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1、第二章第二章 时域离散信号与系统的频域分析时域离散信号与系统的频域分析离散时间傅立叶变换的定义离散时间傅立叶变换的定义DTFTDTFT的主要性质的主要性质 周期序列的离散傅立叶变换周期序列的离散傅立叶变换时域时域离散信号的离散信号的FTFT和模拟信号的和模拟信号的FTFT之间的关系之间的关系离散系统的频域特性离散系统的频域特性序列的傅立叶变换及其基本性质的应用序列的傅立叶变换及其基本性质的应用离散系统的频域特性离散系统的频域特性学习内容：学习内容：学习重点、难点：学习重点、难点：2.1 2.1 连续时间信号和系统的频域分析连续时间信号和系统的频域分析知识回顾知识回顾1 1、连续时间周期信号、连
2、续时间周期信号特点：时域连续，频域离散特点：时域连续，频域离散连续时间周期信号的连续时间周期信号的傅里叶级数傅里叶级数对对2 2、连续时间非周期信号、连续时间非周期信号连续时间非周期信号的连续时间非周期信号的傅里叶变换傅里叶变换对对特点：时域连续，频域连续特点：时域连续，频域连续2.2 2.2 离散时间傅立叶变换的定义及性质离散时间傅立叶变换的定义及性质2.2.1 2.2.1 离散时间傅立叶变换定义离散时间傅立叶变换定义 （DTFT)DTFT)1、正变换：正变换：反变换：反变换：2 2、序列傅立叶变换存在的条件、序列傅立叶变换存在的条件序列绝对可和，一致收敛，序列绝对可和，一致收敛，序列绝对可
3、和，一致收敛，序列绝对可和，一致收敛，FTFT存在存在存在存在特殊序列（周期序列，特殊序列（周期序列，特殊序列（周期序列，特殊序列（周期序列，u(nu(n）) )等，引入等，引入等，引入等，引入冲冲冲冲激函数，激函数，激函数，激函数，FTFTFTFT也存在。也存在。也存在。也存在。频谱用实部和虚部表示频谱用实部和虚部表示频谱用实部和虚部表示频谱用实部和虚部表示频谱用幅度和相位表示频谱用幅度和相位表示频谱用幅度和相位表示频谱用幅度和相位表示幅度特性幅度特性幅度特性幅度特性 相位特性相位特性相位特性相位特性 3 3、序列的幅度谱与相位谱、序列的幅度谱与相位谱频谱是频谱是频谱是频谱是的连续周期函数，
4、周期为的连续周期函数，周期为的连续周期函数，周期为的连续周期函数，周期为2222。DTFTDTFT频谱特点：时域离散，频域连续，频谱特点：时域离散，频域连续，频谱特点：时域离散，频域连续，频谱特点：时域离散，频域连续， 以以以以2222为周期。为周期。为周期。为周期。例例2.2.1 设设x(n)=RN(n)，求，求x(n)的的FT。解解: :当当N N4 4时，序列时，序列x(nx(n) )及其幅度谱与相位谱如下图示。及其幅度谱与相位谱如下图示。clc; clear;y=1 1 1 1;x=0; n=0:3;w=0:0.01:2*pi;subplot(311);stem(n,y);xlabel
5、(n);ylabel(x(n);for n=0:3 x=x+exp(-j*w*n);endxx=abs(x);subplot(312);plot(w,xx);xlabel(w);ylabel(幅度)yy=angle(x);subplot(313);plot(w,yy) xlabel(w);ylabel(相位)程序清单程序清单例：令因果性指数序列为例：令因果性指数序列为x(nx(n)=)=a an nu(nu(n) )，写出其傅立，写出其傅立 叶变换，并讨论其收敛性。叶变换，并讨论其收敛性。解：此序列的傅立叶变换为：解：此序列的傅立叶变换为：|a|1|a|1|a|1时，时，a an nu(nu(
6、n) )的傅立叶变换存在。的傅立叶变换存在。2.2.2 2.2.2 序列傅立叶变换的性质序列傅立叶变换的性质1 1、FTFT的周期性的周期性其中，其中， 0 0，2 2，4 4 对应对应直流分量直流分量 ，3 3，5 5 对于信号的最高频分量对于信号的最高频分量对信号频谱只需分析对信号频谱只需分析 之间或之间或0 02 2 之间之间因此：因此：X(eX(ej j) )以以2 2为周期为周期2 2、线性性质、线性性质3 3、时移与频移性质、时移与频移性质时域移位，时域移位，频域有相移频域有相移 时域调制时域调制频域移位频域移位4 4、指数加权，线性加权、指数加权，线性加权5 5、时域卷积定理、时
