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1、第一章学习目标第一章学习目标掌握序列的概念及其几种典型序列的定义掌握序列的概念及其几种典型序列的定义,掌握序列的基掌握序列的基本运算，并会判断序列的周期性。本运算，并会判断序列的周期性。掌握掌握z z变换及其收及其收敛域，掌握因果序列的概念及判断方法域，掌握因果序列的概念及判断方法会运用部分分式展开法求会运用部分分式展开法求z z反反变换理解理解z z变换的主要性的主要性质第一章第一章 z变换变换时域分析方法变换域分析方法：连续时间信号与系统：Laplace变换Fourier变换离散时间信号与系统：z变换Fourier变换x(n)代表第n个序列值， 在数值上等于信号的采样值x(n)只在n为整数
2、时才有意义1.1离散时间信号序列序列：对模拟信号 进行等间隔采样，采样间隔为T，得到 n取整数。对于不同的n值， 是一个有序的数字序列： 该数字序列就是离散时间信号。实际信号处理中，这些数字序列值按顺序存放于存贮器中，此时nT代表的是前后顺序。为简化，不写采样间隔，形成x(n)信号，称为序列。1 序列的表达方式公式表示法： 集合表示法： 图形表示法：为了方便2 序列的运算移位翻褶和积累加差分时间尺度变换卷积和1）移位序列x(n)，当m0时x(n-m) ：延时/右移m位x(n+m)：超前/左移m位2）翻褶 x(-n)是以n=0的纵轴为对称轴将序列x(n)加以翻褶3）和 同序列号n的序列值逐项对应
3、相加4）积同序号n的序列值逐项对应相乘5）累加6）差分前向差分： 后向差分：7）时间尺度变换 抽取 插值 8）卷积和设两序列x(n)、 h(n)，则其卷积和定义为： 卷积和与两序列的前后次序无关3 几种典型序列1）单位脉冲（抽样）序列2）单位阶跃序列与单位脉冲序列的关系3）矩形序列 与其他序列的关系 4）实指数序列 为实数5）复指数序列为数字域频率例：6）正弦序列 模拟正弦信号：数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率7）任意序列x(n)可以表示成单位脉冲序列的移位加权和，也可表示成与单位脉冲序列的卷积和。例：4 序列的周期性若对所有n存在一个最小的正整数N，满足则称序列x(n)是周期性序
4、列，且其周期为N。例：因此，x(n)是周期为8的周期序列讨论一般正弦序列的周期性分情况讨论1）当 为整数时2）当 为有理数时3）当 为无理数时例：判断是否是周期序列解：由x(n)知所以是无理数讨论：若一个正弦信号是由连续信号抽样得到，则抽样时间间隔T和连续正弦信号的周期T0之间应是什么关系才能使所得到的抽样序列仍然是周期序列？ 设连续正弦信号：抽样序列：当为整数或有理数时，x(n)为周期序列令：例：N，k为互为素数的正整数即N个抽样间隔应等于k个连续正弦信号周期5 序列的能量序列的能量定义为序列各抽样值的平方和，即1.2 z变换及其收敛域1 z变换的定义序列x(n)的z变换定义为：z 是复变量
5、，所在的复平面称为z平面2 z变换的收敛域与零极点对于任意给定序列x(n)，使其z变换X(z)收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。 级数收敛的充要条件：满足绝对可和，即 收敛域内收敛域内不能包含极点不能包含极点1）有限长序列2）右边序列其其z变换为变换为因果序列 的右边序列，Roc: 因果序列的z变换必在 处收敛在 处收敛的z变换，其序列必为因果序列3）左边序列4）双边序列1 X(z) 唯一地确定一个序列 收敛域2 X(z)收敛域内不能有极点，故：右边序列右边序列的z变换收敛域一定在模最大大的有限极点所在圆之之外外左边序列左边序列的z变换收敛域一定在模最小小的有限极点 所在圆之之内内结论
6、：图1 右边序列的收敛域图2 左边序列的收敛域图3 双边序列的收敛域图4 双边序列的收敛域1.3 z反变换实质：求X(z)幂级数展开式z反变换的求解方法： 留数定理法（围线积分法） 部分分式法（） 长除法由X(z)及其收敛域，求原序列x(n)的变换，表示为：1留数定理法（围线积分法） 根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域 内是解析的，则在此区域X(z)可展开成罗朗级数，即而 其中围线C是在X(z)的环状收敛域内环绕原点的一条反时针方向的闭合单围线。 式中: 表示在极点 上的留数值 C为收敛域内逆时针环绕原点的闭合围线 表示对围线内的所有极点集合处的留数求和 当 是z的有理函数时，可以利用
7、留数定理求围线积分：留数的计算公式一阶极点的留数：m阶重极点的留数：2 部分分式展开法X(z)是z的有理分式，可分解成部分分式：对各部分分式求z反变换：其中: 其中: 因为，收敛域以极点所在圆为边界 思考：如果收敛域改为 3 幂级数展开法（长除法）把X(z)展开成幂级数级数的系数就是序列x(n)解：由Roc判定x(n)是因果序列，用长除法展成z的负幂级数根据收敛域判断x(n)的性质，在展开成相应的z的幂级数 将X(z) X(z)的 x(n) 展成z的 分子分母 按z的 因果序列 负幂级数 降幂排列 左边序列 正幂级数 升幂排列解：由Roc判定x(n)是左边序列，用长除法展成z的正幂级数解：X(
8、z)的Roc为环状，故x(n)是双边序列 极点z=1/4对应右边序列，极点z=4对应左边序列先把X(z)展成部分分式：1.4 z变换的基本性质与定理1 线性若则2 序列的移位若则收敛域可能与原来相同，也可能增加（或减少）0或双边序列双边序列 例例: :求脉冲序列求脉冲序列Z变换及其收敛域。变换及其收敛域。解： 3 乘以指数序列若则证：4 Z变换的微分 若则同理：收敛域也可能增加（或减少）0或所以5 复序列的共轭若则证：6 翻褶序列若则7 初值定理证：因为x(n)为因果序列8 终值定理 若x(n)为因果序列，且X(z)的全部极点除有一个一阶极点可以在z=1处，其余都在单位圆以内，则：9 序列的卷积（时域卷积）则若若有极点被抵消，收敛域可扩大 10 序列相乘（z域复卷积定理）若则且取交集取交集例：设，如果求： 解 ： 则 根据式（1-44）， c所在的区域为 即 被积函数有两个极点，如图所示 只有极点被围线包围，用留数定理很容易求出： 验证：11 Parseval定理若且则序列的能量序列的频谱1.5 差分方程的解法差分方程描述时域离散系统的输入输出关系。一个N阶常系数线性差分方程表示为：其中：求解常系数线性差分方程的方法：1）经典解法（常规解法）2）数值递推解法3）z变换方法（）例1：已知二阶常系数线性差分方程若初始条件为求其单位脉冲响应。解：差分方程两边求双边Z变换得
