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1、7.2 几何应用几何应用1平面图形面积的计算平面图形面积的计算1、直角坐标系下的面积公式、直角坐标系下的面积公式（1）所界图形的面积所界图形的面积:（2）所界图形的面积所界图形的面积:A（3）所界图形的面积所界图形的面积:A所界图形的面积所界图形的面积:（4）解解（5）所界图形的面积所界图形的面积:A(1) 作草图选取积分变量作草图选取积分变量从图形可知选取从图形可知选取 x 为积分变量为积分变量例例 计算由曲线计算由曲线 所界图所界图形形 的面积的面积 A联立方程联立方程 组组 解得两曲线的交点解得两曲线的交点(3) 计算积分计算积分(2) 求两曲线的交点求两曲线的交点, 确定积分区间确定积
2、分区间从而确定积分区间从而确定积分区间: -2 , 4 例例 计算由曲线计算由曲线 x=2y2 和和 x =1+y2 所围成的图形面积所围成的图形面积 1- -1x=2y2x=1+y2解解 (1)作草图作草图, 选取选取 y 为积分变量为积分变量(2)求两曲线的交点求两曲线的交点, 确定积分区间确定积分区间得得 y = - -1, y =1 , 积分区间积分区间-1 ,1解联立方组：解联立方组： 根据图形选取合适的积分变量有助根据图形选取合适的积分变量有助 于简化问题于简化问题 说明说明:1 53当当 y0 = 3 时时 , x0 = 2两边对两边对 x 求导得求导得令令 x =2 ，y =3
3、 得得切线方程切线方程 即即 选取选取 y 为积分变量为积分变量求由抛物线求由抛物线 和它在纵坐标为和它在纵坐标为 y0=3 的的 点处的切线以及点处的切线以及 x 轴所围成图形的面积轴所围成图形的面积 例例解解2解解计算曲线计算曲线 与与 x 轴在区间轴在区间 0 , 2n 所围成所围成区域的面积区域的面积 例例2、参数方程表示的图形面积的计算、参数方程表示的图形面积的计算设曲线为设曲线为 则则 a b , t = -1(x)其中其中 (t) , (t) , (t)在在 , 上连续上连续 , 且且 (t) 在在 , 上单调增上单调增 ( 或减或减 ) , ( ) =a , ( ) =b ,
4、A即即( (t)单调增单调增 ) （2） 说明说明: 若若 (t) 单调减单调减 , 则上积分上、下限倒一则上积分上、下限倒一下下 所成曲边梯形的面积所成曲边梯形的面积解解在在 0，2 上单调增上单调增 ,求摆线求摆线 的第一拱（的第一拱（0 t 2 ) 与与 x 轴所界图形的面积轴所界图形的面积 例例利用式（利用式（2）有）有解解1MS1S2由于由于设设 M 为曲线为曲线 上的一点上的一点 , 此此曲线与直线曲线与直线 OM 及及 x 轴所界图形的轴所界图形的面积为面积为 S , 例例求求 取得最大值时，点取得最大值时，点 M 的坐标的坐标 令令由于由于当当 时，时， 取最大值，取最大值，
5、3、极坐标系下图形面积的计算、极坐标系下图形面积的计算设设 r = r( ) , , r( ) 在在 , 上连上连续续 , = r=r( ) = = +设设 , +上曲边扇形的面积为上曲边扇形的面积为 A由于由于 r( ) 连续连续 , 若记若记r0B A A计算计算: 向径向径 = , = , 曲线曲线 r = r( ) 所围图所围图形形的面积的面积两边积分得两边积分得 (1)例例 求心脏线求心脏线 所围图形的面积所围图形的面积.A1解解画出草图画出草图 , 如图所示如图所示确定确定 的变化范围的变化范围 0 2 由对称性知由对称性知 A=2A1 ,所以所以2a r0例例 求平面区域求平面区
6、域 的面积的面积 解解画出草图画出草图, 如图所示如图所示 图形关于极轴图形关于极轴 r 对称对称 A= 2A1A1求求 与与 的交点的交点解解得得 积分区间积分区间2a r0例例 求双纽线求双纽线 所围图形的面积所围图形的面积 解解从曲线的方程可知从曲线的方程可知, 曲线关于原点对称曲线关于原点对称 , 故只须故只须求其在第一象限内的面积求其在第一象限内的面积 A1将曲线化为极坐标方程有将曲线化为极坐标方程有 的变化范围为的变化范围为 (第一象限部分第一象限部分)2 平面曲线弧长的计算平面曲线弧长的计算设平面曲线设平面曲线其中其中 在在 , 上连续且有连续导数上连续且有连续导数 取取 t 增
7、加时增加时 , 描绘曲线的方向为曲线的正方向描绘曲线的方向为曲线的正方向 , 计弧零点为计弧零点为 , (3)所以有所以有作为公式（作为公式（3）的特殊情形）的特殊情形:（a）若曲线若曲线 , 则则（直角坐标下）（直角坐标下）（4）（b）若曲线）若曲线 , 则则（极坐标下）（极坐标下）（5）注意注意: 公式公式 (4) 、(5) 中中, 积分下限积分下限 积分上限积分上限 注意注意: 公式公式 (3) 中中, 积分下限积分下限 积分上限积分上限 例例 求曲线求曲线 的全长的全长 .先确定参数先确定参数 t 的变化范围的变化范围由由所以曲线的定义域为所以曲线的定义域为又又解解利用公式利用公式 (