7、域卷积定理设设 y(ny(n)=)=x(nx(n)*)*h(nh(n), ), 则则 Y(eY(ejj)=)=X(eX(ejj) )H(eH(ejj) )证明：令k=n-m 时域卷积，时域卷积，频域乘法频域乘法6 6、频域卷积定理、频域卷积定理设 y(n)=x(n)h(n), 则 频域卷积，频域卷积，时域乘法时域乘法7 7、帕斯瓦尔定理（、帕斯瓦尔定理（ParsevalParseval）内容：时域、频域能量守恒。内容：时域、频域能量守恒。 即信号时域的总能量等于频域的总能量。即信号时域的总能量等于频域的总能量。将将x xe e(n(n) )用其实部与虚部表示用其实部与虚部表示 x xe e(n
8、(n)=)=x xerer(n)+jx(n)+jxeiei(n(n) ) 将上式两边将上式两边n n用用-n-n代替，并取共轭，得到代替，并取共轭，得到 x x* *e e(-n(-n)=)=x xerer(-n)-jx(-n)-jxeiei(-n(-n) ) 对比上面两公式，对比上面两公式， 左边相等，左边相等， 因此得到因此得到 x xerer(n(n)=)=x xerer(-n(-n) ) x xeiei(n(n)=-)=-x xeiei(-n(-n) )（1 1）共轭对称序列）共轭对称序列： 若若满足下式：满足下式： x xe e(n(n)=x)=x* *e e(-n(-n) ) 则称
9、则称x xe e(n(n) )为共轭对称序列。为共轭对称序列。概念：概念：共轭对称序列的性质：实部是偶函数，共轭对称序列的性质：实部是偶函数， 虚部是奇函数。虚部是奇函数。8 8、 DTFTDTFT的对称性的对称性（2 2）共轭反对称序列）共轭反对称序列： 若若满足下式：满足下式： x xO O(n(n)=-x)=-x* *O O(-n) (-n) 则称则称x xO O(n(n) )为共轭反对称序列。为共轭反对称序列。共轭反对称序列的性质：实部是奇函数，共轭反对称序列的性质：实部是奇函数， 虚部是偶函数。虚部是偶函数。例：共轭对称序列例：共轭对称序列 5 5j 4j 4j 0 4j 0 4j
10、5j 5j j 共轭反对称序列共轭反对称序列 5 5j j 4 4j 0 4j 0 4j 5j 5j j （3 3）对任意序列）对任意序列x(nx(n) )任意序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，任意序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示， x(nx(n)=)=x xe e(n)+x(n)+xo o(n(n) )由由 x x* *(-n)=(-n)=x xe e(n)-x(n)-xo o(n(n) )有：有：任意序列任意序列x(nx(n) )X(eX(ejj)=)=X Xe e(e(ejj)+X)+Xo o(e(ejj) )（4 4）对序列）对序列x(nx(n) )的的X(eX(ej
11、j) )X Xe e(e(ejj)=X)=X* *e e(e(e-j-j) ) X Xo o(e(ejj)=-X)=-X* *o o(e(e- -jj) )对称性：对称性：（1 1）若序列）若序列x(nx(n) )分成实部分成实部x xr r(n(n) )与虚部与虚部x xi i(n(n) ) x(nx(n)=)=x xr r(n)+jx(n)+jxi i(n(n) ) 则则 X(eX(ejj)=)=X Xe e(e(ejj)+X)+Xo o(e(ejj) ) 即序列实、虚部分解，频域作共轭对称与反对称的分解即序列实、虚部分解，频域作共轭对称与反对称的分解其中其中证明略证明略（2）若序列若序列
12、x(nx(n) )分成共轭对称分量分成共轭对称分量x xe e(n(n) )与共轭反对与共轭反对 称分量称分量x x0 0(n(n）之和）之和 x(nx(n)=)=x xe e(n)+x(n)+xo o(n(n) ) 则则 X(eX(ejj)=)=X XR R(e(ejj)+jX)+jXI I(e(ejj) ) 即序列对称、反对称分解，频域作实部、虚部的分解即序列对称、反对称分解，频域作实部、虚部的分解其中其中 （3 3）实因果序列的对称性）实因果序列的对称性因此实序列的因此实序列的FTFT的实部是偶函数，的实部是偶函数， 虚部是奇函数，虚部是奇函数， 用公式表示为：用公式表示为： 若若x(n
