《积分变换第6讲课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《积分变换第6讲课件（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、积分变换积分变换第第6 6讲讲1积分变换第6讲拉氏变换的性质本讲介绍拉氏变换的几个性质,它们在拉氏变换的实际应用中都是很有用的.为方便起见,假定在这些性质中,凡是要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理中的条件,并且把这些函数的增长指数都统一地取为c.在证明性质时不再重述这些条件2积分变换第6讲1.线性性质若a,b是常数Lf1(t)=F1(s),Lf2(t)=F2(s),则有Laf1(t)+bf2(t)=aF1(s)+bF2(s)L -1aF1(s)+bF2(s)=af1(t)+bf2(t)此线性性质根据拉氏变换的定义就可得出.3积分变换第6讲微分性质若Lf(t)=F(s),则有 Lf(t)=
2、sF(s)-f(0)(2.3)证根据分部积分公式和拉氏变换公式4积分变换第6讲推论若Lf(t)=F(s),则Lf(t)=sLf(t)-f(0)=ssLf(t)-f(0)-f(0)=s2Lf(t)-sf(0)-f(0).Lf(n)(t)=sLf(n-1)(t)-f(n-1)(0)=snF(s)-sn-1f(0)-sn-2f(0)-.-f(n-1)(0)(2.4)5积分变换第6讲特别,当初值f(0)=f(0)=.=f(n-1)(0)=0时,有Lf(t)=sF(s),Lf(t)=s2F(s),.,Lf(n)(t)=snF(s)(2.5)此性质可以使我们有可能将f(t)的微分方程转化为F(s)的代数方
3、程.6积分变换第6讲例1利用微分性质求函数f(t)=coskt的拉氏变换.由于f(0)=1,f(0)=0,f(t)=-k2coskt,则L-k2coskt=Lf(t)=s2Lf(t)-sf(0)-f(0).即-k2Lcoskt=s2Lcoskt-s移项化简得7积分变换第6讲例2利用微分性质,求函数f(t)=tm的拉氏变换,其中m是正整数.由于f(0)=f(0)=.=f(m-1)(0)=0,而f(m)(t)=m!所以Lm!=Lf(m)(t)=smL f(t)-sm-1f0)-sm-2f(0)-.-f(m-1)(0)即Lm!=smLtm8积分变换第6讲此外,由拉氏变换存在定理,还可以得到象函数的微
4、分性质:若Lf(t)=F(s),则F(s)=L-tf(t),Re(s)c.(2.6)和F(n)(s)=L(-t)nf(t),Re(s)c.(2.7)这是因为对于一致绝对收敛的积分的积分和求导可以调换次序9积分变换第6讲例3求函数f(t)=tsinkt的拉氏变换.10积分变换第6讲3.积分性质若Lf(t)=F(s)11积分变换第6讲重复应用(2.8)式,就可得到:12积分变换第6讲由拉氏变换存在定理,还可得象函数积分性质:若Lf(t)=F(s),则13积分变换第6讲例4求函数的拉氏变换.14积分变换第6讲其中F(s)=Lf(t).此公式常用来计算某些积分.例如,15积分变换第6讲4.位移性质若L
5、f(t)=F(s),则有Leatf(t)=F(s-a)(Re(s-a)c).(2.12)证根据拉氏变换式,有上式右方只是在F(s)中将s换为s-a,因此Leatf(t)=F(s-a)(Re(s-a)c)16积分变换第6讲例5求Leattm.例6求Le-atsinkt17积分变换第6讲5.延迟性质若Lf(t)=F(s),又t0时,有|e-st|0,有23积分变换第6讲例9求如图所示的单个半正弦波f(t)的拉氏变换OT2tEf(t)T2T2OOEETTtf1(t)f2(t)t24积分变换第6讲由前图可知,f(t)=f1(t)+f2(t),所以25积分变换第6讲例10求如下图所示的半波正弦函数fT(
6、t)的拉氏变换T23T25T2tT2TOEfT(t)26积分变换第6讲由例9可得从t=0开始的单个半正弦波的拉氏变换为从而27积分变换第6讲这是一个求周期函数拉氏变换的简单方法,即设fT(t)(t0)是周期为T的周期函数,如果且Lf(t)=F(s),则28积分变换第6讲初值定理与终值定理29积分变换第6讲证根据拉氏变换的微分性质,有Lf(t)=Lf(t)-f(0)=sF(s)-f(0)两边同时将s趋向于实的正无穷大,并因为30积分变换第6讲(2)终值定理若Lf(t)=F(s),且sF(s)在Re(s)0的区域解析,则31积分变换第6讲证根据定理给出的条件和微分性质Lf(t)=sF(s)-f(0),两边取s0的极限,并由32积分变换第6讲这个性质表明f(t)在t时的数值(稳定值),可以通过f(t)的拉氏变换乘以s取s0时的极限值而得到,它建立了函数f(t)在无限远的值与函数sF(s)在原点的值之间的关系.在拉氏变换的应用中,往往先得到F(s)再去求出f(t).但经常并不关心函数f(t)的表达式,而是需要知道f(t)在t和t0时的性态,这两个性质给了我们方便,能使我们直接由F(s)来求出f(t)的两个特殊值f(0),f(+).33积分变换第6讲例11若根据初值定理和终值定理,34积分变换第6讲35积分变换第6讲
