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1、2第四节第四节 对面积的曲面积分对面积的曲面积分求质量 m .引例引例: 设曲面形构件具有连续面密度采用“分割分割, 近似近似, 求和求和, 取极限取极限” 的方法， 可得一一. 对面积的曲面积分的概念与性质对面积的曲面积分的概念与性质3定义定义:设 为光滑曲面, f (x, y, z) 是定义在 上的一个有界函数, 若对 做任意分割和局部区域上任意取点, “乘积乘积和式极限和式极限” 都存在,则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积的对面积的曲面积分曲面积分或第一类曲面积分第一类曲面积分.记作记作其中 f (x, y, z) 叫做被积函数被积函数, 叫做积分曲面积分曲面.
2、据此定义,曲面形构件的质量为曲面面积为4 如果 f (x, y, z) 在光滑曲面 上连续连续, 则对面积的曲面对面积的曲面积分存在积分存在. 如果 是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面则有对面积对面积的曲面积分与对弧长对弧长的曲线积分有类似的性质.（k 为常数)5定理定理: 设光滑曲面 由方程 z = z (x, y) 在 xoy 面上的投影区域为f (x, y, z) 在 上连续 ,存在, 且有二二. 对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分的计算法给出 ,则曲面积分证明证明: 由定义知而67计算公式计算公式:则则8则则则则9例例1 1解解1011解解依对称性知：依对称性知：121314例例
3、3 3解解1516例例4. 计算其中 是介于平面之间的圆柱面解解:将 分成 、 17例例4. 计算其中 是介于平面之间的圆柱面另解另解: 取曲面面积元素则18例例6. 计算其中 是球面解解: 利用对称性可知利用重心公式球心：球心：半径半径：19四、小结2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算域上的二重积分计算.1、 对面积的曲面积分的概念对面积的曲面积分的概念;（按照曲面的不同情况分为三种）（按照曲面的不同情况分为三种）2021思考题思考题 在对面积的曲面积分化为二重积分在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中的公式中, 有因子有因子 , 试说明试说明这个因子的几何意义这个因子的几何意义.22思考题解答思考题解答是曲面元的面积是曲面元的面积,故故 是曲面法线与是曲面法线与 轴夹角的余弦轴夹角的余弦的倒数的倒数.23练练 习习 题题2425练习题答案练习题答案