8、3) , 有有例例 求曲线求曲线 的弧的弧长长 解解解解的弧长的弧长 ( p为常数为常数 ) 例例 计算曲线计算曲线 3已知平行截面积的立体体积的计算已知平行截面积的立体体积的计算 x+ x 记记连续函数连续函数 A(x ) (a x b), 计算该立体的体积计算该立体的体积 V 设立体设立体 V, 其垂直于其垂直于x 轴的截面面积是已知的轴的截面面积是已知的设设 x , x+ x 段上对应段上对应 立体的体积为立体的体积为 V. xxab由于由于A (x) 连续连续A(x)故知故知 （6）所以有计算公式所以有计算公式例例 对给定的半径为对给定的半径为 R 的一个圆柱体，用一与底面的一个圆柱体
9、，用一与底面求这截求这截下部分立体的体积下部分立体的体积 交交角为角为 的平面相截的平面相截 , 若平面通过低圆直径若平面通过低圆直径 , 试试R-R 如图所示如图所示, 建立坐标系建立坐标系 在在 - -R , R 上任取一点上任取一点 x 用经用经 x , 垂直于垂直于 x 轴的平面去截立体轴的平面去截立体 , 得截痕得截痕面积面积 A(x) (直角三角形直角三角形) 解解所以所以 , 有有4 旋转体的体积计算旋转体的体积计算旋转体旋转体: x x+ x空间体空间体 平面图形绕平面上某一条轴旋转而成的平面图形绕平面上某一条轴旋转而成的 计算此曲边梯形绕计算此曲边梯形绕 x 轴旋转所得旋转体
10、的体积轴旋转所得旋转体的体积（ f (x)在在 a , b 上连续上连续 ）设曲边梯形由设曲边梯形由 y = f (x) , x = a , x = b 及及 x 轴所界，轴所界，(7)设子区间设子区间 x, x+ x 上小曲边上小曲边梯形绕梯形绕 x 轴旋转的体积为轴旋转的体积为 V 同理可得同理可得: (8)x x+ x下面考虑曲边梯形下面考虑曲边梯形:绕绕 y 轴旋转所得立体的体积轴旋转所得立体的体积y =d 及及 y 轴轴 , 曲边梯形曲边梯形 x =g (y) , y =c ,设子区间设子区间 x, x+ x 上小曲边上小曲边梯形绕梯形绕 y 轴旋转的体积为轴旋转的体积为 V 的体积
11、的体积:绕绕 y 轴旋转所得轴旋转所得绕绕 x 轴旋转所得的立体的体积轴旋转所得的立体的体积:同理可得同理可得: 曲边梯形曲边梯形 (10)(9)解解解解例例 求由抛物线求由抛物线所围图形的面积所围图形的面积 , 并将此图形绕并将此图形绕 x 轴旋转一周所成立体的体积轴旋转一周所成立体的体积 画出草图画出草图, 选取选取 x 为积分变量为积分变量 , 积分区间为积分区间为 - -1 , 1 . 所以所以 , 所围图形的面积所围图形的面积 所围图形所围图形绕绕 x 轴旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积 :解解 当容器以匀角速度当容器以匀角速度 绕绕 y 轴旋转时轴旋转时, 容器液面的容器液面的轴
12、截面截线方程为轴截面截线方程为:设容器是底半径为设容器是底半径为 R , 高为高为 H 的圆柱形容器的圆柱形容器, 里面里面盛盛例例 有水的体积为有水的体积为 V, 试求常数试求常数 C (假定假定V足够大足够大) ,又问又问当当 以多大的角速度旋转时以多大的角速度旋转时,容器的底面会露出来容器的底面会露出来 ?要使容器底面露出来要使容器底面露出来 , 至少使至少使 c = 0当当 时时, 容器的底面会露出来容器的底面会露出来解解 求图形求图形 A 绕直线绕直线 x = 2 旋转一周所得旋转体的体积旋转一周所得旋转体的体积.例例 设平面图形设平面图形 A 由由 与与 所确定所确定 , 1y+d
13、y yA 的图形如图所示的图形如图所示 .A 的边界线方程为的边界线方程为A 在在 y 轴上的投影区间为轴上的投影区间为 0 , 1 在在 0 ，1 上任取一小区间上任取一小区间 y , y + dy 则对应于该小则对应于该小区间的薄片的体积微元为区间的薄片的体积微元为所以体积所以体积:例例求星形线求星形线 所围成的平面所围成的平面图形绕直线图形绕直线 y = a 旋转的旋转体体积旋转的旋转体体积 .解解平面图形如图所示平面图形如图所示 由对称性由对称性 , 只需计算第一只需计算第一, 四四象限部分图形旋转所得立体象限部分图形旋转所得立体体积乘以体积乘以 2 即可即可 在在 0 , a 内任取一小区间内任取一小区间 x , x+dx 则对应于该小区间的薄片的体积微元则对应于该小区间的薄片的体积微元- -a aa所以所求体积所以所求体积 :又星形线又星形线
