波波的的干干涉涉：当当两两相相干干波波原原发发出出的的波波相相遇遇时时，在在二二者者的的交交叠叠区区的的一一些些位位置置，振振动动会会加加强强，而而在在交交叠叠区区的的另另一一些些位位置置，振振动动会会减减弱弱，进进而而，在在交交叠叠区区，波波的的强强度度随随位位置置的的不不同同而而有有强强弱弱之之别别，这种现象称为这种现象称为波的干涉波的干涉。对对非相干波原，非相干波原，
20、在交叠区不会出现干涉现象。在交叠区不会出现干涉现象。2. 2. 干涉现象的定量讨论干涉现象的定量讨论设有两相干波原设有两相干波原 和和 ，则则 和和 在在p p点引起的振动的振动方程分别为：点引起的振动的振动方程分别为：由由两个同频率同方向简谐振动的合成两个同频率同方向简谐振动的合成的结论可知：的结论可知：p p点的振动方程为：点的振动方程为：注注：若媒质无吸收，则：若媒质无吸收，则其中其中振动方程分别为：振动方程分别为：波的强度波的强度波的强度正比于振幅的平方波的强度正比于振幅的平方一定时，一定时，A取决于取决于讨论：讨论：一般，对给定的相干波原一般，对给定的相干波原 ， ， 总是恒定的，不
21、妨设为总是恒定的，不妨设为0合振动振幅最大，振动加强合振动振幅最大，振动加强合振动振幅最小，振动减弱合振动振幅最小，振动减弱波程差波程差则则振动加强振动加强振动减弱振动减弱取决于取决于p点点的位置的位置p点在其它位置时点在其它位置时振幅介于最大和振幅介于最大和最小之间最小之间四四. 驻驻 波波1. 1. 实验现象实验现象abm波节波节波腹波腹abm改变改变m，波腹或波节的数目有变化，但，波腹或波节的数目有变化，但二端点二端点a、b总是总是波节。波节。用于改变用于改变弦线中的张力弦线中的张力弦的线质量密度弦的线质量密度2. 2. 驻波现象的解释驻波现象的解释复习一下：波动方程的一般表达式复习一下
22、：波动方程的一般表达式正方向正方向两列波的两列波的 及振动方向均相同且及振动方向均相同且沿相反方向传播沿相反方向传播二列波叠加而形成二列波叠加而形成驻波驻波（实为干涉过程）（实为干涉过程）方便计，设两波源初相均为方便计，设两波源初相均为0 0。 则两列波的波动方程分别为：则两列波的波动方程分别为：合成波（合成波（即即合振动）合振动）为：为：合成波的振幅为合成波的振幅为讨论：讨论：各处振幅不等大，各处振幅不等大，出现了波腹和波节出现了波腹和波节波腹处波腹处波节处波节处 振幅振幅振幅为振幅为2A振幅为振幅为0相邻波腹或波节间距为相邻波腹或波节间距为相相位位：相相位位中中没没有有x坐坐标标，没没有有
23、相相位位的的传传播播.同同一一段段上上的的各各点点的的振动同相，而相邻两段中的各点的振动反相振动同相，而相邻两段中的各点的振动反相 能量能量：总能流密度为：总能流密度为即即没有能量的单向传播没有能量的单向传播 波函数波函数：不满足：不满足y(x+u t, t+ t) = y(x,t)。因此它因此它不表示行波不表示行波3. 半波损失半波损失1）半波损失现象半波损失现象abm波节波节波腹波腹b处总是波节，说明入射波和反射波在处总是波节，说明入射波和反射波在b处的振动是反相的。处的振动是反相的。入射波入射波反射波反射波即即反射波在反射点反射波在反射点b处并未保持入射波原有的相位，而是处并未保持入射波
24、原有的相位，而是发生了相位突变，变化量为发生了相位突变，变化量为，相当于有半个波，相当于有半个波长损失了，失了，故称故称为半波损失半波损失。行波条件行波条件2）产生）产生半波损失的条件半波损失的条件波疏媒质波疏媒质波密媒质波密媒质较小较小较大较大如图有半波损失；反之，则无。如图有半波损失；反之，则无。折射波折射波入射波入射波反射波反射波垂直入射垂直入射波疏媒质波疏媒质波密媒质波密媒质入射波入射波反射波反射波折射波折射波考虑半波考虑半波损失，则：损失，则：在在 内取值内取值仅当波从波疏媒质射向仅当波从波疏媒质射向波密媒质波密媒质时，时，才会在反射点出现半波损失现象。才会在反射点出现半波损失现象。
25、4.波腹或波节位置的简单确定方法波腹或波节位置的简单确定方法入射波入射波反射波反射波波节处（两列波反相）：波节处（两列波反相）：波腹处（两列波同相）：波腹处（两列波同相）：例例 在在 弹弹 性性 媒媒 质质 中中 有有 一一 沿沿 x轴轴 正正 向向 传传 播播 的的 平平 面面 波波 ， 其其 波波 动动 方方 程程 为为 ，若若在在x=5.00处处有有一一媒媒质质分分界界面面，且且在在分分界界面面处处位位相相突突变变 ，设设反射后波的强度不变，试写出反射波的波动方程。反射后波的强度不变，试写出反射波的波动方程。反射波波函数反射波波函数例例一一平平面面简简谐谐波波沿沿x正正向向传传播播，如如
26、图图所所示示。振振幅幅为为A，频频率率为为 ，传传播播速速度度为为u。（1）t=0时时，在在原原点点o处处的的质质元元由由平平衡衡位位置置向向位位移移正正方方向向运运动动，试试写写出出此此波波的的波波函函数数；（2）若若经经分分界界面面反反射射的的波波的的振振幅幅和和入入射射波波的的振振幅幅相相等等，试试写写出出反反射射波波的的波波函函数数，并并求求在在x轴上因入射波和反射波干涉而静止的各点的位置。轴上因入射波和反射波干涉而静止的各点的位置。3/4分界面分界面波密波密Ou p 波疏波疏 （2）设反射波波函数）设反射波波函数解：解：波沿波沿x正向传播，则波函数为：正向传播，则波函数为：（1）简谐振动的运动学方程）简谐振动的运动学方程波节位置：波节位置： 则则 即即 半波损失半波损失
