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1、第四章第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征大学是知识的源泉，少数的人如饥似渴地畅饮；更多的人优哉游哉地品吟；绝大多数的人则是漱了漱口。 分布函数能完整地描述 r.v.的统计特性, 但实际应用中并不都需要知道分布函数，而只需知道 r.v.的某些特征. 判断棉花质量时, 既看纤维的平均长度平均长度 平均长度越长,偏离程度越小, 质量就越好; 又要看 纤维长度与平均长度的偏离程度纤维长度与平均长度的偏离程度例如例如： 考察一射手的水平, 既要看他的平均环数是否高, 还要看他弹着点的范围是否小, 即数据的波动是否小. 由上面例子看到，与 r.v. 有关的某些数值，虽不能完整地描述 r.v
2、.但能清晰地描述 r.v.在某些方面的重要特征 , 这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.q r.v.的平均取值 数学期望 q r.v.取值平均偏离均值的情况 方差q 描述两 r.v.间的某种关系的数 协方差与相关系数本本章章内内容容随机变量某一方面的概率特性 都可用数字数字来描写4.1随机变量的数学期望随机变量的数学期望加 权 平 均初赛复赛决赛总成绩算术平均甲乙90 85 53 228 7688 80 57 225 75胜者 甲 甲 乙 甲 甲3:3:4 2:3:5 2:2:6 73.7 70.0 66.8 73.2 70.1 67.8 甲 乙 乙引例引例 学生甲乙参加数学竞赛, 观察
3、其胜负为这 3 个数字的加权平均称数学期望的概念源于此设 X 为离散 r.v. 其分布为若无穷级数其和为 X 的数学期望 记作 E( X ), 即数学期望的定义数学期望的定义定义绝对收敛, 则称若广义积分绝对收敛, 则称此积分为 X 的数学期望记作 E( X ), 即 数学期望的本质数学期望的本质 加权平均加权平均 它是一个数不再是它是一个数不再是 r.v.r.v.定义定义设连续 r.v. X 的 d.f. 为 f(x)例例1 1 X B ( n , p ), 求 E( X ) .解解特例 若Y B ( 1 , p ), 则 E(Y) 例1例例2 2 X N ( , 2 ), 求 E ( X
4、) .解解例例3 3 设 X 参数为 p 的几何分布，求E ( X ).解解例2常见常见 r.v. 的数学期望的数学期望分布期望概率分布参数为p 的 0-1分布pB(n,p)npP()分布期望概率密度区间(a,b)上的均匀分布E()N(, 2)注意注意 不是所有的不是所有的 r.v.都有数学期望都有数学期望例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为但发散它的数学期望不存在!q 设离散 r.v. X 的概率分布为 若无穷级数绝对收敛，则q 设连续 r.v. 的 d.f. 为f (x)绝对收敛, 则若广义积分 r.v.函数函数 Y = g(X ) 的数学期望的数学期望q 设离散 r.v. (X ,
5、Y ) 的概率分布为Z = g(X ,Y ),绝对收敛 , 则若级数q 设连续 r.v. (X ,Y )的联合 d.f. 为f (x ,y) ，Z = g(X ,Y ), 绝对收敛, 则若广义积分例例3 3 设 (X ,Y ) N (0,1;0,1;0), 求的数学期望.解解例3解解 (1) 设整机寿命为 N , 五个独立元件,寿命分别为都服从参数为 的指数分布，若将它们 (1) 串联； (2) 并联成整机，求整机寿命的均值. （P.142 例6）例例4 4例4即 N E( 5), (2) 设整机寿命为 可见, 并联组成整机的平均寿命比串联组成整机的平均寿命长11倍之多.例例5 5 设X N
6、(0,1), Y N (0,1), X ,Y 相互独立，求E (max(X ,Y ) . 解解D1D2例5其中 称为 概率积分概率积分一般地，若X ,Y 相互独立，则所以 q E (C ) = Cq E (aX ) = a E (X ) q E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) q 当X ,Y 独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y ) .q 对常数a,b,若a X b, 则 a E (X ) b ；特别地，若X 0 , 则 E (X ) 0.数学期望的性质数学期望的性质常数期望性质性质 4 的逆命题不成立，即若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X
