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1、第二节第二节 矩阵的运算矩阵的运算、定义、定义一、矩阵的加法一、矩阵的加法设有两个设有两个 矩阵矩阵 ，那么矩阵，那么矩阵 与与 的的和和记作记作 ，规定为，规定为说明说明 只有当两个矩阵是只有当两个矩阵是同型同型矩阵时，才能进行矩阵时，才能进行加法运算加法运算.例如例如2 2、 矩阵加法的运算规律矩阵加法的运算规律显然有显然有定义矩阵的减法：定义矩阵的减法：1 1、定义、定义二、数与矩阵相乘二、数与矩阵相乘2 2、数乘矩阵的运算规律、数乘矩阵的运算规律加法和数乘合称为矩阵的加法和数乘合称为矩阵的线性运算线性运算. .（设（设 为为 矩阵，矩阵， 为数）为数）求求 3A- -2B .例例1 1
2、 已知已知解解例例2 2 已知已知且且A+2X=B, 求求X .解解.、定义、定义并把此乘积记作并把此乘积记作设设 是一个是一个 矩阵，矩阵， 是一个是一个 矩阵，那末规定矩阵矩阵，那末规定矩阵A与矩阵与矩阵B的乘积是一个的乘积是一个 矩阵矩阵 ，其中，其中三、矩阵的乘法三、矩阵的乘法例例3 3例例4 4例例5 5例例6 6注意注意只有当只有当左边矩阵的左边矩阵的列数列数等于等于右边矩阵的右边矩阵的行数行数时，两个矩阵才能相乘时，两个矩阵才能相乘.例如，例如，有意义，有意义，没意义。没意义。而而、矩阵乘法的运算规律、矩阵乘法的运算规律(其中其中k为数为数);注意注意：交换律不成立。：交换律不成
3、立。首先，首先，AB有意义，不见得有意义，不见得BA就有意义；就有意义；例如，例如，例如，例如，例如，例如，结论：矩阵乘法交换律不成立，一般结论：矩阵乘法交换律不成立，一般若若称称A、B可交换可交换，(前提是前提是A、B为同阶方阵为同阶方阵).但仍不但仍不一定有一定有例例5 5试求出所有与试求出所有与A可交换的矩阵。可交换的矩阵。解解则则从前例从前例还可看出，矩阵乘法不满足消去律：还可看出，矩阵乘法不满足消去律：或或或或例如，例如，左消去律左消去律同理没有右消去律：同理没有右消去律：定义定义设设A为为n阶方阵，则阶方阵，则A的方幂定义为的方幂定义为再规定再规定 规律：规律：其中其中k，l为任意
4、非负整数。为任意非负整数。注意注意 由于没有交换律，一般由于没有交换律，一般因此，一般因此，一般例例6 6设设例例7 7解解解解A是一个是一个n阶方阵，阶方阵，定义定义矩阵多项式矩阵多项式为为是一个多项式，是一个多项式，例如，例如，下面将线性方程组写成矩阵形式下面将线性方程组写成矩阵形式记系数矩阵记系数矩阵则上述方程组可写为则上述方程组可写为四、矩阵的转置四、矩阵的转置定义定义 把矩阵把矩阵A的的行列互换行列互换得到的新矩阵，叫做得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 .例例8转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质(4)可推广到多个矩阵可推广到多个矩阵:证略证略.设设解法解法1例例
5、9解法解法2设设例例9对称矩阵与反对称矩阵对称矩阵与反对称矩阵定义定义对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.说明说明 设设A为为n阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即，即那末那末A称为称为对称阵对称阵 .对称矩阵与反对称矩阵对称矩阵与反对称矩阵定义定义反对称阵的对角元全为零反对称阵的对角元全为零 .说明说明那末那末A称为称为反对称阵反对称阵 . 设设A为为n阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即，即例例10若若A、B为同阶对称阵为同阶对称阵(反对称阵反对称阵), 则则仍为对称阵仍为对称阵(反对称阵反对称阵) .设设B是一个是一个m n矩阵矩阵, 则则B
6、TB和和BBT都是对称矩都是对称矩阵阵.因为因为BTB是是n阶方阵阶方阵, 且且(BTB)T同理同理, BBT是是m阶对称矩阵阶对称矩阵.=BT(BT)T=BTB .A、B为同阶对称阵，为同阶对称阵， AB未必对称；未必对称； 只有只有A、B可可交换交换， AB才对称。才对称。(证明留作练习证明留作练习) 设设A是是n阶反对称矩阵阶反对称矩阵, B是是n阶对称矩阵阶对称矩阵, 则则AB+BA是反对称矩阵是反对称矩阵. 练习练习(AB+BA)T= (AB)T+(BA)T=BTAT+ATBT=B(- -A)+(- -A)B = - -(AB+BA) .证证五、方阵的行列式五、方阵的行列式定义定义 由由 阶方阵阶方阵 的元素所构成的行列式，的元素所构成的行列式，叫做方阵叫做方阵 的行列式，记作的行列式，记作 或或运算性质运算性质(3) 推广推广:特别：特别：练习：练习：P77 习题二习题二1. 3. 5.(1)(4)(5)(6)(7) 6.(2) 7.(1)(5)8.(2) 11.