13、x(n) )是实序列，是实序列， 则其则其FTFT只有共轭对称部只有共轭对称部X Xe e(e(ejj) )， 共轭反对称部分为零。共轭反对称部分为零。 X(eX(ejj)=)=X Xe e(e(ejj)=X)=X* *( (e e-j-j) )X XR R(e(ejj)=)=X XR R(e(e-j-j) ) X XI I(e(ejj)=-)=-X XI I(e(e-j-j) )| |X(eX(ejwjw)|)|幅度是幅度是w w的偶函数的偶函数argX(eargX(ejwjw)相角是相角是w w的奇函数的奇函数2.3 2.3 周期序列的离散傅立叶级数周期序列的离散傅立叶级数 及傅立叶变换及
14、傅立叶变换2.3.1 2.3.1 周期序列的离散傅立叶级数（周期序列的离散傅立叶级数（DFS)DFS)设设 是一个周期为是一个周期为N N的周期序列，的周期序列， 即即 r r为任意整数为任意整数 周期序列不绝对可和周期序列不绝对可和, ,因此周期序列的因此周期序列的DTFTDTFT不存在，与不存在，与连续信号一样，用傅立叶级数表示，即：连续信号一样，用傅立叶级数表示，即：DFSDFS一、一、 的离散傅立叶级数（的离散傅立叶级数（DFSDFS）a ak k：傅立叶系数：傅立叶系数物理意义：物理意义：将周期序列用周期为将周期序列用周期为N N的复指数序列表示。的复指数序列表示。对应于信号的分解，
15、将信号分解为多个信号的求和。对应于信号的分解，将信号分解为多个信号的求和。二、傅立叶系数二、傅立叶系数a ak k将上式两边乘以将上式两边乘以 ， 并对并对n n在一个周期在一个周期N N中求和中求和 由：由：0kN-10kN-1又：又：所以：所以：a ak k为周期序列，周期为为周期序列，周期为N N。0kN-1由：由：令：令：则：则：且：且：三、离散傅立叶级数变换对三、离散傅立叶级数变换对DFSDFS的正变换：的正变换：DFSDFS的反变换：的反变换：周期序列周期序列DFSDFS特点：特点：1.1.时域离散，频域离散时域离散，频域离散2.2. 均以均以N N为周期，周期延拓为周期，周期延拓
16、3.3.实际频率分量只有实际频率分量只有N N项，直流，项，直流， 2 2/N,2/N,2/N*2,2/N*2,2/N*k,/N*k,2 2/N*(N-1)/N*(N-1)四、离散傅氏级数的习惯表示法离散傅氏级数的习惯表示法 通常用符号 代入，则：解：解：幅度谱见书幅度谱见书P42P42例例 2.3.1 2.3.1 设设x(nx(n)=R)=R4 4(n)(n)，将，将x(nx(n) )以以N=8N=8为周期，进为周期，进 行周期延拓，得到周期为行周期延拓，得到周期为8 8的周期序列的周期序列 ，求，求 的的DFS.DFS.周期序列的谱：周期序列的谱：非周期序列的谱：非周期序列的谱：对周期为对
17、周期为N N的序列的序列其其DFS:DFS:其其FT:FT:结论：同一周期序列，其结论：同一周期序列，其DFSDFS和和FTFT分别取模的形状是分别取模的形状是一样的，不同的只是一样的，不同的只是FTFT用单位冲激函数表示，幅度用单位冲激函数表示，幅度倍乘倍乘2 2/N/N。2.3.2 2.3.2 周期序列的傅立叶变换周期序列的傅立叶变换例例 2.3.2 2.3.2 设设x(nx(n)=R)=R4 4(n)(n)，将，将x(nx(n) )以以N=8N=8为周期，进为周期，进 行周期延拓，得到周期为行周期延拓，得到周期为8 8的周期序列的周期序列 ，求，求 的的FT.FT.周期序列周期序列DFS
18、非周期序列非周期序列DTFT周期序列周期序列DTFT 是对有限是对有限长序列长序列x(nx(n) )的的傅立叶变换的傅立叶变换的等间隔抽样，等间隔抽样，抽样间隔为抽样间隔为2 2/N/N，具有周，具有周期性，每个期性，每个2 2周期内抽周期内抽样N N个个点。点。一个结论：一个结论：小结：小结：有限长序列有限长序列DTFTDTFT周期序列周期序列DFSDFS周期序列周期序列DTFTDTFT几个特殊信号的傅立叶变换几个特殊信号的傅立叶变换: : 2 2、余弦序列的、余弦序列的FTFT 1 1、复指数序列的、复指数序列的FTFT 3 3、常数序列的、常数序列的FTFT 1 1、复指数序列的、复指数