7、 ,Y 不一定独立反例见附录反例见附录 1 1注注例例6 6 将 4 个不同色的球随机放入 4 个盒子 中, 每盒容纳球数无限, 求空盒子数的 数学期望. 解一解一 设 X 为空盒子数, 则 X 的概率分布为X P0 1 2 3例6解二解二 再引入 X i ,i = 1,2,3,4Xi P 1 0例例7 7 设二维 r.v. (X ,Y ) 的 d.f. 为求E(X), E(Y), E( X + Y ), E(X Y), E(Y / X)解解 例7由数学期望性质X ,Y 独立据统计65岁的人在10年内因事故死亡解解应用应用1 1概率为0.02. 保险公司开办老人事故死亡保险, 参加者需交纳保险
8、费100元.若10 年内因事故死亡公司赔偿a 元, 应如何定 a , 才能使公司可期望获益;若有1000人投保, 公司期望总获益多少?设Xi 表示公司从第 i 个投保者身上所得的收益, i =11000 . 则Xi 0.98 0.02100 100应用1由题设 公司每笔赔偿小于5000元, 能使公司获益.公司期望总收益为若公司每笔赔偿3000元, 能使公司期望总获益40000元. 为普查某种疾病, n 个人需验血. 验血方案有如下两种：(1) 分别化验每个人的血, 共需化验 n 次；(2) 分组化验, k 个人的血混在一起化验, 若结果为阴性, 则只需化验一次; 若为阳性, 则对 k 个人的血
9、逐个化验, 找出有病者, 此时 k 个人的血需化验 k + 1 次. 设每人血液化验呈阳性的概率为 p, 且每人化验结果是相互独立的.试说明选择哪一方案较经济.验血方案的选择验血方案的选择应用应用2(2(例例4.11)4.11)应用2解解 只须计算方案(2)所需化验次数的期望.为简单计, 不妨设 n 是 k 的倍数，共分成 n / k 组. 设第 i 组需化验的次数为X i, 则Xi P 1 k + 1 若则E (X ) n例如,当 时, 选择方案(2) 较经济. 市场上对某种产品每年需求量为 X 吨 ，X U 2000,4000 , 每出售一吨可赚3万元 ,售不出去，则每吨需仓库保管费1万元
10、，问应该生产这中商品多少吨, 才能使平均利润最大？ 解解设每年生产 y 吨的利润为 Y 显然，2000 y 4000应用应用3 3应用3显然，故 y=3500 时, E(Y )最大, E (Y )= 8250万元 设由自动线加工的某种零件的内径 X (mm) N ( ,1).已知销售每个零件的利润T (元)与销售零件的内径 X 有如下的关系：问平均直径 为何值时, 销售一个零件的平均利润最大？ 应用应用4 4应用4解解即可以验证，零件的平均利润最大.故时, 销售一个柯西 Augustin-Louis Cauchy 1789 - 1857柯西法国数学家柯 西 简介简介法国数学家 27岁当选法国科
11、学院院士 早在1811年就解决了拉格朗日向他提出的一个问题：凸多面体的角是否被它的面所决定？柯西作了肯定的回答.这一直是几何学中一个精彩的结果. 在概率论中他给出了有名的柯西分布. 然而他一生中最重要的数学贡献在 另外三个领域：微积分学、复变函数和微分方程. 柯西在代数学、几何学、误差理论以及天体力学、光学、弹性力学诸方面都有出色的工作，特别是他弄清了弹性理论的基本数学结构，为弹性力学奠定了严格的理论基础. 在这三个领域中我们常常能见到以柯西名字命名的定理、公式和方程等:柯西积分定理;柯西积分公式;柯西-黎曼方程;柯西判别法则;柯西不等式;柯西初值问题微积分在几何上的应用 1826 年 柯西的
12、著作大多是急就章，但都朴实无华，有思想, 有创见. 他所发现和创立的定理和公式, 往往是一些最简单、最基本的事实.因而，他的数学成就影响广泛，意义深远. 柯西是一位多产的数学家，一生共发表论文 800 余篇，著书7本.柯西全集共有27卷，其中最重要的为：分析教程 1821 年 无穷小分析教程概论 1823 年若 X 服从柯西(Cauchy)分布, 其 p.d.f. 为简记 X C( )分布,性质 4 的逆命题不成立，即若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定独立反例反例 1 1X Y pij-1 0 1-1 0 10p jpi附录1附录1X Y P -1 0 1但反例反例2 2但几个重要的 r.v. 函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩 X 的 k 阶绝对原点矩 X 的 k 阶中心矩 X 的 方差附录2附录2 X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩 X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩 X ,Y 的 二阶原点矩 X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 X ,Y 的相关系数
