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1、 四四、判别式法、判别式法例例5 求函数求函数 y = 的值域的值域.x2+x+1 x2- -x 主要适用于形如主要适用于形如 y = ( (a, d不同时为零不同时为零) )的函数的函数( (最好是满足分母恒不为零最好是满足分母恒不为零) ).ax2+bx+c dx2+ex+f 能转化为能转化为 A(y)x2+B(y)x+C(y)=0 的函数常用判别式法求函的函数常用判别式法求函数的值域数的值域. 1- - , 1+ 2 332 33 求函数分析：函数是分式函数且都含有二次项，可用判分析：函数是分式函数且都含有二次项，可用判别式和单调性法求解。别式和单调性法求解。解法1：由函数知定义域为R,
2、则变形可得： (2y-1)x2-(2y-1)x+(3y1)=0.当2y-1=0即y=1/2时，代入方程左边1/23-10,故1/2.当2y-10,即y 1/2时，因xR,必有=(2y-1)2-4(2y-1)(3y-1) 0得3/10y1/2,综上所得，原函数的值域为y3/10,1/2. 2.若函数若函数 f(x)=log3 的定义域为的定义域为 R, 值域为值域为 0, 2 , 求求 m 与与 n 的值的值. mx2+8x+n x2+1 解解: f(x) 的定义域为的定义域为 R, mx2+8x+n0 恒成立恒成立. =64- -4mn0. mx2+8x+n x2+1 令令 y= , 则则 1
3、y9. mx2+8x+n x2+1 问题转化为问题转化为 xR 时时, y= 的值域为的值域为 1, 9 . 变形得变形得 (m- -y)x2+8x+(n- -y)=0, 当当 my 时时, xR, =64- -4(m- -y)(n- -y)0. 整理得整理得 y2- -(m+n)y+mn- -160. 依题意依题意 m+n1+9, mn- -16=19, 解得解得 m=5, n=5. 当当 m=y 时时, 方程即为方程即为 8x+n- -m=0, 这时这时 m=n=5 满足条件满足条件. 故所求故所求 m 与与 n 的值均为的值均为 5. 五五、函数有界性法函数有界性法利用已知函数的值域求给
4、定函数的值域利用已知函数的值域求给定函数的值域.例例3 求下列函数的值域求下列函数的值域:2x+1 2x (1)y= ; sinx- -3 (2)y= ; sinx+2 (0, 1) 32- - , - - 14练习 求函数 的反函数的定义域.分析：函数分析：函数f(x)f(x)的反函数的定义域就是原函数的的反函数的定义域就是原函数的 值域值域值域值域，可用不等式法求解，可用不等式法求解。解：变形可得反函数的定义域为(-1,1)。 求函数 的值域。解：将原函数化为sinx+ycosx=2y六六、数形结合法、数形结合法当函数的解析式明显具备某种几何意义当函数的解析式明显具备某种几何意义, 像两点
5、间的距离像两点间的距离公式、直线斜率等时可考虑用数形结合法公式、直线斜率等时可考虑用数形结合法. 例例8 求下列函数的值域求下列函数的值域:(1)y=|x- -1|+|x+4| ; sinx- -3 (2)y= ; 2+cosx (4) 若若 x2+y2=1, 求求 x+y 的取值范围的取值范围;(5) 若若 x+y=1, 求求 x2+y2 的取值范围的取值范围. 5, +) 12 , +)- -2- - , - -2+ 2 332 33- - 2 , 2 例11 求函数y=x2-2x+10+x2+6x+13的值域。分析：本题求函数的值域可用解析几何与数形结合法解之。A1(1,-3)yA(1,
6、3)B(-3,2)xoP将上式可看成为x轴上点P(x,0)与A(1,3),B(-3,2)的距离之和。即在x轴上求作一点P与两定点A,B的距离之和的最值，利用解析几何的方法可求其最小值。如图，可求A关于x轴对称点A1(1,-3)连结A1B交x轴y于P,则P(x,0)为所求，可证明解：函数变形为y=(x-1)2+(0-3)2+(x+3)2+(0-2)2.所以原函数值域的为y41,+).练习(10) 26 , +)(10) y= x2+4 + (x+1)2+9 . (1)y= ;x2+1 2x例例6 求下列函数的值域求下列函数的值域:(2)y= (x1) .x- -1 x2- -2x+5 - -1,
7、 1 4, +) 利用基本不等式求出函数的最值进而确定函数的值域利用基本不等式求出函数的最值进而确定函数的值域. 要要注意满足条件注意满足条件“一正、二定、三等一正、二定、三等”. 六、均值不等式法六、均值不等式法高高高高考考考考导导导导航航航航自自自自主主主主预预预预习习习习互互互互动动动动课课课课堂堂堂堂与名师对话与名师对话与名师对话与名师对话 系列丛书系列丛书系列丛书系列丛书第二章第二章第二章第二章 函数函数函数函数The firstThe firstreversereverseNextNextThe lastThe last易易易易错错错错盘盘盘盘点点点点查查查查漏漏漏漏补补补补缺缺缺缺课课课课时时时时作作作作业业业业高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学( ( ( (大纲版大纲版大纲版大纲版理理理理) ) ) )答案：10，) 练习2函数函数ylog2xlogx(2x)的值域是的值域是()A(，1 B3，)C1,3 D(，13，)