19、序列的FTFT 2 2、余弦序列的、余弦序列的FTFT 见书见书P43P43表表 3 3、常数序列的、常数序列的FTFT 当当0 00 0时2.4 2.4 离散信号的傅氏变换与模拟信号的傅氏离散信号的傅氏变换与模拟信号的傅氏变换的关系变换的关系一、几组关系一、几组关系原连续信号及其频谱原连续信号及其频谱采样信号及其频谱采样信号及其频谱序列及其频谱序列及其频谱？二、离散信号傅氏变换与模拟信号傅氏变换的关系二、离散信号傅氏变换与模拟信号傅氏变换的关系1、推导：、推导：即有：即有：对照：对照：结论：结论：2、采样信号频谱与对应序列频谱的曲线关系：、采样信号频谱与对应序列频谱的曲线关系：max模拟信号
20、谱采样信号谱序列的频谱3、原模拟信号频谱与对应序列频谱的关系：、原模拟信号频谱与对应序列频谱的关系：由：由：有：有：见书见书P45P45页页式式2.4.32.4.3三、模拟频率和数字频率之间的定标关系三、模拟频率和数字频率之间的定标关系在一些文献中经常使用归一化频率。在一些文献中经常使用归一化频率。f=f=f/fsf/fs或或=/=/ss， =/2=/2， 将将f f、 、 、 ff、 、 的定标值的定标值对应关系用下图表示。对应关系用下图表示。 例例 2.4.1 2.4.1 设设x xa a(t(t)=cos(2f)=cos(2f0 0t)t)， f f0 0=50 Hz=50 Hz以采样频
21、以采样频率率f fs s=200 Hz=200 Hz对对x xa a(t(t) )进行采样，进行采样， 得到采样信号得到采样信号 和时域离散信号和时域离散信号x(n)x(n)， 求求x xa a(t(t) )、 、x(nx(n) )的傅立的傅立叶变换。叶变换。 解：略。解：略。2.5 2.5 离散时间系统的频响特性离散时间系统的频响特性离散时间系统的单位冲激响应：离散时间系统的单位冲激响应：h(nh(n) )离散时间系统的频率响应函数：离散时间系统的频率响应函数：幅度响应：幅度响应：| |H H(e(ejj)|)|相位响应：相位响应：( ()=)=argargH H(e(ejj)频率响应函数的
22、物理含义：频率响应函数的物理含义：设系统的输入为设系统的输入为 则经过系统后的响应为：则经过系统后的响应为：即：当系统输入为正弦序列，输出为同频率的正弦序列，即：当系统输入为正弦序列，输出为同频率的正弦序列，其幅度受频率响应幅度其幅度受频率响应幅度| |H H(e(ej0j0)|)|加权，而输出的相位则为加权，而输出的相位则为输入相位与系统相位响应之和。输入相位与系统相位响应之和。|Y(ej)|=|H(ej)|X(ej)| argY(ej)=argH(ej)+argX(ej) Y(ej)=X(ej)H(ej)频域频域几种特殊系统的系统：几种特殊系统的系统：全通滤波器全通滤波器全通滤波器是一种纯
23、相位滤波器，经常用于相位均衡。全通滤波器是一种纯相位滤波器，经常用于相位均衡。几种特殊系统的系统：几种特殊系统的系统：梳状滤波器梳状滤波器消除电消除电网谐波网谐波干扰干扰几种特殊系统的系统：几种特殊系统的系统：最小相位系统：所有零点都在单位圆内最小相位系统：所有零点都在单位圆内最大相位系统：所有零点都在单位圆外最大相位系统：所有零点都在单位圆外混合系统：单位圆内外都有零点的系统混合系统：单位圆内外都有零点的系统本章小结：1.1.序列的傅立叶正、反变换（序列的傅立叶正、反变换（DTFT)DTFT)；2.2.序列傅立叶变换存在的条件；序列傅立叶变换存在的条件；3.3.序列频谱（幅度谱，相位谱，时域离散、序列频谱（幅度谱，相位谱，时域离散、 频域连续，频域连续，2 2周期周期）；）；4.4.序列傅立叶变换的性质；序列傅立叶变换的性质；5.5.周期序列的离散傅立叶变换；周期序列的离散傅立叶变换；6.6.模拟信号模拟信号FTFT与序列与序列FTFT的关系；的关系；7.7.离散时间系统的频响特性。离散时间系统的频响特性。本章作业：本章作业：P71T1 T1 （7 7、8 8）T5T5T12T12T13T13T27 T27 *T30 *T30
