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1、一、离散型随机变量的条件分布一、离散型随机变量的条件分布 设随机变量（设随机变量（X，Y）的的联合分布联合分布联合分布联合分布列列列列为为 (X, Y) PXxi , Y yj pij (i , j1, 2, )X和和Y的的边边边边际际际际分布分布分布分布列列列列分别为分别为3.5 条件分布与条件期望条件分布与条件期望定义定义 设设 (X, Y)为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量,若对固定的若对固定的 j, 有有则称则称为为Y yj 的的条件下条件下, ,X的条件分布律的条件分布律。PY yj pj 0为为X xi 的的条件下条件下, ,Y的条件分布的条件分布. .类似地类似地,对固定的
2、对固定的i, 若若PX xi pi 0 , 则称则称注注 条件分布律也满足条件分布律也满足一般概率一般概率分布律的性质分布律的性质. 注注 二维离散型随机变量二维离散型随机变量(X, Y)的的联合分布联合分布联合分布联合分布律不仅确定了其律不仅确定了其律不仅确定了其律不仅确定了其边边边边际际际际分布分布分布分布律律律律, ,也确定了其也确定了其也确定了其也确定了其条件分布律条件分布律条件分布律条件分布律.例例1 若（若（X ，Y）的联合概率分布为）的联合概率分布为 YX012pi010.20.10.10.20.30.10.60.4pj0.30.30.4求随机变量求随机变量Y在条件在条件X =
3、xi 下的条件分布下的条件分布解解 由定义可得：由定义可得：在在X = 0的条件下，的条件下，Y的条件分布为的条件分布为在在X = 1的条件下，的条件下，Y的条件分布为的条件分布为定义定义 设设 (X, Y)为二为二维维离散离散型型随机变量随机变量,给定给定Y yj 条件下，条件下，二、条件分布函数二、条件分布函数1.离散型随机变量的条件分布函数离散型随机变量的条件分布函数X X 的的条件分布函数为条件分布函数为条件分布函数为条件分布函数为而在给定而在给定X = xi 条件下条件下Y的的 条件分布函数为条件分布函数为例例1 若（若（X ，Y）的联合概率分布为）的联合概率分布为 YX012pi0
4、10.20.10.10.20.30.10.60.4pj0.30.30.4求在求在Y=1的条件下，的条件下，X的条件分布函数的条件分布函数例如在例例如在例1中：中：解：解：先求先求 在在 Y=1的条件下，的条件下，X的的条件分布列条件分布列则则在在Y=1条件下，条件下，X的条件分布函数为的条件分布函数为2. 连续型随机变量的条件分布函数连续型随机变量的条件分布函数设设 (X, Y)为二维连续型随机变量为二维连续型随机变量,给定实数给定实数 y，总有总有PY=y=0,一个自然的想法是，将条件概率一个自然的想法是，将条件概率 看成是看成是时的极限，即时的极限，即这里有这里有利用积分中值定理，可推得利
5、用积分中值定理，可推得定义定义 设设 (X, Y)为二为二维连续型维连续型随机变量随机变量,给定给定Y y条件下，条件下，若若, 则则X的条件分布函数与条件密度函数分别为的条件分布函数与条件密度函数分别为注注 时，时，X的条件分布的条件分布函数与条件密度函数与条件密度函数均不存函数均不存在在.类似地可定义类似地可定义在在X=x 条件下条件下Y的条件分布函数与条件密度函数，的条件分布函数与条件密度函数，即当即当 时，时，注注 时，时，Y的条件分布的条件分布函数与条件密度函数与条件密度函数均不存在函数均不存在.例例2 已知已知(X, Y)的联合密度函数为的联合密度函数为(1) 求条件概率密度求条件概率密度(2) 求条件概率求条件概率解解故当故当1x1时时,有有例例2 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)在单位圆在单位圆内服从内服从均匀分布均匀分布,求求解解 因为因为所以所以于是于是,当当 -1x1时时同理可得同理可得,当当 -1 y 0 时时 从而当从而当 0 y x 时时,（X,Y）的联合密度为）的联合密度为 在其它在其它( x , y ) 点处点处,有有p (x, y)=0. 故故故可得故可得
